x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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Fig. 3-2<br />
24<br />
Nicolò Beverini<br />
Il modulo dell’accelerazione me<strong>di</strong>a tra gli istanti t1 e t2 è quin<strong>di</strong>:<br />
[3.15]<br />
!<br />
a t m ( ,t 1 2 ) = ! ! v<br />
!t<br />
= 2v sin" 2<br />
!t<br />
e, passando al limite per %t " 0, si trova che l’accelerazione istantanea vale<br />
in modulo:<br />
[3.16]<br />
!<br />
a = lim<br />
!t"0<br />
! ! v<br />
!t<br />
2v sin# 2<br />
= lim<br />
# "0 #r v<br />
v<br />
= lim<br />
# "0<br />
2 %<br />
'<br />
& r<br />
Ricordando che lim<br />
sin x<br />
, si ottiene infine:<br />
x !0 x<br />
[3.17]<br />
!<br />
a = v2<br />
r<br />
$ sin# 2<br />
# 2<br />
(<br />
*<br />
)<br />
= v 2<br />
r lim<br />
sin# 2<br />
# "0 # 2<br />
Ci resta da identificare la <strong>di</strong>rezione del vettore accelerazione. Osservando<br />
ancora la figura 1, ci si rende conto che, quando &' 0, la <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong> ! !<br />
!<br />
v tende a <strong>di</strong>venire ortogonale alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> v e quin<strong>di</strong> ad essere <strong>di</strong>retto<br />
verso il centro della circonferenza.<br />
Si può dunque concludere che un corpo che si muova <strong>di</strong> moto circolare<br />
uniforme è soggetto ad una accelerazione, costante in modulo e <strong>di</strong>retta<br />
lungo il raggio nella <strong>di</strong>rezione del centro della traiettoria circolare. Per tale<br />
ragione questa accelerazione prende il nome <strong>di</strong> accelerazione centripeta.