x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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Nicolò Beverini
!
presentata da un vettore costante a . Il moto è dunque un moto ad accelerazione
costante o, come si usa dire, è un moto uniformente accelerato.
Nel § 3.3 l’accelerazione istantanea è stata definita come la derivata
della funzione velocità
!
rispetto al tempo, cioè come il rapporto tra la variazione
di velocità ! v e il corrispondente intervallo di tempo !t, al limite per
!t ' 0. Formalmente, la relazione [3.13], considerando le quantità infinite-
!
!
sime d v e dt come limite delle differenze ! v e !t, può essere riscritta nella
forma:
[5.2]
d !
v = !
a ( t ! )d t ! .
Sommando i due membri dell’equazione sull’intero intervallo di tempo
tra 0 e t, o per meglio dire, usando propriamente il linguaggio dell’analisi
matematica, integrando i due membri dell’equazione, si ottiene:
[5.3]
!
v t
d !
( )
! v =
( )
!
v 0
t
!
0
!
a ( t " )d t "
Al primo membro, la somma di tutte le variazioni di velocità è ovviamente
la variazione della velocità tra l’istante iniziale t=0 e quello finale t:
[5.4]
!
v t
d !
( )
! v =
( )
!
v ( t ) " !
v 0
!
v 0
La funzione da integrare ai due membri è una funzione vettoriale.
Poiché l’integrale (definito) è per definizione il limite di una somma, eseguire
l’integrale di una funzione vettoriale è equivalente a calcolare il limite
della somma (cioè l’integrale) delle funzioni scalari che rappresentano le
componenti del vettore. L’espressione [5.3] equivale dunque all’insieme delle
tre equazioni:
[5.5]
$
&
&
&
%
&
&
&
&
'
v t x ( ) !v 0 x
v t y ( ) !v 0 y
v t z ( ) !v 0 z
( )
t
( ) = a t"
x
#
0
t
( ) = a t"
y
#
0
t
( ) = a t"
z
#
0
( ) d t"
( ) d t"
( ) d t"
Conoscendo istante per istante il valore dell’accelerazione (e cioè la
!
!
funzione a t
v t
la:
[5.6]
dove il vettore
( ) ), si potrà allora ricavare la funzione velocità
!
v 0 = !
v 0
t
!
v ( t)
= ! a ( t!
) d t!
"
0
+ ! v 0 ,
( ) dalla formu-
( ) esprime il valore della velocità all’istante iniziale t=0.
Nel caso che stiamo considerando l’accelerazione è costante
quindi il calcolo dell’integrale è banale:
!
a ( t ) = !
a , e