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Il Dipolo Elettrico
Dipolo Elettrico: due cariche
(puntiformi) +q e –q (stesso modulo,
segno g opposto) pp ) a distanza a.
Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo
qa che va da –qq a +q
Dato un punto P molto distante dal dipolo : r>>a r >> a
Elettrologia III
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θ ‘
ϕ
r 2 -r 1 ≅ a cosθ ’ ≅ ≅
Elettrologia III
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V non di dipende d da d ϕ quindi i di E Eϕ ∝
Per θ = 0, E // asse z,
Elettrologia III
E
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Per θ = π/2, E
Per θ = π, … // p !
Elettrologia III
E
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Anche per un sistema di più cariche (se neutro) si può definire un
momento di di dipolo, l P = dda, con q + = ΣΣ qi+ , q- = ΣΣ
qi- e a = vettore
tra i “baricentri” delle cariche – e +.
Momenti di quadrupolo, octupolo,…..
Elettrologia III
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Forza agente g su un dipolo p
Se Se E è uniforme, niforme allora allora F F2 = q + E = -FF 1 , F Ftot = 00,
ma c’è il momento torcente della coppia di Forze:
M = - pE sin(θ) u z
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Lavoro di M per p ruotare di θ il dipolo p
U(θ) minima per θ = 0 ! -1 < 0 !
Per θ iniziale ≠ 0, moto oscillatorio, armonico per piccoli θ
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SSe E non è uniforme if E ≠ E (E

Angolo (piano) :
Angolo piano e angolo solido
Porzione di piano individuata
da due semirette con l’origine in comune:
Angolo solido : Porzione di spazio individuata
da quattro semirette (non complanari) con
l’origine in comune:
dΣ 0 porzione di sup. sferica
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AB ≈ r dθ, O’AO = O’DO = π/2,
AD ≈ r’ d φ = r sin(θ) dφ
Area ABCD ≈ r 2 sin(θ) dθ dφ = d Σ 0
= sin(θ) dθ dφ
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rad
r’
strad
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Legge gg di Gauss
Il campo elettrostatico di una carica è conservativo, allora anche il campo
di N cariche o di una distribuzione continua di cariche è conservativo.
Consideriamo il flusso infinitesimo d ΦΦ di un vettore (E) attraverso
una superficie infinitesima dΣ
dΦ = E ⋅ u n dΣ = E dΣ cos(θ) =
E En dΣ dΣ = E dΣ dΣ 0
dΣ 0 porzione di sup. sferica
dΦ =
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Legge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficie
chiusa è uguale alla carica netta all’interno, divisa per ε 0
Dato che E è additivo e gli integrale si sommano, la legge vale anche
per N cariche discrete o una distribuzione continua di carica.
Q è la somma di tutte le cariche interne, con il loro segno
τ è il volume racchiuso da Σ (sup. chiusa)
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LLe carche h esterne non contano. Danno D un fl flusso totale l = zero.
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Riprendiamo il teorema della Divergenza
Φ (v) ≡ =
Σ
Applichiamolo alla Legge di Gauss
La carica Q contenuta nel volume τ racchiuso da Σ si può scrivere
per cui
FORMA DIFFERENZIALE ( O LOCALE) DELLA LEGGE DI GAUSS
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Dato che
Equazione di Poisson
Se ρ = 0
Equazione di Laplace
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(x,y,z)
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La Legge di Gauss è molto utile quando, per motivi di simmetria,
l’integrale del Flusso è facile. Altrimenti…
Esempi
1) E costante e // a n su tutta la superficie Σ (chiusa)
Se Σ è una sfera
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2) Sfera vuota di raggio R, uniformemente carica (solo) in superficie: σ = cost
Campo in P, che dista r dal centro della sfera?
Ogni coppia di punti simmetrici dà un campo
iinfinitesimo fi i i sempre // al lraggio i e che h dipende di d
solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r 2 e il flusso di E è Φ(E) = E 4π r 2 =
per cui
come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera!
inoltre
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Sulla sup. della sfera (r = R): E
Dentro la sfera (r < R) Q = 0, E = 0
Il potenziale fuori va come 1/r
Dentro è costante e alla ll superficie, fi i deve d
raccordarsi con quello fuori.
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3) Sfera piena, uniformemente carica nel volume : ρ = cost
Stesse considerazioni sulla geometria:
prendiamo due volumetti simmetrici...
E(r) è sempre radiale e dipende solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r 2 e il flusso di E è E 4π r 2 = per cui
come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.
E
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E
per r ≥ R, è come se tutta la carica fosse
concentrata nel centro della sfera.
per r = R: V (R) =
per r < R, R ≡ r!, E = ,
all’interno
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r
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4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R

R non può essere 0 !
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5) Superficie indefinita, uniformemente carica: σ = q / S = cost.
Prendiamo un cilindro di sezione Σ, con l’asse
perpendicolare p p alla sup. p , di altezza h.
La carica nel cilindro è quella sulla parte di
superficie all’interno all interno del cilindro Σ: q = σσ ΣΣ
Come già visto.
(Finchè x è

NB N.B. Il campo E che h compare nel lfl flusso è quello ll totale, t t l può òanche h
derivare da altre cariche .
Es: E 1 ≠ E 2. ma concordi e uniformi.
Prendiamo un cilindretto…
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E 1
+
+
+
+
+
+
+
+
σ
E E2 24