ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA ... - Cdm.unimo.it

ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
anno accademico 2005 – 2006
Gli esercizi indicati con ∗ presentano maggiori difficoltà tecniche.
Binomio di Newton
1. Sviluppare il binomio (1 + x) 7 .
Estremo superiore ed estremo inferiore
Studiare la limitatezza e determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimo e minimo
per i seguenti insiemi:
1. (−∞, 0] ∪ [1, 2);
2n + 1
2. : n = 0, 1, 2, 3, . . . ;
n + 1
3. [0, 1] \ {2−n : n = 0, 1, 2, 3, . . . };
4. (−1) n
√
n2 − 1
: n = 1, 2, 3, . . . .
n
Funzioni
1. Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimo e minimo per le seguenti funzioni
(a) f(x) = x sin x, x ∈ [0, +∞);
2
4 − x x ∈ [−2, 1]
(b) f(x) =
x − 2 x ∈]1, 2].
2. Studare la monotonia (anche delle restrizioni) delle seguenti funzioni
(a) f(x) =
1
,
1 + x2 x ∈ R;
(b) f(x) = log10(x + 1) − log10(x), x ∈ (0, +∞);
(c) f(x) = [x], x ∈ R (parte intera di x);
(d) f(x) = x − [x], x ∈ R (mantissa di x).
3. Stabilire se le seguenti funzioni sono periodiche e, in caso affermatico, determinare il periodo minimo.
(a) f(x) = x − [x], x ∈ R;
(b) f(x) = x sin x, x ∈ R.
4. Date le funzioni
f(x) =
1 − x
1 + x
e g(x) = x2 − 1
x 2 + 2
stabilire se è possibile considerare f ◦ g e, in caso affermativo, calcolare f(g(x));
1

5. Data f(x) = x + ln(x) studiarne l’invertibilità e calcolare f −1 (1);
6. Data f(x) = x 2 + 6x + 11 studiarne l’invertibilità e determinare l’inversa della restrizione a [−3, +∞).
Topologia
Dati i seguenti insiemi trovare i punti interni, di accumulazione e di frontiera e stabilire se sono aperti o
chiusi.
n
1. A = [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ {4};
n + (−1)
4. D =
: n = 1, 2, 3, . . . ;
n
3n + 1
2. B = : n = 1, 2, 3, . . . ;
n
3. C = A ∪ B;
Numeri Complessi
5. E = D ∪ 4
3 , 2 .
1. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
(a) z = (2 − 3i)(1 + 2i);
3 + 2i
(b) z =
4 − 3i ;
1 + i
(c) z =
1 − i ;
(d) z = (2i − 1) 2
4 2 − i
+ ;
1 − i 1 + i
(2 + i)(3 − 2i)(1 + 2i)
(e) z =
(1 − i) 2 .
2. Calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo di
(a) z = i(2 + 3i) + (3 − i)(1 + i); 7 + 2i
(b) z = − (1 + i).
(3 − 4i)
3. Calcolare
(a) 3z + i|z|2 − (2 − i)z
per z = 2 + i;
2Re (z) − Im (z)
iz − 2z
(b) per z = 3 − i;
1 − z
(c) Re (iz + |z| 2 ) per z = 2 + i.
4. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
(a) z = 1 − i √ 3;
(b) z = −2 + 2i;
5. Rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi:
(a) {z ∈ C : |z + 2| − |z − 2| = 2};
(b) {z ∈ C : |z − 1 + i| = 2};
(c) {z ∈ C : |z + 1 + i| ≤ 2};
(d) {z ∈ C : |z| = 1 e Im (z) ≥ 1
2 };
2
(c) z = 2 + 2 √ 3i;
(d) z = −3i.
(e) {z ∈ C : |z| ≤ 2 e |Im (z)| ≤ 1};
(f) {z ∈ C : |z + 1| = 1 e |z| ≥ √ 2};
(g) {z ∈ C : |z − 1| ≤ 3 e |z − 2i| ≤ 2};
(h) {z ∈ C : |z − 1| ≤ 3 o |z − 2i| ≤ 2};

(i) {z ∈ C : (1 − i)z − (1 + i)z = i};
(j) {z ∈ C : |z − i| = |z + 1|};
(k) {z ∈ C : |z − 1 − i| ≤ |z|};
6. Calcolare
(a) 4
−(1 + i √ 3);
(b) 3√ −8i;
7. Risolvere le seguenti equazioni
(a) z 4 = 2(−1 + i √ 3);
(b) (z + i) 3 = −1;
(c) (z − 2 + 3i) 3 = i;
8. Risolvere le seguenti equazioni
(a) z 4 = 2z;
(b) z 3 = iz;
(c) z 2 = 2i|z|;
9. Risolvere le seguenti equazioni
(a) z 2 + 2iz + 1 + i = 0;
(b) z 2 + 2z + 1 − i = 0;
(c) 2z 2 − 4iz − 3 − i √ 3 = 0;
10. Risolvere le seguenti equazioni
(a) z + 2i|z| 2 + 2iz + 1 = 0;
(b) z 2 + z − iz = i;
(c) z + z + 1
z = 0;
(d) z − z2 = |z| 2 + 1;
Successioni
1. Posto an =
2n − cos(πn)n2
, calcolare a5, a8 e a2n.
n + 2
(2n)!
2. Posto an =
n! − (n + 1)! , calcolare a4 e an+1
.
3. Studiare la monotonia delle seguenti successioni:
an
3
(l)
(m)
z ∈ C : z = −i e
z ∈ C : z = −i e
(c) 3√ 1 + i;
(d) 3√ −1 + i.
(d) (2z + i) 4 = −1;
(e) (z + 1) 5 = ( √ 3 − i) 5 .
(d) z 4 = |z|;
(e) z 2 = 2iz;
(f) ∗ z 4 = z.
(d) 4z 2 + 4z + 3 + 2i √ 3 = 0;
(e) z 2 + z − i = 0.
(e) 3z 2 + 6iz + 4 √ 3|z| = 0;
(f) ∗ z 2 + |z|i + √ 2 = 0;
(g) ∗ z 2 − z + 1 = |z − 2|;
|z − 1|
|z + i|
|z − 1|
|z + i|
(h) ∗ z 5 z − |z| 6 − z 4 + |z| 4 = 0.
= 2 ;
≤ 2 .

(a) an = n2 − 1
n2 , n ∈ N;
+ 1
(b) an = sin 1
, n ∈ N;
n
(c) an = cos 1
, n ∈ N;
n
4. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
(a) lim 2n2 + n + 1 − n + 1;
n→+∞
(b) lim n2 + n − n3 + 1;
n→+∞
(c) lim n3 − n + 1 − n3 + n + 1;
n→+∞
√
4n2 + n − 2n
(d) lim
;
n→+∞ 3n
(e) lim
n→+∞
(f) lim
n→+∞
(g) lim
n→+∞
(h) lim
n→+∞
(i) lim
n→+∞
(j) lim
n→+∞
n 5
2 + n 2 − 1
√ n + sin n − 2n ;
2n+1 + 3n+1 2n + 3n n2 + 5n n7 ;
− 3n n 3 + n 2
e n
2
;
n! + 2 n
(n + 1)! ;
nn−2 + (n − 2) n
4nn ;
− 3n!
(k) lim
n→+∞ [ln(n + 4n ) − n];
(l)
2n + (−1)
lim
n→+∞
nn n + √ n − 1 ;
;
5. Calcolare lim 1 +
n→+∞
n2 + 1
nx n
al variare di x ∈ R.
Limiti e continuità
1. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
2x
(a) lim
x→2
2 − 3x − 4
x4 − 5x − 6 ;
(b) lim (ln(3x) − ln(sin 2x));
x→0
(c) lim
x→0 +
1 − cos x
sin 3 x ;
(d) lim (x
x→0 2 + x) 1
ln x ;
(e) lim
x→1
ln( √ x + 1 − x)
x 2 + 2x − 3 ;
4
(d) an = n 2 − 5n + 2, n ∈ N;
(e) an = ln(1 + 2−n ), n ∈ N;
√
4n2 + n − 2n
(f) an =
, n ∈ N.
n
n
(m) lim
n→+∞
2 (log10 n) 2
√ ;
n5 + 1
(n) lim
n→+∞
n ln n + n2 + n3 + (−1) n
√ ;
n arctan n − n3 −2n n − 1
(o) lim
;
n→+∞ n + 4
n + ln n
(p) lim
n→+∞ n + 1
√ n
;
n 2 − 1
(q) lim
n→+∞ 2n 2
n +1
;
+ 1
4 2 n + n + 1
(r) lim
n→+∞ n4 2 n + 3n + 1
(s) lim
n→+∞ n2 n
;
− 5
√ 3n 2 −1
;
(t) lim
n→+∞ (n2 + 2n − n) n2
;
n
(u) lim
n→+∞
√ 2n + n;
n
(v) lim
n→+∞
n2 + 2 cos n.
e
(f) lim
x→0
sin x − cos x
;
x
tan x − sin x
(g) lim
x→0 x3 ;
3 x
x
(h) lim
x→0
2 + 1
x2 sin
ln(cos x)
(i) lim
x→0 sin x ln(1 − x) ;
1 + 3x 2
;

(j) lim (cos x − sin x)
x→0 1
x ;
(k) lim 4x2 + x − 2 x2 + 1 ;
x→+∞
2
(l) lim
x→+∞
√ x + x
x4 − 4x ;
(m) lim (
x→0 √ 1 + x) 1
√
x ;
(n) lim
x→0
(o) lim
x→+∞
x − sin x + 2 ln(1 + x)
3x2 + x(1 − ex ;
)
x √ x 2 x + x − e + sin x
x2x .
+ x ln x
2. Stabilire se esistono c ∈ R che rendano le seguenti funzioni continue su R
cx + 1
(a) f(x) =
2x
x < 1
2 + x − 1
| cos x|
(b) f(x) =
x ≥ 1;
1
x2 c
x > 0
x ≤ 0;
⎧
1 + x2 ⎪⎨
(c) f(x) =
c
√
⎪⎩ 1 + x2 − 1
x
x < 0
x = 0
x > 0.
Calcolo differenziale
1. Determinare i punti di massimo e di minimo locale della funzione f : [−1, 4] → R definita da
⎧
⎪⎨
− x − 1 ≤ x ≤ 0
√
f(x) = x 0 < x < 1
⎪⎩
(x − 2) 2
1 ≤ x ≤ 4.
2. Determinare i punti di massimo e di minimo locale della funzione f : [−π, π] → R definita da
⎧
2 cos x − π ≤ x ≤ 0
ln x 0 < x < 1
⎪⎨
2x − 1 1 ≤ x <
f(x) =
⎪⎩
π
2
1 x = π
2
π
2
< x ≤ π.
2
3. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f(x) = x 3 − 2x + 1 nel punto di ascissa x = 1.
4. Determinare i punti di derivabilità delle seguenti funzioni:
(a) f(x) = ln(1 + |x 3 |), x ∈ R; (b) f(x) = e |sinx| , x ∈ R.
5. Determinare α, β ∈ R in modo che la funzione f : R → R definita da
x
cos(e
f(x) =
√ x) x > 0
αx + β x ≤ 0
sia derivabile su R.
6. Determinare α ∈ R in modo che la funzione f : R → R definita da
⎧
⎨ cos
f(x) =
⎩
2 x |x| < π
2
x 2 − α |x| ≥ π
2
sia continua su R e studiarne la derivabilità.
7. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
5

1
(a) lim − cotan x ;
x→0 x
(b) lim
x→0 +
(c) lim x
x→1 1
1−x ;
ln(ex − 1)
;
ln x
8. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni:
(a) f(x) = x2 − 5x + 6
x2 ;
− 1
(b) f(x) =
| ln x|
x ;
9. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
al variare di α ∈ R.
Calcolo integrale
(d) lim
x→0 +
(e) lim
x→+∞
tan x
1
;
x
π
2
sin 1
x
− arctan x;
x − 1
(c) f(x) = x
x + 1 ;
(d) f(x) =
α
5 x5 − x + 1 = 0
x
|x 2 − 2| − x .
1. Calcolare le seguenti primitive di funzioni razionali:
4x − 6
(a)
x2 − 4x + 13 dx;
2x + 5
(b)
x3 − 1 dx;
5x − 2
(c)
2x2 − 3x + 1 dx;
x
(d)
(x3 + 1) dx;
x − 3
(e)
x3 − x dx;
2x − 3
(f)
(x2 dx;
+ 4)x2 5 3 2 5x − 14x + 10x − 5x + 3
(g)
x3 dx.
− 3x + 2
2. Calcolare le seguenti primitive:
(a) cos 3 x sin 4 x dx;
(b) (x 3 e 2x + 3x 2 e −x ) dx;
(c) (x 2 − 2x + 3) cos x dx;
√
x − 2
(d) 3√ dx;
x + 1
1 + x
(e)
1 − x dx;
√
x2 + 4
(f)
dx;
x
3. Calcolare i seguenti integrali definiti:
6
(g)
(h)
dx
√ x 2 − 3x + 2 ;
√ x
√ x + 1 + 1 dx;
dx
(i)
3 − 4 cos x ;
2x 1 + e
(j)
ex dx;
(k) ln(1 + √ x) dx;
(l) x(arctan x) 2 dx.

(a)
(b)
2
1
4
1
2
dx
1 − 2x ;
x
2
− 1
x dx;
(c)
1
−1
e x+|x| dx;
4. Calcolare le funzioni integrali delle seguenti funzioni:
⎧
⎪⎨ 2x + 1
(a) f(x) = 0
⎪⎩
− 3
x ∈ [0, 1)
x = 1
x ∈ (1, 3];
1
(b) f(x) =
e
x ∈ [1, 4]
4x−4
x ∈ (4, 5].
5. Determinare c ∈ R in modo che la funzione integrale di
2
sin 2x sin x x ∈ [0, π]
f(x) =
c x ∈ (π, 5]
sia derivabile su [0, 5] e calcolarla.
TEST A RISPOSTA MULTIPLA PROPOSTI E RISOLTI IN:
S. Salsa – A. Squellati
Esercizi di Matematica
Calcolo infinitesimale e algebra lineare
volume 1
Numeri reali: pag. 17-18, tutti.
Funzioni: pag. 67-69, tutti.
Numeri complessi: pag. 31, tutti.
Successioni: pag. 41-42, tutti tranne l’esercizio 8.
Limiti di funzioni: pag. 83-84, da 1 a 5, 6, da 11 a 13.
Continuità: pag. 94, tutti.
Calcolo differenziale: pag. 103, tutti; pag 119, da 1 a 4; pag 120, tutti.
Primitive: pag. 149-150, tutti.
Calcolo integrale: pag. 160, da 1 a 4, 6.
7