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Conduzione e Corrente Elettrica
I conduttori (metallici) sono solidi costituiti da atomi disposti in maniera
ordinata nello spazio, che hanno perso uno o più elettroni (negativi) che
sono liberi dimuoversinello di muoversi nello spazio tra gli ioni positivi.
N A ≈ 810 28 m -3 ,N e =1÷4 N A m -3 =1÷4 x810 22 cm -3
In un corpo in equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni avviene ad
elevatissima velocità ma in maniera caotica: v med =0.
med
In presenza di un campo elettrico gli elettroni acquistano una piccola
velocità nella direzione opposta al campo elettrico, v med ≠ 0.
Questomotodichiama Q
corrente elettrica.
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In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che che,
quindi, si muovono nel verso del campo elettrico.
La corrente può essere istantanea (es: tra due corpi a diverso potenziale
messi a contatto), oppure stazionaria.
La corrente (stazionaria) deve circolare in un circuito, percorso chiuso
costituito i i dda più iù conduttori d icollegati. ll i
Per ottenerla è necessario un generatore, dispositivo in grado di mantenere
una d.d.p. (e quindi un campo elettrico) costante nel tempo.
Simbolo circuitale di un generatore (in continua)
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Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo!
Quindi è un Campo elettromotore che genera una forza elettromotrice
(f (f.e.m.). ) EEs. Pil Pila, accumulatore, lt di dinamo, alternatore,…
lt t
Oltre ai conduttori metallici, , esistono conduttori gassosi, g , elettrolitici e semi-
conduttori!
Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza resistenza, dovuta agli urti contro
vari ostacoli.
MModellosemplice d ll li dll dellaconduzione d i elettrica ltti (di DDrude) d )
Hp: p n portatori p di carica per p unità di volume che,
con E = 0, si muovono con velocità termica media
v t (random).
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In presenza di un campo elettrico EE, all’interno all interno del conduttore conduttore,
prodotto da un generatore, su ogni carica, tra due urti successivi, agisce
una fforza F = e E eun’accelerazione ’ l i a = e E/ E/m, llungo una di distanza t ffra i
due urti l eperuntempoτ =l/v
Dato che la media delle velocità termiche è zero,
a ogni elettrone resta solo la velocità di deriva (drift)
= μ E
μ si chiama mobilità del materiale.
unità di misura: μ =v d /E = m/s m/V = m 2 / V s
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Se consideriamo id i il numero di elettroni l iche h attraversano una sezione i ddΣ
di un conduttore nell’unità di tempo, esso sarà (v. def. di flusso):
ndΦ (v d )= n v d dΣ cosθ
con θ l’angolo tra v d e u n , normale a dΣ,
Il flusso di carica (per unità di tempo) attraverso dΣ, indichiamolo con di,
sarà quindi:
di = q n v d dΣ cosθ =nqv d ⋅u n dΣ
Se chiamiamo il vettore j = nqv d densità di corrente
Allora si ha di = j ⋅u n dΣ
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Chiamiamo corrente, i, la carica che , nell’unità di tempo, attraversa tutta
la sezione Σ del conduttore; si ha:
j • u n
se j e costante su tutta Σ e parallelo a u n
i=jΣ e j=i/Σ
Unità di misura: i = C/s = A , Ampere
j=i/Σ =A/m 2
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N.B. I portatori veri sono elettroni di carica q = - e, ma la loro velocità è
opposta pp al campo p elettrico. Quindi Q
sono concordi concordi.
j + = n +e v d e j - = n - (-e) (-)v d
Ni Nei semiconduttori i d ienegli li elettrolitici l li i iciisono portatori i +e- quindi i di
j tot = j + + j - = n +e v d + n - (-e) (-)v d
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In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è
costante (Condizione di stazionarietà della corrente).
Quindi Quindi :
j è solenoidale, non ci sono né pozzi né sorgenti
Ma se ≠
≠ 0
q è lla quantità iàdi di carica i ddentro ΣΣ
Equazione q
di continuità della corrente (o della carica (!))
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Applichiamo pp il teo. della divergenza g
inoltre o e
Quindi ll’equazione equazione di continuità diventa
da cui
Forma locale dell’equazione di continuità
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Ma per la legge di Gauss per cui
in forma locale la legge di Gauss è: per cui
stazionarietà:
non stazionarietà:
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Leggi di Ohm
Oh Ohm hha verificato ifi t che h per una certa t categoria t i di conduttori, dttiddetti tti metallici, t lli i
il rapporto tra la tensione ai capi del conduttore, V elacorrentechescorre
in esso, i, è una costante, indicata con R, Resistenza del conduttore.
V/ i = R (I “Legge”)
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Ri Riprendiamo di j = nqvd = nqμ E = σ E
con σ = nqμ
σ , si chiama conduttività/conducibilità del materiale
La relazione j=σ E
èlaleggediOhmper gg p la conduttività (Legge ( gg di Ohm microscopica, p locale) )
Se chiamiamo ρ ρ = 1/σ 1/σ resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore)
allora
j = σ E = E / ρ E = j / σ = j ρ ρ = E / j (R = V/I)
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Per un conduttore di forma irregolare irregolare, in un
tratto dh di sezione Σ, siha
con
E = ρ j
Questa è una definizione più generale di R, resistenza del conduttore.
Infatti
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Se il conduttore di lunghezza h, ha sezione
Σ e resistività ρ costanti la resistenza R si
può scrivere come
“ II legge di Ohm”.
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Unità di misura
R = V/ i ≡ Volt/Ampere ≡ V/A = Ohm ≡ Ω
G = Conduttanza = 1/ R ≡ Ω -1 (Mho) ≡ Siemens ≡ S
ρ = ≡ Ohm cm 2 /cm ≡Ωcm
σ =1/ρ≡( Ω cm) -1 =S/cm
ρ varia con la temperatura: ρ = ρ 0 (1+α Δ t)
α = coefficiente termico
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Effetto Joule
Se una carica dq si muove nel conduttore
sotto l’azione di un campo elettrico, in
presenza di resistenza al moto, il campo
compie il lavoro
dW = dq V = V i dt
producendo una potenza P =dW/dt=
iV i2 R V2 iV = i /R
2 R = V2 /R
Dopo un tempo t è stato prodotto il lavoro P
Se i è costante nel tempo: W=i 2 Rt
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Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi elementi,
mentre si trascura quella del resto del circuito (fili di collegamento, ecc.)
QQuesti ti elementi l ti sii chiamano hi RResistori i t i (R (Resistors), i t ) ognuno caratterizzato tt i t
dalla sua resistenza R.
Simbolo circuitale di un resistore (resistenza!)
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Più resistori possono essere collegati tra loro per ottenere valori di
resistenza diversi da quella dei singoli resistori.
Due modalità: In serie, in parallelo.
Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi:
Resistori in serie
Nei resistori in serie passa in tutti la stessa corrente,lad.d.p. dipende dalla R
Dobbiamo trovare la resistenza equivalente
alla serie di R 1 e R 2 : R eq
R Req = R R1 + R R2 18

Per n resistori in serie
N.B. R eq > Max{ R i}
R eq = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 … + R n
La potenza totale spesa dal generatore vale :
P =(V A –V C )i = (R 1 + R 2 )i 2 =R 1 i 2 + R 2 i 2 = P 1 +P 2
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Per n resistori in parallelo:
RResistori i t iiinparallelo ll l
Nei resistori in parallelo parallelo, c’è la stessa dd.d.p. d p V ai
capi di tutti. La corrente si divide.
In condizioni stazionarie: i=i 1 +i 2
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N.B.: R eq < min { R i}
Quanto valgono le due correnti i i1 e i i2 ?
La potenza spesa dal generatore:
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FForza elettromotrice
ltt ti
Per la I legge di Ohm la d.d.p. ai capi di un conduttore di resistenza R è:
Se il circuito è costituito dal solo conduttore
l’integrale circuitale diviene
e rappresenta la Forza Elettromotrice (f.e.m.) che fa circolare la corrente,
prodotta dal generatore, generatore nella resistenza totale R T
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Se l’integrale circuitale non è 0, il campo E non può essere elettrostatico
e conservativo!
All’interno del generatore ci sono forze di natura non elettrostatica che
provocano il moto delle cariche. Tali forze possono essere di varia natura:
chimica, elettromagnetica,…
Ovviamente nel generatore è presente anche
un campo elettrostatico E el che, però, farebbe
muovere le cariche in senso opposto al campo
E*, ed e minore di E*.
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E* è presente solo nel generatore, quindi
Il generatore possiede anche una sua resistenza
interna rr, della quale si dovrebbe sempre tener
conto.
Quindi per il semplice circuito in figura si ha:
E = ( (r+R) ) i
E
E
e può disegnare l’andamento l andamento a fianco: fianco:
E
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Partitore resistivo
Se ci sono n resistori in serie serie, ai capi di
ognuno si ha la d.d.p., V i :
ma V AB = E - ri

CCarica i dii un condensatore attraverso un resistore i
(Circuito RC)
Per t < 0, circuito aperto, non circola corrente,
V C =0
A t = 0, il tasto T viene chiuso, inizia a
circolare corrente.
Applichiamo la Legge di Ohm:
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τ =
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SScarica i dii un condensatore ( (carico) i ) attraverso un
resistore
Per t < 0, C carico, < T aperto, non scorre
corrente
At=0, , si chiude T, , inizia a scorrere corrente
da + a −
q: carica sul condensatore
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CCorrente dii spostamento
Durantelacaricaoscaricadelcondensatorenel
circuito scorre corrente anche se il condensatore
è una interruzione del circuito.
Ogni +dq che si accumula sulla faccia sup. di C
induce una carica –dq sulla faccia inferiore, che
allontana una carica +dq efaproseguireilmoto
di cariche.
Chiamiamo questa corrente fittizia tra le armature del condensatore
Corrente di Spostamento, p , i s
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Per un CC.f.p.p. f p p
La corrente di spostamento dipende dalla variazione nel tempo del flusso
di E. C’è finche Φ(E)varia.
Definiamo densità di CdS:
In un circuito RC durante la carica o la scarica la corrente è formata da
due componeneti
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i c e j c : nei conduttori
ffra llearmature t dlC del C.f.p.p. f
Se nel condensatore c’è un dielettrico di cost. diel. realtiva k si
moltiplica ε 0 per k.
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Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche
Reti elettriche: circuiti più complessi.
Contengono nodi, rami e maglie
NNodo: d puntonel t l quale l convergono almeno l ttre conduttori d tt i
Ramo: tratto di circuito tra due nodi. (Può contenere elementi attivi o
passivi)
Maglia: cammino chiuso di più rami.
N.B. Un ramo può appartenere a più maglie.
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L’ L’analisi li i dll delle retiipuòòessere molto l complessa. l (V (V. CCorso di
Elettrotecnica).
Si usano le due Leggi di Kirchhoff.
I) (Legge dei Nodi): La somma algebrica delle correnti entranti in un
nodo deve essere nulla
Σ k i k = 0
II) (Legge delle maglie): La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami
della maglia deve essere uguale alla somma dei prodotti R k i k
ΣΣ k R Rk i ik = ΣΣ kEE k
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Isegni g delle f.e.m. e dei prodotti p R k i k (d.d.p.) ( p ) si ricavano dalle seguenti g
regole:
1) Si fi fissa arbitrariamente bit i t comepositivo iti un verso
di percorrenza della maglia. (es. orario).
2) se nel k-esimo ramo la corrente è concorde
con il verso scelto, R k i k si prende positivo,
altrimenti si prende negativo.
3) se una f.e.m. viene attraversata dalla corrente
arbitraria dal – al +, di prende positiva,
altrimenti negativa.
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Es.:
V P + E 1 - R 1 i 1 +E 2 - R 2 i 2 - E 3 - R 3 i 3 –E k - R 4 i 4 = V P
E 1 +E 2 - E 3 -E k = R 1 i 1 + R 2 i 2 + R 3 i 3 + R 4 i 4
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Strumenti di misura di I e V
Per misurare la corrente si deve aprire il circuito e inserire uno
strumento nel quale scorra la corrente da misurare.
Amperometro, p , milli- , micro-, , Galvanomtro
Anche h ll’amperometro hha una sua resistenza i iinterna! Ideale: d l rg =0!
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LLa corrente misurata i non è V/R ma V/(R V/(R+rg) )
Shunt
Se si mette in parallelo all’amperometro all amperometro una resistenza di “shunt” shunt più
piccola di r g (ades.1/9r g), la maggior parte della corrente passa nello
shunt h t(9/10) (9/10) e 1/10 nell’Amperometro.
ll’A t
Così si può aumentare di 10 volte la massima corrente che si può
misurare.

Misure di dd.d.p. d p
Per misurare la dd.d.p. d p tra due punti di un
circuito si deve sfrutta la misura di i elasi
moltiplica per RR. Si deve mettere lo
strumento (Voltmetro, milli-, micro-,…,
El Elettrometro) ) iin parallelo ll l all circuito i i tra i
due punti.
La resistenza interna del voltmetro deve essere molto alta così che ci passi
pochissima corrente corrente.
Ma la corrente che ora scorre nel circuito i’ è > della precedente i eil
prodotto i’R ≠ iR.