ELEMENTI DI SICUREZZA STRUTTURALE

ELEMENTI DI SICUREZZA STRUTTURALE
1. Introduzione
Il problema della “sicurezza strutturale” si presenta in ogni operazione di
analisi e di progettazione delle opere dell’Ingegneria Civile, e ne costituisce la
parte fondamentale.
- Tutte le scelte fatte dagli ingegneri discendono, più o meno esplicitamente,
da considerazioni sulla sicurezza.
- È necessario che gli ingegneri abbiano piena consapevolezza delle motivazioni
e delle conseguenze di tali scelte, opportunamente codificate nelle normative di
riferimento.
- In particolare, è possibile eseguire l’analisi ed il progetto di una struttura
utilizzando diversi metodi, a cui possono essere associati diversi livelli di
sicurezza.
Il principale obiettivo di un ingegnere civile è quello di realizzare “strutture
affidabili”, ovvero strutture che possano svolgere le funzioni per cui sono
state ideate, progettate e costruite, e ciò in un determinato periodo di
tempo (“vita utile”), e sotto prefissate condizioni di carico.

Le incertezze nella predizione dei carichi e delle caratteristiche dei materiali
fanno sì che non si possa mai essere certi (in modo “deterministico”) che una
certa struttura sia sicura.
Occorre confrontare le sollecitazioni “S”, legate ai carichi applicati alla
struttura, con le resistenze “R”, legate alle caratteristiche dei materiali
impiegati.
Si definisce affidabilità, o probabilità di successo, la probabilità che la
sollecitazione non superi la corrispondente resistenza:
P S =A=P[S § R]
Il complemento ad uno è la probabilità di crisi:
P C =1-P S = P[S>R]

2. Definizione probabilistica della resistenza
Il primo passo per valutare la sicurezza di una struttura è quello di
caratterizzare probabilisticamente la resistenza dei materiali impiegati.
In Ingegneria delle Strutture per “resistenza” R si intende la capacità di far
fronte ad una determinata “sollecitazione” S: ad esempio, il momento
resistente di una sezione inflessa.
La resistenza in un elemento strutturale è legata alle resistenze dei materiali
utilizzati, che vanno determinate sperimentalmente mediante prove di
laboratorio.
Nel caso di materiali duttili si utilizzano prove a trazione. Nel caso di materiali
fragili prove a compressione.
σ0
σ
Materiali Duttili Materiali Fragili
−σ
0
In S.d.C. si opera nell’ipotesi di comportamento elastico-lineare.
ε
σT
σ
σC
ε

Si supponga, ad esempio, di prelevare presso una ferriera 120 barre di acciaio,
e di sottoporre ciascuna di esse ad una prova di trazione, rilevando la tensione
di snervamento σ y .
I dati degli esperimenti (in N/mm 2 ) sono i seguenti:
397 373 397 427 433 387
430 396 460 423 390 368
392 369 395 418 404 428
345 414 403 407 407 394
377 407 384 383 369 399
379 371 370 410 405 398
392 335 384 374 381 399
408 429 392 414 390 425
425 376 394 390 394 405
418 402 417 392 415 407
405 418 376 415 398 395
414 444 377 424 414 388
345 404 402 413 433 426
411 437 411 421 416 419
410 397 394 355 398 409
343 388 415 389 381 377
383 409 381 411 391 421
406 425 434 438 405 402
419 432 394 408 424 379
403 389 418 398 410 420
σ
y
460
440
420
400
380
360
340
0 20 40 60 80 100 120
i

Gli esperimenti hanno fornito valori compresi nell’intervallo [335, 460].
Questi ultimi sono stati suddivisi in 15 intervalli di ampiezza costante, in modo
da valutarne la “frequenza”, ossia il numero di risultati che ricadono in ciascun
intervallo.
Usualmente la frequenza viene rappresentata attraverso un istogramma come
quello in figura.
a
z
n
e
u
q
e
r
f
20
15
10
5
0
340 360 380 400 420 440 460
r

Nelle applicazioni pratiche si assume che i risultati di una campagna
sperimentale possano essere approssimate dalla distribuzione gaussiana (o
“normale”).
Quest’ultima è definita dalla seguente funzione densità di probabilità:
⎡ 2
1 1⎛r
−µ
⎞ ⎤
R
pR() r = exp
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎢− ⎜ ⎟
2πσ 2⎜ ⎟ ⎥
σ
R ⎢ ⎜⎝ ⎟
R ⎠
⎣
⎥
⎦
dove µ R èil valor medio (indice di “posizione”) e σ R èla deviazione standard
(indice di “dispersione”). Tali quantità, quando si hanno a disposizione n risultati
sperimentali, si valutano come:
n n
1 1
µ = r ; σ = r −µ
(i) (i)
∑ ∑(
)
R R R
n i= 1 n−1 i= 1
essendo r (i) l’i-esimo risultato sperimentale, e n il numero di campioni disponibili.
2

Il grafico della funzione densità di probabilità, per definizione, sottende
un’area unitaria.
Scalando opportunamente l’istogramma che rappresenta la frequenza dei
risultati sperimentali, è possibile verificare l’accordo con la distribuzione
gaussiana.
R
p
0.02
0.015
0.01
0.005
0
340 360 380 400 420 440 460
r

All’aumentare del numero dei campioni, aumenta l’accuratezza della descrizione
statistica della variabile aleatoria.
In figura è mostrato il confronto nel caso di 300 campioni.
R
p
0.02
0.015
0.01
0.005
0
340 360 380 400
r
420 440 460

Si definisce “valore caratteristico” della resistenza R, e si indica con R k , quel
valore della resistenza che ha la probabilità del 5% di essere minorato.
p(r)
R
R = µ −κσ
k
R R
Rk r
P[R < R k]
= 0.05
Statisticamente, in altre parole, ci sono 5 campioni ogni 100 che presentano un
valore della resistenza minore di quello caratteristico.
Nel caso di distribuzione gaussiana, il valore caratteristico si può valutare
come:
R = µ −κσ
k
R R
con κ= 1.645 (solo la distribuzione gaussiana). Questo valore deve essere
opportunamente incrementato se il numero di campioni disponibili non consente
una stima accurata di valor medio e deviazione standard.

3. Definizione probabilistica della sollecitazione
In Ingegneria delle Strutture per “sollecitazione” S si intende una generica
quantità significativa della risposta strutturale: ad esempio, sforzo normale
taglio e momento flettente in una sezione di una trave; le componenti di
tensione in un punto; gli spostamenti di un nodo; etc.
Le sollecitazioni sono gli effetti delle “azioni” A sulla struttura.
In generale le azioni A sono variabili aleatorie, in quanto non si possono
prevedere con certezza.
Nell’Ingegneria Civile le azioni si possono distinguere in:
- Azioni permanenti: che hanno variazioni nel tempo piccole e rare. Ad esempio,
in un edificio il peso proprio degli elementi strutturali, ed i cosiddetti “carichi
permanenti”, rappresentanti da chiusure verticali, tramezzi, pavimenti,
intonaci, etc.
- Azioni variabili: che hanno variazioni nel tempo frequenti. Ad esempio, in un
edificio, i cosiddetti “sovraccarichi accidentali”, rappresentati dal mobilio in un
appartamento, dal peso dei veicoli in un’autorimessa, il peso del materiale
stoccato in un deposito, etc.
- Azioni accidentali: che hanno un elevato periodo di ritorno, cioè si
ripresentano dopo lungo tempo. Ad esempio, il sisma.

Per ciascuna azione A si determina il valore caratteristico A k , tipicamente quel
valore dell’azione che ha il 5% di probabilità di essere maggiorato.
Quindi si valuta il valore di progetto A d (“design”= progetto), come
combinazione lineare di azioni permanenti, variabili ed accidentali, tenendo
conto della probabilità che le diverse azioni agiscano contemporaneamente sulla
struttura.
Le normative forniscono direttamente i valori caratteristici delle azioni ed i
coefficienti da utilizzare nelle combinazioni di carico.
Una volta nota l’azione di progetto, si calcolano le sollecitazioni di progetto S d
secondo i metodi dell’”Analisi Strutturale”; queste vanno confrontate con le
corrispondenti resistenze di progetto R d :
R
d
Rk
=
γ
dove γ≥1 è un coefficiente di sicurezza che può variare a seconda della
tipologia strutturale, del metodo di analisi, delle conseguenze più o meno gravi
di una crisi della struttura, etc.

La verifica di sicurezza è positiva se risulta R d ≥ S d
p(r) R
R = d
Sd
Rk
1.15
Rk
La figura mostra che, sebbene molto piccola, esiste la probabilità che la
sollecitazione superi la resistenza.
r

4. Verifiche di resistenza
4.1 Metodo delle tensioni ammissibili
Le sollecitazioni (tensioni) prodotte nella struttura dalle azioni applicate,
ipotizzando che gli elementi strutturali permangano in campo elastico-lineare
per qualunque livello delle azioni.
Le sollecitazioni così determinate devono risultare in ogni punto della struttura
non maggiori dei corrispondenti valori ammissibili, S am , ricavate dalle resistenze
caratteristiche dei materiali attraverso un opportuno coefficiente di sicurezza
γ am :
S≤ S =
Di solito il confronto si opera in termini di tensione:
dove σ id è la tensione ideale e σ 0 è la tensione di snervamento (per materiali
duttili) o di rottura (per materiali fragili).
am
R
γ
k
am
σ
σ ≤ σ id am =
γ
0
am

La condizione σ id ≤ σ am deve essere verificata in ogni punto della struttura.
Nella pratica le verifiche sono eseguite solo nei punti maggiormente sollecitati.
( σ ) ≤
σam
id max
A questo metodo “storico” possono muoversi le seguenti critiche:
- I coef. di sicurezza sono elevati ⇒ Psicologicamente pericoloso, in quanto i
progettisti possono avere la sensazione di disporre di margini molto ampi
- E’ un metodo deterministico ⇒ Tutte le incertezze sono tenute in conto dai
coef. di sicurezza.
- Si esegue un’unica verifica di sicurezza ⇒ Più correttamente bisognerebbe
considerare la pericolosità delle varie azioni agenti sulla struttura.
- Il comportamento della struttura è elastico-lineare fino alla crisi ⇒ Si
trascurano tutte le non linearità (ad esempio, le cerniere plastiche, la cui
formazione può completamente modificare la distribuzione delle sollecitazioni).

Infine, si vuole sottolineare che non risulta a priori ragionevole:
-scartarela struttura se la verifica locale non è soddisfatta: pur operando a favore
di sicurezza, infatti, si devono sostenere costi maggiori dovuti a rinforzi e a
sottostrutture integrative;
- ovvero, accettare la struttura se soddisfatta: così facendo, infatti, si può operare
a sfavore di sicurezza in quanto è possibile riscontrare comportamenti del sistema
strutturale in disaccordo con le ipotesi del metodo.
La trave della struttura in figura,
ad esempio, raggiunto il momento
al limite elastico (M e) ha comunque
ancora una riserva di resistenza
dovuta alla diffusione della
plasticità all'interno della sezione
fino al raggiungimento del
momento di completa
plasticizzazione della sezione M pl.
Di contro, la colonna, raggiunto il
carico limite ammesso dal metodo
di calcolo, non ha ulteriori risorse.
Con una progettazione basata sul metodo delle tensioni ammissibili, pur essendo
implicitamente uguale il coef. di sicurezza, il livello di sicurezza associato ai due
differenti elementi strutturali è diverso.

4.2 Metodo semi-probabilistico agli stati limite
La misura della sicurezza di una struttura deve essere valutata prendendo in
esame tutti gli aspetti del suo comportamento ed utilizzando per ciascuno di
essi un metodo di analisi che tenga conto di tutte le variabili in gioco e di tutte
le fonti di incertezza.
Alla prima esigenza si fa fronte istituendo un elenco degli “stati limite”.
Alla seconda organizzando la misura della sicurezza, per quanto possibile, sulla
base di criteri probabilistici.
Il metodo che ne deriva è comunemente detto “semi-probabilistico agli stati
limite”.

E’ semi-probabilistico in quanto, al contrario di un metodo probabilistico
“esatto” non si confrontano le funzioni densità di probabilità della resistenza R
e della sollecitazione S.
Nella figura di destra è riportata la densità di probabilità del margine di
sicurezza Z=R-S.
p(s) S
p(r) R
p(z) Z
Pc
r, s z= r−s Un tale confronto, infatti, non solo risulta computazionalmente molto oneroso,
ma richiederebbe un numero campioni molto elevato per definire con grande
precisione le statistiche delle variabili aleatorie R ed S.

Nel metodo semi-probabilistico agli stati limite, per ciascuno stato limite, si
definiscono il valore di progetto della resistenza, R d =R k /γ r , ed i valori
caratteristici delle azioni, A k ; da queste, mediante combinazioni di carico che
dipendono dalla tipologia strutturale, dalla destinazione d’uso, dal particolare
stato limite, etc., si risale al valore di progetto della sollecitazione.
La verifica è positiva allorquando R d ≥ S d .
Ad esempio si possono avere:
- Lo stato limite elastico, quando si forma la prima cerniera plastica.
- Lo stato limite di collasso, quando la formazione delle cerniere plastiche
trasforma la struttura in un cinematismo.
- Lo stato limite di esercizio, quando le deformazioni risultano eccessive per la
l’ordinaria fruizione della costruzione.

P
Trasformazione della struttura
in un cinematismo
q
Stato limite elastico
Deformazioni
eccessive
Formazione
della prima
cerniera plastica
Stato limite di collasso Stato limite di esercizio

5. Verifica e progetto delle travi in campo elastico
• Nell’ambito del corso di “Scienza delle Costruzioni”si fa l’ipotesi che i
materiali che compongono la struttura abbiano un comportamento elastico
lineare
• Inoltre, le azioni sulle strutture vengono assegnate senza ricavarle da
situazioni reali o dalle prescrizioni normative
• Ciò comporta che nel caso di S.d.C., ai fini didattici, le verifiche saranno
eseguite applicando il metodo “storico” delle tensioni ammissibili.
• Bisogna avere chiaro però che nel momento in cui gli elementi strutturali da
progettare sono dei modelli matematici che schematizzano la realtà fisica è
necessario eseguire le verifiche col metodo semiprobabilistico agli statilimite
• Il metodo alle tensioni ammissibili, nell’ambito delle ipotesi esposte in
precedenza, è in grado di predire in modo opportuno, nel processo di verifica,
con quale margine di sicurezza una trave elastica è in grado di sopportare le
azioni in campo elastico e consente anche nella fase di progetto, di
dimensionare la sezione trasversale della trave in modo tale che essa sia in
grado di resistere ai carichi previsti.

Verifica e progetto delle travi in campo elastico
• Si noti che le fasi successive dell’analisi e verifica elastica della struttura
possono riassumersi nei seguenti passi fondamentali:
1) Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione, risolvendo delle
strutture isostatiche o iperstatiche
2) Individuazione nella struttura delle sezioni più sollecitate dall’esame
dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
3) Calcolo nelle sezioni più sollecitate delle tensioni normali e tangenziali
4) Individuazione dei punti della sezione più sollecitati
5) Applicazione del criterio di verifica che si ritiene più adeguato
(tensioni ammissibili, semiprobabilistico agli stati limite)

T =
max
q
ql
2
La verifica strutturale col metodo delle tensioni ammissibili
y
ql
Ty( z) = −qz
2
ql qz
Mx( z) = z−
2 2
l
l
l
ql
M max =
8
Passi 1 e 2: Calcolo delle
caratteristiche della sollecitazione ed
individuazione delle sezioni
maggiormente sollecitate
2
2
ql
2
z
x
x
M ≡ M
x
x
T ≡ T
y
y
max
y
max
b
y
h
3Ty
τ max =
2bh
6M x
min 2
σ =−
sezione
assegnata
bh
6M x
max 2
σ =
Passi 3 e 4: Calcolo delle tensioni
normali e tangenziali ed
individuazioni dei punti
maggiormente sollecitati
bh
Tresca
σ = 2τ
≤σ
id max amm
Huber – Von
Mises
σ τ σ
id = max 3 ≤ amm
σ = σ ≤σ
id max amm
σ
γ =
σ
amm
id
Passo 5:
Verifica

Progetto delle travi in campo elastico
• Il problema del progetto o dimensionamento è un problema inverso
rispetto a quello della verifica: noti i carichi attesi, le luci da coprire e i
vincoli da utilizzare occorre dimensionare la sezione traversale della trave
• Il problema non ha soluzione unica: diverse sezioni possono sopportare in
campo elastico gli sforzi indotti dai carichi
• Il dimensionamento o progettazione degli elementi strutturali può
eseguirsi in modo diretto per strutture isostatiche per le quali le
caratteristiche della sollecitazione non dipendono dalle dimensioni delle
sezioni trasversali
M I
M
σ = ≤ σ ; W = ⇒ W =
x,max x
x,max
max
W
amm
ymax
min
σ amm
Modulo di
resistenza elastica
Dalle tabelle si sceglie la
sezione
• La progettazione di strutture iperstatiche in generale deve essere
eseguita in modo indiretto, effettuando dapprima un predimensionamento
di massima ed effettuando successivamente la verifica

Progetto delle travi in campo elastico e predimensionamento di massima
Sistema iperstatico Schemi per il predimensionamento

6. Verifica a carico critico euleriano
• Comportamento tipico di elementi lunghi e
sottili che lavorano a compressione
• Coll’aumento del carico di compressione si
raggiunge un valore al quale l’elemento
sottile invece di limitarsi ad accorciarsi, si
inflette bruscamente ed in genere si spezza
• Questo valore è detto carico critico di punta dell’elemento e
costituisce un fattore fondamentale di cui va tenuto conto nella
progettazione
• Il valore del carico di compressione sotto il quale un pilastro
sottile si ingobba può corrispondere a sollecitazioni inferiori di
sicurezza determinati in base alla normale resistenza a
compressione

Verifica a carico critico euleriano
• Il carico critico di un pilastro dipende dal materiale dal quale questo
è costituito, dalla sua lunghezza, dalla forma della sezione e dai vincoli
ai suoi estremi
• Il carico critico è proporzionale al modulo di elasticità del materiale:
un montante di acciaio ha una resistenza al carico di punta tre volte
superiore a quella di un montante in alluminio delle stesse dimensioni
• Il carico critico è inversamente proporzionale al quadrato della
lunghezza dell’elemento
• Profilati in cui la massa del materiale è disposta a distanza
relativamente grande dall’asse longitudinale (scatolari, H) sono i più
adatti a resistere all’ingobbamento
• Il carico critico di punta aumenta coll’aumentare del grado di vincolo
all’estremità dell’elemento compresso: il carico critico di un pilastro
incastrato solo alla base è inferiore a quello del pilastro incastrato e
appoggiato all’altra estremità

Verifica a carico critico euleriano
• Il carico critico o carico critico di Eulero risulta
• pressione critica di Eulero
snervamento
c
N
c
= π
EI
2 min
2
l0
2 2
Nc 2 EI 2 ρ π E
E
2 2 2
A l0A l0
λ
σ = = π = π =
lunghezza libera di inflessione
l0= α l
α
: funzione delle condizioni di vincolo
snellezza
verifica a carico
di punta
σ amm σ max ≤
ωλ ( )
coefficiente >1
tabellato

l0= l
l = 2l
0
l0 ≅ l/
2
Verifica a carico critico euleriano
l = l/2
0
l = 2l
0
l0= l

Si sa solo quando si sa poco:
con il sapere aumenta l’incertezza.
Johann Wolgang Goethe (1749-1832)