Ubicazione degli impianti industriali

Metodi di di ubicazione degli impianti industriali 

Ubicazione degli impianti 

Macroscelta 

Determinare l’area geografica 

nella quale posizionare 

l’impianto 

industriali 

Tipi di scelta da affrontare 

Microscelta 

Rappresenta l’aspetto topografico, 

cioè dove installare l’impianto 

all’interno dell’area geografica 

prescelta 

1


Fattori che intervengono nella scelta 

Pianificazione territoriale 

relativa ai piani regolatori provinciali che definiscono le 

zone di insediamento industriale 

Costi delle aree fabbricabili e costi di 

realizzazione dei fabbricati 

Struttura del mercato 

può essere diffuso o localizzato; ciò influenza i costi di 

distribuzione del prodotto 

Materie prime 

sia dal punto di vista del costo che della facilità di 

reperimento 

2


Costo dei trasporti 

sono tanto più rilevanti quanto più poveri sono i 

materiali trasportati 

Manodopera 

sia dal punto di vista dei costi che della reperimento di 

operatori con competenze specialistiche 

Energia 

oggigiorno non è un fattore molto importante in quanto 

non vi sono problemi di reperimento 

Impatto ambientale 

è il fattore più importante ed è legato a fattori sociali e 

politici 

3


Metodi di valutazione delle scelte 

Fattori che influenzano la scelta 

Quantitativi: tutti i fattori ai quali è possibile 

attribuire un valore 

Qualitativi: tutti gli altri 

Metodi a punteggio 

Metodi che fanno riferimento ai costi totali 

Metodi che fanno riferimento ai costi di 

trasporto 

4


Procedimento 

Metodo a punteggio 

Si determinano i fattori determinanti per la valutazione 

delle diverse alternative 

1) Si assegnano dei pesi normalizzati ad ognuno dei 

fattori (somma pesi = 100) 

2) Per ognuna delle diverse soluzioni, si assegna una 

valutazione relativamente ad ogni fattore 

3) Si moltiplicano i pesi per le valutazioni, e si sommano 

i risultati per ciascuna soluzione 

4) La soluzione preferibile è quella che ottiene il 

punteggio più elevato 

5


Esempio 

Osservazioni 

Il metodo è veloce e di facile applicazione 

Permette di identificare rapidamente le soluzioni 

palesemente inefficienti 

La scelta tra due o più soluzioni equivalenti va 

successivamente effettuata con metodi più raffinati 

6


Metodo basato sui costi totali 

Consiste in una valutazione approssimativa fatta sui 

costi di investimento e sui costi annui di esercizio. 

Esempio 

Osservazione 

Nel caso in cui i costi di investimento e quelli di esercizio 

diano risultati contrastanti, si deve procedere all’analisi 

dei flussi di cassa attualizzati. 

7


COSTI PROPORZIONALI ALLE DISTANZE 

Formulazione generale del problema 

dell’allocazione di un impianto 

– i costi preponderanti sono quelli di trasporto 

– occorre individuare le distanze tra il punto incognito di 

ubicazione e i punti generici da servire o da cui ci si 

serve 

costi proporzionali alle distanze rettangolari 

costi proporzionali alle distanze euclidee 

costi proporzionali alle distanze euclidee al quadrato 

– il punto di ubicazione risulta dalla minimizzazione di una 

funzione costo che è la somma dei prodotti di un peso 

per le distanze percorse 

– il peso è il prodotto del numero di viaggi che si prevede 

debbano essere effettuati in un determinato periodo ed 

il costo chilometrico. 

8


FORMULAZIONE ANALITICA GENERALE DEL PROBLEMA 

P i = m punti noti (i=1,…,m); 

X (x,y) = punto incognito di ubicazione del nuovo impianto; 

d (X,P i ) = distanza percorsa per ogni viaggio da X a P i ; 

c i = costo per unità di percorso; 

n i = numero viaggi all’anno tra X e P i ; 

COSTO TOTALE ANNUO DEI TRASPORTI: 

m 

= ∑ 

i= 

1 

i 

w = c ⋅ n 

i 

( X P ) 

f ( X ) w ⋅d 

, 

i 

i 

i 

Pesi: dipendono 

dal tipo e dalla 

frequenza dei 

trasporti 

9


OBIETTIVO Determinare X*(x*,y*) per il quale f(X*) = min f(X) 

La distanza d( X,P i ) 

può essere: 

X(x,y) 

1. Distanza euclidea (rettilinea): 

Applicazione: 

euclidea 

( ) ( ) 2 

2 

x − a + y b 

d( X , Pi 

) = 

i − i 

problemi trasporti aerei 

tracciati di pipelines 

P i (a i ,b i ) 

rettangolare 

10


2. Distanza rettangolare 

Applicazione: 

d( X , P ) = x − a + y − b 

i 

ubicazione di macchine 

i 

spostamento di personale all’interno di un edificio 

traffico aree urbane 

i 

11


3. Problema baricentrico 

(gravity problem o distanza euclidea al quadrato) 

f 

( X ) 

= 

m 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

[ ( x − a ) + ( y − b ) ] 

2 

2 

Esempio in cui il costo non è una semplice funzione lineare della 

distanza. 

Applicazione: 

i 

risposta al fuco di un autocarro dei pompieri 

In questo caso carco di bilanciare le distanze, 

in modo da minimizzare il tempo di intervento; 

non è detto che la soluzione sia quella che 

minimizza la funzione costo totale di trasporto. 

i 

12


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI 

PROPORZIONALI ALLE DISTANZE RETTANGOLARI 

Problema : minimizzare 

m 

( x − a + y − b ) = f ( x) 

f ( y) 

f ( x, 

y) 

w i 

i 1 + 

= ∑ 

i= 

1 

Separando le variabili si ha: 

min 

f 

( x, 

y) 

= 

min 

i 2 

m 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

x 

− 

a 

i 

+ 

min 

m 

∑ 

i= 

1 

= 

min f 1( 

x) 

+ min f2 

( y) 

w 

i 

y − b 

i 

= 

13


1. Si riportano i punti noti sul diagramma e si costruisce il reticolato: 

y 

d q 

ds+1 ds d i 

d 1 

0 c 1 c j c t c t+1 c p 

(s,t) 

(i,j) 

x 

14


Siano: 

c j = coordinata x della verticale j-ima ( j=1,..,p ) 

( ) 

∑ w 

C j = = somma pesi dei punti sulla j-ima verticale 

di = coordinata y della orizzontale i-ima ( i=1,…,q ) 

D ( ∑ w) 

i = = somma pesi dei punti sulla i-ima orizzontale 

La funzione di costo risulta così espressa: 

p 

= ∑ ∑ 

f ( x, 

y) 

C x − c + D y − 

Con: c 1


Si considerano i punti (x,y) della regione [s,t] tali che: 

ct ≤ x < ct+ 

1 e ds 

≤ y < ds 

+ 1 

La funzione di costo assume la forma: 

f ( x, 

y) 

t 

= ∑C 

( − ) + ∑ ( − ) + ∑ ( − ) + ∑ 

j x c j C j c j x Di 

y di 

Di 

( di 

− y)= 

j= 

1 

= 

p 

j= 

t+ 

1 

Dove: M = ∑ − ∑ 

t C j 

N 

s 

= 

t 

j= 

1 

s 

∑ 

i= 

1 

D 

i 

− 

t 

s 

s 

i= 

1 

M ⋅ x + N ⋅ y + C 

p 

j= 

t+ 

1 

q 

∑ 

i= 

s+ 

1 

C 

D 

i 

C = Somma dei restanti termini noti 

st 

j 

st 

q 

i= 

s+ 

1 

In questo modo 

ho eliminato il 

valore assoluto 

16


Linea isocosto: Luogo dei punti (x,y) in cui f(x,y) = cost. 

f ( x, 

y) 

= M t ⋅ x + N s ⋅ y + Cst 

y 

= 

− 

M 

N 

t 

s 

⋅ 

x 

K − C 

N 

La linea isocosto all’interno del rettangolo di 

analisi è una retta di coefficiente angolare: 

S = 

− 

st 

+ 

M 

N 

t 

s 

s 

st 

= 

K 

17


Devo trovare il punto di ottimo min f (x,y) 

( x) 

+ ( y) 

Cst 

f ( x, 

y) 

= ϕ1 

ϕ2 

+ 

( ) Con: x = M t ⋅ x 

ϕ1 

ϕ2 

( y) N s y ⋅ = 

Quindi sarà: 

minϕ 

1 = t = M 

dϕ 

dx 

dϕ2 

= N s = 

dy 

1 

minϕ 2 

0 

0 

( x) 

( y) 

(1) 

18


N.B: 

In realtà M t e N s non sono funzioni continue 

poiché sono la somma dei contributi dei pesi. 

Non posso utilizzare la condizione (1) ma 

devo valutare graficamente l’andamento 

delle funzioni φ 1 e φ 2 dentro e fuori la 

porzione considerata. 

19


a) 

b) 

M t-1 < 0 

N s-1 < 0 

M t > 0 

M t = 0 

N s > 0 

N s = 0 

c t 

c t 

d s 

d s 

x* = c t 

c t < x*


In conclusione il punto (x ott ,y ott ) di minimo per f(x,y) soddisfa 

uno dei seguenti uno dei seguenti 4 casi: 

1. Mt-1 < 0 

N s-1 < 0 

2. Mt-1 < 0 

N s-1 < 0 

M t > 0 

N s > 0 

M t = 0 

N s > 0 

x*= c t 

y* = d s 

c t < x*


3. Mt-1 < 0 

N s-1 < 0 

4. Mt-1 < 0 

N s-1 < 0 

M t > 0 

N s = 0 

M t = 0 

x* = c t 

d s < y*


CONDIZIONI MEDIANE: 

t 

p 

Mt > 0 ∑ − ∑ j C j ≥ 0 

j= 

1 j= 

t+ 

1 

Analogamente 

C ∑C 

≥ ∑ j 

Sommo mam ∑ 

j= 

t 

1 

C 

Da cui si ha: ∑C 

≥ ∑ 

j 

j= 

1 

j 

2 

i= 

1 

Ns > 0 ∑ D ≥ ∑ 

i 

p 

q 

i= 

1 

1 

2 

1 

2 

m 

m 

i= 

1 

t 

j= 

1 

t 

∑ 

j= 

1 

w 

w 

i 

i 

C 

j 

≥ 

p 

j= 

t+ 

1 

p 

∑ 

j= 

1 

C 

C 

j 

j 

= 

m 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

23


NB: La determinazione delle coordinate ottime x ott e y ott è 

indipendente, non è necessario determinare tutti gli 

M t e gli N s . Infatti vale: 

M 

t+ 

1 p 

t 

p 

+ 1 = ∑ t C j − ∑C 

= ∑ + + 1 − ∑ 

j C j Ct 

C j + Ct+ 

1 

j= 

1 j= 

t+ 

2 j= 

1 

j= 

t+ 

1 

M 

N 

t+ 

1 = M t + 2 Ct+ 

1 

= N + Ds 

Analogamente: s+ 

1 s 2 + 1 

24


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI 

ALLA DISTANZA EUCLIDEA AL QUADRATO 


[ ( ) ( ) ] 

2 

2 

x − a + y b 

m 

( x, 

y) 

= ∑ wi 

i= 

1 

i 

i 

f − 

Le condizioni da soddisfare sono: 

⎡∂ 

⎢ 

⎣ 

f ( x, 

y) 

⎤ 

⎡∂f 

( x, 

y) 

∂x 

⎥ 

⎦ 

x= 

x* 

y= y* 

= 

0 

⎢ 

⎣ 

∂y 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

x= 

x* 

y= 

y* 

= 

0 

25


Sviluppando le derivate parziali si ottiene: 

⎧⎛ 

∂f 

⎞ 

⎪⎜ 

⎟ 

⎪⎝ 

∂x 

⎠ 

⎨ 

⎪⎛ 

∂f 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎪ 

⎩⎝ 

∂y 

⎠ 

Da cui: 

x 

* 

x= 

x* 

y= 

y* 

m 

∑ 

= 

= 

i= 

1 = m 

∑ 

i= 

1 

m 

∑ 

w 

i= 

1 

m 

∑ 

i= 

1 

i 

w 

a 

i 

w 

i 

i 

w 

i 

⋅ 2x 

* 

⋅2 

y 

; 

* 

− 

− 

y 

* 

m 

∑ 

i= 

1 

m 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

w 

i 

m 

∑ 

i= 

1 = m 

⋅2a 

i 

⋅2b 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

i 

w 

b 

i 

= 

= 

i 

0 

0 

(x*,y*) possono essere 

considerate le medie 

pesate delle coordinate 

dei punti Pi, per cui tale 

soluzione è anche detta 

baricentro. 

26


DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO 

[ ( ) 2 

− + ( − ) 2 

x a y b ]= 

m 

( x, 

y) 

= ∑ wi 

i= 

1 

i 

i 

f costante 

( * ) 

2 

( * ) 

2 2 

Sviluppando si ottiene: x − x + y − y = r 

Equazione di una circonferenza di centro (x*,y*) e di raggio r : 

W 

r 

= 

= 

m 

Con: ∑ 

i= 

1 

k 

W 

wi 

+ 

m 

( * ) ( * 

+ ) 

2 

x y −∑ 

i= 

1 

w 

i 

a 

2 

i 

+ wib 

W 

2 

i 

27


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI 

ALLA DISTANZA EUCLIDEA o RETTILINEA 


m 

( x, 

y) 

= ∑ wi 

i= 

1 

i 

i 

( ) ( ) 2 

2 

x − a + y b 

f − 

Le condizioni da soddisfare sono: 

⎡∂ 

⎢ 

⎣ 

f ( x, 

y) 

⎤ 

⎡∂f 

( x, 

y) 

∂x 

⎥ 

⎦ 

x= 

x* 

y= y* 

= 

0 

⎢ 

⎣ 

∂y 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

x= 

x* 

y= 

y* 

= 

0 

28


Sviluppando le derivate parziali si ottiene: 

⎧⎛ 

∂f 

⎞ 

⎪⎜ 

⎟ 

⎪⎝ 

∂x 

⎠ 

⎨ 

⎪⎛ 

∂f 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎪ 

⎩⎝ 

∂y 

⎠ 

x= 

x* 

y= 

y* 

= 

= 

m 

∑ 

i= 

1 

m 

∑ 

i= 

1 

w 

i 

( x − a ) 

( ) 2 

x − a + ( y − b ) 

w 

i 

i 

( y − b ) 

( ) 2 

x − a + ( y − b ) 

i 

i 

i 

Queste relazioni sono valide solo per (x,y) ≠ (a i ,b i ) con i = 1,…,m. 

Quando il punto ottimale coincide con uno dei punti noti Pi, le formule 

precedenti non possono essere utilizzate. 

Approccio alle derivate parziali modificato di Kuhn 

i 

i 

2 

2 

= 

= 

0 

0 

29


Approccio alle Derivate Parziali Modificato di Kuhn 

Si utilizza la funzione R(x,y) definita nel piano (x,y) 

1. Se (x,y) ≠ (a i ,b i ) per i =1,…,m 

R( 

x, 

y) 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂f 

( x, 

y) 

∂f 

( x, 

y) 

⎞ 

⎟ 

∂x 

, 

∂y 

2. Se (x,y )= (a K ,b K ) per k =1,…,m con w K peso di P K 

R( 

x, 

y) 

= 

R( 

a 

k 

, b 

k 

⎧⎛ 

u 

⎪ ⎜ 

) = ⎨⎝ 

⎪ 

⎩ 

k 

( 0, 

0) 

k 

⎠ 

− w 

u 

k 

⋅ s 

k 

, 

u 

k 

− w 

u 

k 

k 

⋅t 

k 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

se u K > w K 

se u K ≤ w K 

30


Con: 

s 

t 

k 

k 

= 

= 

wi 

( ak 

− ai 

) 

( a 

2 

− a ) + ( b b ) 

m 

∑ 

i= 

1 

i≠k 

k i k − 

wi 

( bk 

− bi 

) 

( a 

2 

− a ) + ( b b ) 

m 

∑ 

i= 

1 

i≠k 

k i k − 

( 2 2 

t s ) 

u = + 

k 

k 

Si dimostra che: CNS affinché f(x,y) assuma il valore minimo e quindi 

(x*,y*) sia il punto di ottimo è che: 

R(x*,y*)=(0,0) 

P k (a k ,b k ) è l’ubicazione ottimale se e solo se u k ≤ w k 

k 

i 

i 

2 

2 

31


Riassumendo: 

Si considerano i punti noti e si fa la verifica secondo kuhn 

Calcolo u K e w K 

per ogni Pk 

Se esiste P k (a k ,b k ) tale che u K ≤ w K 

allora P k è l’ubicazione ottima 

Se u K > w K per ogni K allora si 

procede alla soluzione delle 

derivate parziali con metodo 

iterativo 

32


Dalle derivate parziali: 

x 

m 

∑ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂f 

⎞ 

⎟ 

∂x 

⎠ 

w 

( x − a ) 

x= x* 

m 

= ∑ 

i= 

1 

i 

i 

i 

bi 

( ) 2 

x − a + ( y − ) 

i 

∑ 

i i 

= 

( ) 2 ( ) 2 

− + − ( ) 2 

x a y b 

( ) 

i= 

1 x − a + y b 

i= 

1 

i 

i 

i − 

Analogamente: 

y 

m 

∑ 

w 

w 

m 

i 

∑ 

i i 

= 

( ) 2 

( ) 2 

− + − ( ) 2 

x a y b 

( ) 

i= 

1 x − a + y b 

i= 

1 

i 

i 

i − 

m 

2 

w 

a 

= 

w b 

0 

i 

i 

2 

2 

33


Sia: 

Segue: 

g 

i 

( x, 

y) 

x 

i 

= i = 1,2,…,m 

m 

∑ 

i= 

1 = m 

y 

∑ 

i= 

1 

m 

∑ 

i= 

1 = m 

a 

∑ 

i= 

1 

( ) ( ) 2 

2 

x − a + y − b 

i 

g 

b 

i 

g 

i 

g 

i 

i 

( x, 

y) 

g 

i 

w 

( x, 

y) 

i 

( 

x, 

y) 

( x, 

y) 

i 

34


In tutto il campo in cui gi (x, y) risulta definita si può passare alla seguente 

procedura iterativa: 

x 

( j) 

m 

∑ 

i= 

1 = m 

∑ 

i= 

1 

a 

i 

g 

g 

i 

i 

( x 

( x 

( j−1) 

( j−1) 

, 

, 

y 

y 

( j−1) 

( j−1) 

dove j = denota la j-ima iterazione 

La procedura iterativa continua finché: 

) 

) 

y 

( j) 

m 

∑ 

i= 

1 = m 

∑ 

i= 

1 

b 

i 

g 

g 

i 

i 

( x 

( x 

( j−1) 

( j−1) 

, 

, 

y 

y 

( j−1) 

( j−1) 

a. non si verifica un apprezzabile miglioramento nella determinazione 

delle coordinate della ubicazione del nuovo impianto , 

b. non si delinea una ubicazione che soddisfa la condizione necessaria 

e sufficiente dell’approccio di Kuhn (ovvero R (x*, y*) = (0, 0)). 

Come valore di partenza (x (0) , y (0) ) della procedura iterativa si può 

usare la soluzione del “gravity problem”. 

) 

) 

35


Procedura iterativa alternativa per la ricerca della soluzione 

Si basa su una g i (x, y) data da: 

g 

i 

( x, 

y) 

= 

Con: i = 1, 2, …., m 

2 

2 

( x − a ) + ( y − b ) + ε 

i 

w 

i 

i 

è sempre definita 

ε valore positivo piccolo a piacere sufficientemente piccolo 

da non mascherare la soluzione nel caso questa non 

coincida con uno dei punti Pi, ma anche sufficientemente 

grande da evitare instabilità di calcolo nell’approssimarsi 

alla soluzione se questa coincide con uno dei punti Pi. 

La procedura iterativa può essere iniziata usando sia la soluzione 

in distanze rettangolari che quella baricentrica (“gravity problem”) 

36


N.B : Può succedere che la soluzione rettangolare sia sufficientemente 

vicina alla soluzione ottimale euclidea cosicché una ulteriore ricerca 

non sia giustificata. 

Per questo prima di iniziare le procedura è opportuno verificare se: 

E 

( * * ) ( 0 0 ) 2 

, , f ( * 

x ) 2 * 

x y ≥ E x y ≥ + f (y ) 

dove: (x°, y°) soluzione ottimale euclidea; 

(x*, y*) soluzione ottimale rettangolare; 

E (x, y) valore fz obiettivo per il problema euclideo 

f 

f 

m 

( ) = ∑ 1 x 

i= 

1 

m 

( ) = ∑ 2 y 

i= 

1 

w 

i 

w 

i 

x − a 

i 

y − b 

i 

1 

valore fz obiettivo per il problema rettangolare 

valore fz obiettivo per il problema rettangolare 

2 

37

Metodi Metodi di di ubicazione ubicazione degli degli impianti impianti industriali 

industriali 

DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO 

Non esistono metodi esatti per costruirle se non per i casi molto semplici. 

Per semplificare il problema si può procedere con il seguente metodo: 

Si assegna un determinato valore k alla funzione 

m 

2 

2 

( x − a ) + ( y − b ) = k 

f ( x, 

y) 

w 

i 

i 

= ∑ 

i= 

1 

i 

Per assegnato valore di x (parametro) si ricercano i corrispondenti due 

valori di y per cui f (x, y) = k 

Si procede finché si è in grado di tracciare la curva chiusa. 

y 

x’ 

x 

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Ubicazione degli impianti industriali

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