x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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114 Nicolò Beverini Partiamo da un’osservazione. Supponiamo di avere un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i che quindi genera un campo magnetico nello spazio circostante; consideriamo una circonferenza di raggio R su un piano ortogonale ! al filo e concentrica ad esso e proponiamoci di calcolare il valore di B ! d ! ! " s , cioè del prodotto B ! d ! s integrato su un giro intero della circonferenza ! (Fig. 14-6) o, come si dice in termine tecnico, la circuitazione del vettore B . Come si è visto nel § 14.5, il campo magnetico ! generato dal filo è, punto per punto, tangente alla circonferenza e B e d ! s sono sempre paralleli tra loro. Il modulo di B lungo la circonferenza è costante ed è dato dalla [14.12]; si ha perciò, assumendo come senso positivo di percorrenza della circonferenza il senso antiorario: ! B ! d ! " s = " B ds cos# = " µ 0 i B ds = 2$ R " µ 0 i ds = 2$ R 2$R = µ 0 i . Come si vede, il risultato non dipende dal raggio della circonferenza considerata, ma solo dal valore della corrente. Invertendo la direzione della corrente, si inverte anche la direzione del campo magnetico e quindi anche il segno della circuitazione. Fig. 14-6 Questo risultato può essere generalizzato: si può dimostrare che ef- ! fettuando il calcolo di B !d ! s , qualunque sia la linea chiusa lungo la quale " si calcola l’integrale, purché la corrente sia concatenata con la linea, il risultato non cambia e vale sempre µ0 i . Corrente concatenata significa che essa attraversa una qualunque superficie avente la linea come contorno. Se ora si ha a che fare non con un solo filo percorso da corrente, ma con più conduttori, percorsi da correnti i1, i2, …, in, si può ripetere lo stesso ragionamento per ognuna delle correnti e sommarne i contributi (tenendo conto positivo o negativo a seconda della loro direzione di flusso). ! Ciò costituisce il cosiddetto teorema di Ampère: la circuitazione di B lungo una linea chiusa è uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate ad essa. [14.15] ! B ! d ! " s = µ 0 # ic
Elementi di fisica 14.8 Campo magnetico in un solenoide Utilizzando il teorema d’Ampère è possibile dimostrare come realizzare in una zona di spazio un campo magnetico uniforme. Consideriamo un solenoide. Con questo termine si intende un avvolgimento uniforme elicoidale di un filo conduttore attorno ad un cilindro. Il calcolo esatto del campo magnetico all’interno di un solenoide reale è piuttosto difficile. Noi calcoleremo il campo generato da un solenoide ideale, infinitamente lungo (in pratica, di lunghezza molto maggiore del suo raggio), costituito da un avvolgimento molto serrato, tale da poter considerare pressoché uniforme la distribuzione di corrente sulla superficie del cilindro. Sotto queste ipotesi, la distribuzione delle correnti è perfettamente simmetrica attorno all’asse del solenoide: il campo prodotto deve quindi rispettare tale simmetria. Inoltre, poiché si considera un solenoide di lunghezza infinita, il valore del campo non può cambiare spostandosi in su o in giù, parallelamente all’asse del solenoide e all’interno del solenoide il campo può quindi essere diretto solo in direzione parallela all’asse. Per determinare il valore del campo, applichiamo il teorema di Ampère. Fig. 14-7 In Fig. 14-7 è disegnato un solenoide tagliato in due lungo l’asse. Consideriamo un percorso rettangolare (in blu in figura), che abbia due lati paralleli all’asse del solenoide, uno all’interno ed uno ! all’esterno, e due perpendicolari ad esso. La circuitazione del vettore B lungo tale percorso può essere calcolata spezzando l’integrale sull’intero rettangolo nella somma degli integrali calcolati sui singoli lati: ! B ! d ! ! " s = B ! d ! B ! " s + B ! d A ! C ! " s + B ! d B ! D ! " s + B ! d C ! A " s . D C ! A ! essendo Osserviamo che lungo i due lati BC e DA si ha ! B perpendicolare alla direzione di " B d ! s ; inoltre all’esterno del solenoide il campo è nullo. Si ha quindi: ! B ! d ! ! " s = B ! d ! B " s = B l A " B ! d ! s = B ! d ! s = 0 , D ! B ! d ! D s = 0, poiché " C B ' 115
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