Appunti Provvisori di Statistica 25 febbraio 2008 Michel de ...

Appunti Provvisori di Statistica
25 febbraio 2008
Michel de Nostredame

1. INTRODUZIONE 3
1. Introduzione
Lo studio della statistica può venire diviso in tre parti:
Statistica Descrittiva.: Questa può venire definita come il complesso
di metodi che provvedono alla raccolta, alla presentazione
ed alla caratterizzazione di un insieme di dati con lo scopo di
descriverne le varie caratteristiche nella maniera appropriata.
Teoria della Probabilità.: I fondamenti della teoria della probabilità
si possono rintracciare già nel XVII secolo nella corrispondenza
fra il matematico Pascal ed il giocatore d’azzardo
de Mère. Imponenti sviluppi della teoria della probabilità sono
dovuti all’opera di matematici come Bernoulli, de Moivre
e Gauss.
Statistica Inferenziale.: Questa può venire definita come il
complesso di metodi che consentono di stimare una caratteristica
di una popolazione, oppure di prendere una decisione
che concerne l’intera popolazione, sulla base di risultati
campionari.
La teoria della probabilità è l’anello di congiunzione fra la statistica
descrittiva e la statistica inferenziale.
Sebbene i metodi della statistica descrittiva siano importanti per
presentare e caratterizzare un insieme di dati, è stato lo sviluppo della
statistica inferenziale a portare a determinare l’ampia applicazione
della statistica in tanti campi di ricerca.
Per chiarire meglio i precedenti concetti chiariamo che cosa si intenda
per popolazione e per campione.
Popolazione: È l’insieme degli elementi o delle “cose” che si
prendono in considerazione.
Campione: È la parte della popolazione che si seleziona per
l’analisi.
Di fatto la statistica descrittiva lavora sull’intera popolazione mentre
la statistica inferenziale lavora sul campione.
La necessità di ricorrere ai metodi della statistica inferenziale deriva
dalla necessità di ottenere delle informazioni su di una popolazione molto
vasta della quale diventa troppo costoso, o addirittura impossibile,
ottenere informazioni esaminando le caratteristiche di ogni individuo.
Quando si procede ad una indagine statistica il primo problema è
quello della raccolta e della rappresentazione dei dati.
Possiamo distinguere tra vari tipi di dati:
Dati di Campagna: riguardano informazioni raccolte sul territorio.

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Dati di Laboratorio: riguardano informazioni raccolte in laboratorio
e possono provenire da osservazioni naturali o da
esperimenti.
Dati Simulati: riguardano informazioni raccolte utilizzando delle
simulazioni al computer di fenomeni naturali.
⎧
⎧
misure
numeriche
⎪⎨
dati
sperimentali
⎧
⎪⎨
osservazioni
che restano
di campagna
⎪⎨
osservazioni
qualitative
qualitative
osservazioni
⎪⎩
⎪⎩ convertibili
in numeri
⎧
misure di
laboratorio
su prelievi di
campagna
⎪⎨
⎧
di laboratorio
simulazioni
al computer
⎪⎨
esperimenti di
misure
laboratorio
numeriche in
⎪⎩
⎪⎩
⎪⎩ esperimenti di
laboratorio
Iniziamo trattando i seguenti argomenti:
• Tipi diversi di scale di misura utilizzate per il rilevamento di
dati numerici.
• Errori introdotti dal procedimento di misura e dalla successiva
elaborazione dei dati.
Prima di procedere oltre diamo ancora un paio di definizioni:
Definizione 1.1. Una variabile aleatoria, solitamente indicata con
X, Y , . . . , è una varibile che assume un ben determinato valore a
seguito della realizzazione di un esperimento.
Esempio 1.1. (1) X è il peso di una persona scelta in quest’aula.
(2) X è l’esito del lancio di un dado.

1. INTRODUZIONE 5
(3) X è il colore degli occhi di una persona scelta a Reggio Emilia.
(4) X è il fattore RH del sangue di una persona scelta in Italia.
Già da questi esempi si capisce che una variabile aleatoria può essere
di tipo quantitativo (il valore che assume una quantità) o di tipo
qualitativo (il valore che assume una qualità).
Il valore o dato assunto da una variabile aleatoria X è il risultato di
una osservazione o misura individuale, cioè effettuata su di un singolo
individuo della popolazione o del campione preso in esame.
Definizione 1.2. Il singolo individuo della popolazione o del campione
preso in esame per valutare il valore assunto dalla variabile
aleatoria X si chiama unità statistica.
Ad esempio se misuriamo il peso di 100 cavie abbiamo:
• popolazione = 100 cavie = campione esaminato
• unità statistica = ogni singola cavia
• variabile aleatoria = peso = variabile di tipo quantitativo.
Una variabile aleatoria di tipo quantitativo può essere una variabile
aleatoria discreta oppure continua.
Definizione 1.3. Una variabile aleatoria di tipo quantitativo si
dice discreta se può assumere un numero finito (od una infinità numerabile)
di valori diversi (valori che costituiscono un insieme che può venire
messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri
naturali N).
Una variabile aleatoria di tipo quantitativo si dice continua se può
assumere una infinità più che numerabile di valori diversi (in pratica
quanti sono i numeri reali).
Riassumiamo con uno schema:
variabile
aleatoria
⎧
⎪⎨
continua
quantitativo
discreta
⎪⎩
qualitativo
Anche una variabile qualitativa può essere etichettata tramite dei
numeri. Ad esempio, se X rappresenta il colore degli occhi di una
persona in quest’aula, possiamo dare ad X il valore 0 se gli occhi sono
azzurri, il valore 1 se gli occhi sono neri.

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2. Scale di misura
Quando ci troviamo a misurare un dato sperimentale dobbiamo
capire che scala di misura utilizzare. Possiamo individuare i seguenti
tipi di scale di misura:
2.1. Scala nominale.
Una variabile aleatoria X si dice misurata in scala nominale quando i
valori assunti da X, cioè i risultati delle misurazioni, sono nomi. Ad
esempio sono variabili misurate in scala nominale :
- il sesso: M, F
- il fattore RH del sangue umano: Positivo, Negativo
Come abbiamo già detto i valori assunti da X possono essere codificati
mediante numeri.
Nel caso del sesso si può codificare:
M=0 F=1.
Nel caso del fattore RH si può codificare:
RH+=1 RH-=0.
Di fatto, la scala nominale è utilizzata per classificare le unità
statistiche di una data popolazione o campione.
Alcune operazioni aritmetiche sono possibili anche quando X è misurata
in scala nominale. Ad esempio, se abbiamo un campione di 20
pazienti e ne valutiamo sia il fattore RH che il sesso e ci chiediamo:
“quante sono le donne con RH-?” Allora valutiamo X=fattore RH e
Y =sesso per ogni unità statistica (cioè ogni paziente). Poniamo
maschio = 0 femmina = 1
RH+ = 0 RH− = 1.
Riportiamo come esempio i dati codificati con 0 ed 1 raccolti sui 20
pazienti:
Sesso: 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0
Fat. RH: 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
Se eseguiamo la moltiplicazione dei numeri che stanno sulla stessa
colonna, sapremo quante donne hanno il fattore RH-.
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Quattro donne hanno il fattore RH- sui 20 pazienti esaminati.

2. SCALE DI MISURA 7
2.2. Scala ordinale.
Si dice che una variabile aleatoria X è misurata in scala ordinale quando
tutti i possibili risultati della misura costituiscono un insieme dotato
di un ordinamento che è significativo nel contesto in cui si osserva X.
Esempio 2.1.
• X è l’intensità di un terremoto. La scala Mercalli (gradi da 1
ad 11) misura l’intensità di un terremoto ed è una scala ordinale,
infatti un terremoto di grado 4 ha una capacità distruttiva
minore di quella di un terremoto di grado 5.
• X è la durezza dei minerali. Si utilizza la scala di Mohs (da 1
a 10).
Quando la variabile X è misurata in scala ordinale è significativa
la relazione d’ordine, ma non le operazioni aritmetiche. Due terremoti
di grado 3 non equivalgono ad un terremoto di grado 6.
2.3. Scala rapportale.
Si dice che una variabile aleatoria X è misurata in scala rapportale
quando i risultati della misura sono numeri reali, i cui rapporti sono
significativi nel contesto in cui si osserva X.
Di fatto se la misura dell’unità statistica u ′ è x ′ e la misura dell’unità
statistica u ′′ è x ′′ (cioè X assume valore x ′ relativamente all’individuo u ′
e X assume valore x ′′ relativamente all’individuo x ′′ ), posto r = x ′ /x ′′ ,
cioè x ′ = rx ′′ , ha senso nel contesto dire che X vale r volte di più in u ′
che in u ′′ .
Ad esempio: pesiamo 300 trote in un torrente. X = peso. Se la
prima trota pesa 100 grammi e la seconda pesa 200 grammi, diremo
che la seconda trota pesa il doppio della prima.
Bisogna però stare attenti a non farsi ingannare. Ad esempio la
misura della temperatura non è, come in apparenza sembrerebbe, una
scala rapportale. Se il 5 agosto ci sono 40 gradi Celsius ed il 2 settembre
ci sono 20 gradi Celsius non ha senso dire che il 5 agosto c’è il doppio
di caldo del 2 settembre. Abbiamo infatti
40 gradi Celsius = 104 gradi Fahrenheit
20 gradi Celsius = 68 gradi Fahrenheit
per i passaggi fra i gradi Fahrenheit ed i gradi Celsius si usano le formule
di conversione
C 0 = 5
9 (F 0 − 32) F 0 = 9
5 C0 + 32.

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2.4. Errori.
Nel processo di misura dei fenomeni naturali (ad esempio in una scala
di rapporti) possiamo distinguere diversi tipi di errori.
Vi sono gli errori grossolani, dovuti a momentanea disattenzione di
chi effettua la misura. Ad esempio scrivere 10 grammi al posto di 10
milligrammi. Questi errori sono solitamente molto grandi, accadono in
modo irregolare e sono facili da identificare e da correggere.
Talvolta, pur in assenza di errori grossolani, le misure possono risultare
sempre o troppo grandi o troppo piccole, in tal caso si parla di
errori sistematici. Gli errori sistematici sono solitamente dovuti ad errori
di calibrazione degli strumenti o dall’aver trascurato taluni aspetti
dei fenomeni studiati.
Dei precedenti due tipi di errori non si occupa la matematica che
invece prende in considerazione gli errori statistici di misura, che sono
prodotti all’atto stesso di rilevare la misura, gli errori di arrotondamento,
che intervengono nella fase di elaborazione numerica dei dati
rilevati.
2.4.1. Errori statistici di misura. Generalmente l’esito di una misura
è una espressione del tipo
x = 4.529 ± 0.002.
Ciò significa quanto segue. Nel protocollo della misura è stato stabilito
a priori un “un limite di confidenza” α che rappresenta il limite massimo
della percentuale di errore disposti a tollerare. Nelle applicazioni
biologiche un valore comunemente scelto è α = 0.05. Il risultato della
misura è quindi detto attendibile con probabilità 1−α (ad esempio con
probabilità 95% se α = 0.05). La scrittura x = 4.529 ± 0.002 significa
quindi che (con probabilità 1 − α) il valore “vero” di x verifica le disuguaglianze:
4.527 ≤ x ≤ 4.531. In altre parole il valore “vero” di x
si può esprimere come X = x + ɛ, dove X è il valore osservato nella
misurazione ed ɛ è l’errore statistico di misura. ɛ varia in ogni singola
osservazione ma comunque “nel 95% dei casi” soddisfa alla limitazione
|ɛ| ≤ 0.05.
Solitamente, ottenute le misure queste saranno messe in un computer
per la loro elaborazione. Il metodo più logico di mettere la misura x
nel computer è di scrivere il valore centrale dell’intervallo di confidenza,
che nel nostro caso è [4.527, 4.531], ovvero 4.529. A sua volta però il
computer dovrà modificare ancora questo numero, per le esigenze interne
del suo sistema di calcolo e, successivamente, dovrà modificarle
ulteriormente i risultati introducendo un altro tipo di errore, quello di
arrotondamento.

2. SCALE DI MISURA 9
2.5. Percentuali.
Spendiamo brevemente qualche raccomandazione di cautela trattando
di dati che si presentano nella forma percentuale. Il simbolo % significa
semplicemente “diviso 100”, quindi 57% = 0.57, 220% = 2, 20 e
14.654% = 0.14654. I dati in percentuali si presentano solo nelle scale
rapportali.
Osserviamo che le percentuali si moltiplicano, per capirlo facciamo
un esempio. Un vitello di 50 kg passa in un mese a 60 kg: è aumentato
di 10 kg, cioè di 1/5 del suo peso iniziale, cioè è aumentato del 20%.
Nel mese successivo aumenta ancora del 20%, cioè di 1/5 di 60 kg, cioè
aumenta di 12 kg andando a 72 kg. Perciò in due mesi è aumentato di
22 kg, quindi del 44% (cioè più del 20% + 20% = 40%). L’operazione
naturale per le percentuali è la motiplicazione. Sia x il peso iniziale
del vitello. Dopo un mese il il peso è aumentato del 20% diventando
x + 20%x = x + 0.2x = 1.2x. Per ottenere il peso dopo un mese,
supponendo un aumento mensile del 20%, dobbiamo moltiplicare il
peso di partenza per 1.2. Quindi dopo due mesi il peso sarà 1.2·1.2·x =
1.44 · x.
Generalizziamo questa osservazione. Consideriamo una quantità X
(variabile aleatoria) che viene misurata in scala rapportale ad uguali
intervalli di tempo. Diciamo ∆t l’intervallo di campionamento (ad
esempio ∆t = 1 mese, ∆t = 10 secondi, . . . ). Diciamo
x0, x1, . . . , xn
i risultati delle misure effettuate rispettivamente ai tempi
t0, t1 = t0 + ∆t, t2 = t0 + 2∆t, . . . , tn = t0 + n∆t.
Supponendo che la variabile X aumenti di una percentuale fissa p% =
p/100 ad ogni intervallo ∆t. Pertanto:
x0 = x0
x1 = (1 + p
100 )x0
x2 = (1 + p
100 )x1 = (1 + p p
)(1 +
100 100 )x0 = (1 + p
100 )2x0 .
xn = (1 + p
100 )n x0
Osservazione 2.1. Un aumento del p% ed una diminuzione in un
periodo successivo del p% non si cancellano a vicenda.
Esempio 2.2. La produzione di un albero di frutta cresce in un anno
da 120 kg a 180 kg, cioè c’è un aumento del 50%. L’anno successivo la

10
produzione cala del 50%, cioè cala a 90 kg, molto meno dei 120 kg di
due anni prima.
3. Rappresentazione dei dati
Sia N un numero di unità statistiche che costituiscono una popolazione
od un campione tratto da una popolazione. Indichiamo con U1,
U2, . . . , UN tali unità statistiche. Per ciscuna di esse si osservano, secondo
gli opportuni protocolli stabiliti e le opportune scale numeriche,
i valori numerici di m variabili aleatorie:
X1, X2, . . . , Xm.
Le osservazioni numeriche vengono usualmente rappresentate in
una matrice di dati D = xr
r
s , dove xs indica il valore osservato
dalla s-esima variabile Xs nella r-esima unità statistica Ur. (Quindi
r = 1, 2, . . . , N e s = 1, 2, . . . , m.) Una tale matrice o tabella viene
anche detta tabella cronologica perché si sottointende che l’unità statistica
U1 sia stata la prima ad essere esaminata, l’unità statistica U2 la
seconda e così via.
Unità variabili
statistiche X1 X2 . . . Xm
U1 x 1 1 x 1 2 x 1 m
U2 x 2 1 x 2 2 x 2 m
. . .
UN x N 1 x N 2 x N m
Come esempio consideriamo un campione di 30 esemplari di fiori di
codolina (Phleum pratense) numerati da 1 a 30. Indichiamo con X la
variabile aleatoria lunghezza della foglia superiore (guaina compresa)
ed indichiamo con Y la variabile aleatoria lunghezza della spiga fiorita.
Sulla base dei dati raccolti otteniamo la tabella cronologica o matrice
dei dati riportata nella Tabella 1 di pagina 11, nella quale le misure
sono espresse in cm.
Come secondo esempio supponiamo di avere misurato il peso (in kg)
e l’altezza (in cm) di 8 studentesse ed 11 studenti. Possiamo riportare
le relative misure in un’unica tabella con 8 + 11 = 19 unità statistiche
e 3 variabili aleatorie: il peso X1, l’altezza X2 ed il sesso X3 (vedi la
Tabella 2 di pagina 12).

3. RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 11
Tabella 1. Lunghezza X della foglia superiore e
lunghezza Y del fiore in 30 esemplari di Phleum pratense.
Unità X Y
1 23.4 9.8
2 22.0 9.5
3 25.0 12.2
4 18.1 8.3
5 18.9 9.5
6 20.5 9.2
7 19.1 8.5
8 27.5 12.1
9 21.6 19.4
10 14.3 5.5
11 20.8 10.6
12 16.3 5.5
13 23.1 10.5
14 17.4 7.4
15 17.0 6.8
Unità X Y
16 26.8 11.7
17 12.5 4.1
18 18.4 9.3
19 16.7 6.2
20 24.0 11.0
21 24.2 10.2
22 21.1 9.6
23 15.0 5.0
24 20.0 8.5
25 20.1 9.7
26 19.2 7.0
27 21.0 7.9
28 13.0 4.7
29 19.7 8.3
30 26.0 12.6
Iniziamo considerando il caso più semplice: quando la variabile da
registrare, descrivere e riassumere è una sola che indicheremo con X.
Supponiamo di eseguire n misurazioni della variabile X, otterremo n
risultati che indicheremo con x1, x2, . . . , xn. Cioè xk è il risultato della
k-esima misurazione. Se la variabile X è in scala ordinale, una prima
ovvia strutturazione dei dati raccolti si ha riordinando i dati in ordine
crescente. Nel caso del Phleum pratense si ha:
12.5, 13.0, 14.3, 15.0, 16.6, 16.7, 17.0, 17.4, 18.1, 18.4,
18.9, 19.1, 19.2, 19.7, 20.0, 20.1, 20.5, 20.8, 21.0, 21.2,
21.6, 22.0, 23.1, 23.4, 24.0, 24.2, 25.0, 26.0, 26.8, 27.5
È chiaro che questa operazione è dispendiosa, in termini di tempo, se il
numero delle unità statistiche considerato è alto, anche se sono disponibili
dei software che possiedono la funzione di sorting (ordinamento).
Può allora convenire il ricorso alla accumulazione, od al raggruppamento,
dei dati. Per fare ciò bisogna ricorrere al concetto di frequenze
assolute e relative. Supponiamo di avere ottenuto, dopo n misurazioni
della variabile aleatoria X i dati numerici x1, x2, . . . , xn, che supporremo
ordinati dal più piccolo al più grande. Individuiamo sulla retta
reale r valori
c1 < c2 < · · · < cr

12
Tabella 2. Altezza X2 e peso X1 di 11 studenti ed 8 studentesse.
Unità Peso Altezza Sesso
statistica X1 (kg) X2 (cm) (0=M, 1=F)
1 47.1 160 0
2 48.3 165 0
3 46.8 164 0
4 50.1 170 0
5 50.2 168 0
6 46.8 159 0
7 45.9 155 0
8 52.1 162 0
9 50.0 161 0
10 44.5 156 0
11 52.4 160 0
12 39.1 151 1
13 38.6 153 1
14 42.2 160 1
15 39.6 161 1
16 40.5 157 1
17 42.2 158 1
18 35.2 149 1
19 39.9 148 1
detti cutoff. Otteniamo così r + 1 classi (intervalli) sulla retta reale
] − ∞, c1] ]c1, c2] ]c2, c3] · · · ]cr, +∞[
Per ogni k = 1, 2, . . . , r − 1, indichiamo con Ck la classe ]ck, ck+1], con
C0 la classe ] − ∞, c1] e con Cr la classe ]cr, +∞[. Poniamo la seguente
Definizione 3.1. Si chiama frequenza assoluta della classe Ck, e si
indica con nk, il numero di unità statistiche il cui dato è nella classe
considerata.
Generalmente i cutoff vengono scelti in modo che la frequenza della
prima e dell’ultima classe risultino zero.
Ad esempio, supponiamo di aver pesato 300 trote (quindi abbiamo
300 unità statistiche) e supponiamo di aver rilevato un peso minimo di
158 gr ed un peso massimo di 448 gr. Fissiamo 7 cutoff:
c1 = 150 gr; c2 = 200 gr; c3 = 250 gr; c4 = 300 gr;
c5 = 350 gr; c6 = 400 gr; c7 = 450 gr.

Abbiamo allora gli intervalli:
3. RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 13
] − ∞, 150]; ]150, 200]; ]200, 250]; ]250, 300];
]300, 350]; ]350, 400]; ]400, 450]; ]450, +∞[
Supponiamo di avere le seguenti frequenze assolute:
x0 = 0: 0 trote hanno peso non superiore a 150 gr.
x1 = 4: 4 trote hanno peso maggiore di 150 gr e non superiore a
200 gr.
x2 = 43: 43 trote hanno peso maggiore di 200 gr e non superiore
a 250 gr.
x3 = 95: 95 trote hanno peso maggiore di 250 gr e non superiore
a 300 gr.
x4 = 110: 110 trote hanno peso maggiore di 300 gr e non superiore
a 350 gr.
x5 = 42: 42 trote hanno peso maggiore di 350 gr e non superiore
a 400 gr.
x6 = 6: 6 trote hanno peso maggiore di 400 gr e non superiore a
450 gr.
x7 = 0: 0 trote hanno peso maggiore di 450 gr.
Le frequenze assolute si rappresentano mediante un istogramma o
diagramma a colonna. Questo viene costruito nel modo seguente:
Si prende un piano cartesiano, si segnano sull’asse delle ascisse i cutoff
in modo da individuare ogni classe, al di sopra di ogni classe si innalza
una colonna di altezza uguale alla frequenza assoluta della classe. Cioè,
in corrispondenza della classe Ck si disegna una colonna di altezza nk.
Ritornando all’esempio del peso delle trote appena visto, avremo il
seguente istogramma:
0 40 80
150 200 250 300 350 400 450
Figura 1. Istogramma, delle frequenze assolute, del
peso di 300 trote

14
La forma dell’istogramma dipende fortemente dalla scelta dei punti
di cutoff. Infatti, lavorando sempre sull’esempio delle 300 trote, se
fissiamo 9 punti di cutoff (e non più 7 come prima) registriamo le
nuove frequenze assolute e ridisegnamo l’istogramma. Siano:
150 gr, 200 gr, 250 gr, 300 gr, 315 gr, 335 gr, 350 gr, 400 gr, 450 gr
i nuovi punti di cutoff fissati. Siano le nuove frequenze:
n0 = 0, n1 = 4, n2 = 43, n3 = 95, n4 = 40,
n5 = 50, n6 = 20, n7 = 42, n8 = 6, n9 = 0.
Otteniamo il seguente istogramma
0 40 80
150 200 250 300 350 400 450
Figura 2. Istogramma, delle frequenze assolute, del
peso di 300 trote con intervalli di cutoff diseguali
È chiaro che in questo secondo istogramma la somma delle frequenze
assolute n4 + n5 + n6 corrisponde alla frequenza assoluta della classe
]300, 350]. Questo ci fa anche capire che più alto il numero di punti di
cutoff fissati, più accurata è l’informazione ottenuta dall’osservazione
dell’istogramma. Per questo motivo, se i possibili risultati osservabili
dalla misura della variabile aleatoria X sono in numero finito si preferisce
fissare tanti cutoff quanti sono i possibili risultati più 1 in modo da
ottenere, dall’osservazione dell’istogramma, una informazione accurata.
Ad esempio, supponiamo di lanciare 100 volte 2 dadi e registriamo
ogni volta il risultato ottenuto sommando i due numeri usciti nel lancio.
Dunque la variabile aleatoria è “risultato ottenuto sommando i 2
numeri usciti”, le unità statistiche sono 100: una unità statistica corrisponde
al lancio di due dadi. I possibili risultati che si ottengono, cioè
i possibili valori che assume la variabile aleatoria X sono i numeri da
2 a 12. Per disegnare l’istogramma fissiamo allora come cutoff i valori:
c0 = 1
2 , c1 = 3
2 , c2 = 5
2 , . . . , c12 = 25
2 .

3. RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 15
Supponiamo di aver ottenuto il seguente istogramma
0 10 20 30
2 4 6 8 10 12
Figura 3. Istogramma rappresentante la distribuzione
della somma di una coppia di dadi lanciati per 100 volte
L’informazione che ne ricaviamo è accurata. Se infatti l’altezza
della colonna relativa alla classe ]5.5, 6.5], che contiene al suo interno il
valore possibile 6, è 35, ciò ci dice che il numero 6 è uscito esattamente
35 volte.
Oltre a definire la frequenza assoluta di una classe si definisce anche
la frequenza relativa. Precisamente:
Definizione 3.2. Si definisce frequenza relativa della classe Ck il
numero ottenuto dividendo la frequenza assoluta per il numero delle
unità statistiche esaminate. Cioè se n è il numero delle unità statistiche
ed nk è la frequenza assoluta della classe Ck, la frequenza relativa della
classe Ck è data da fk = nk
n .
Nell’esempio delle 300 trote, fissati i 7 cutoff
c1 = 150 gr; c2 = 200 gr; c3 = 250 gr; c4 = 300 gr;
c5 = 350 gr; c6 = 400 gr; c7 = 450 gr.
Si ottengono le seguenti frequenze relative:
n0 = 0, n1 = 4
300 , n2 = 43
300 , n3 = 95
300 ,
n4 = 110
300 , n5 = 42
300 , n6 = 6
300 , n7 = 0.
È chiaro che per passare dall’istogramma delle frequenze relative a quello
delle frequenze assolute si deve moltiplicare l’altezza di ogni colonna
per il numero n di unità statistiche. Visivamente questo è ottenuto con
un semplice cambiamento di scala, dunque, fissati gli stessi punti di

16
cutoff, visivamente l’istogramma delle frequenze relative e l’istogramma
delle frequenze assolute coincidono.
Oltre alla rappresentazione dei dati mediante istogramma, si può
ricorrere anche alla rappresentazione dei dati mediante areogramma.
Per disegnare l’areogramma si procede come già fatto per l’istogramma,
fissando i punti di cutoff: c0, c1, . . . , cr e le relative classi: C0, C1, . . . ,
Cr ed innalzando su ogni classe Ck, con 0 < k < r, una colonna di
altezza:
nk 1 fk
=
n ck+1 − ck ck+1 − ck
e per k = 0, r una colonna di altezza 0. Osserviamo che in tal modo,
ogni rettangolo ha area pari a:
k=0
fk
(ck+1 − ck) = fk
ck+1 − ck
e l’area complessiva dell’areogramma vale 1. Tale area è infatti la
somma delle frequenze relative
r r nk
fk =
n =
r k=0 nk
= 1.
n
k=0
Relativamente all’esempio delle 300 trote e del loro peso riportiamo gli
areogrammi relativi a 7 punti di cutoff,a pagina 16, e 9 punti di cutoff,
a pagina 17.
0.000 0.004
150 200 250 300 350 400 450
Figura 4. Areogramma di densità ottenuto dall’istogramma
della Figura 1 di pagina 13

0.000 0.006
3. RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 17
150 200 250 300 350 400 450
Figura 5. Areogramma di densità ottenuto dall’istogramma
della Figura 2 di pagina 14
Quando l’ampiezza delle classi è costante, l’areogramma e l’istogramma
(sia delle frequenze relative che delle frequenze assolute) hanno
la stessa forma. Se invece l’ampiezza delle classi non è costante,
l’areogramma e l’istogramma hanno forme diverse, come è immediato
verificare dai due areogrammi, per 7 punti di cutoff riportato a pagina
16, e 9 punti di cutoff di pagina 17, e dai due istogrammi relativi
riportati rispettivamente nelle pagine 14 e 15. In relazione all’esempio
dei pesi di 300 trote.
Di solito si ricorre alla rappresentazione mediante areogrammi od
istogrammi quando i dati sono molti, diciamo almeno 30. Infatti il raggruppamento
dei dati secondo classi conduce a perdite di informazione.
Ad esempio nel caso della lunghezza della foglia superiore del Phleum
pratense, se fissiamo 7 punti di cutoff:
12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

18
otteniamo le classi
I0 =] − ∞, 12[ con frequenza 0
I1 = [12, 15[ con frequenza 4
I2 = [15, 18[ con frequenza 4
I3 = [18, 21[ con frequenza 11
I4 = [21, 24[ con frequenza 6
I5 = [24, 27[ con frequenza 4
I6 = [27, 30[ con frequenza 1
I7 = [30, +∞[ con frequenza 0.
I risultati possono essere riassunti nella tabella riportata a pagina 18
Classe Ik nk fk
[12,15[ 4 4/30 ∼ 0.13 ≡ 13%
[15,18[ 4 4/30 ∼ 0.13 ≡ 13%
[18,21[ 11 11/30 ∼ 0.37 ≡ 37%
[21,24[ 6 6/30 ∼ 0.20 ≡ 20%
[24,27[ 4 4/30 ∼ 0.13 ≡ 13%
[27,30[ 1 1/30 ∼ 0.03 ≡ 3%
Abbiamo perso però delle informazioni, prima fra tutte non sappiamo
più quali siano i valori che appartengono ad una data classe ma
sappiamo soltanto quanti sono questi valori. Quando i dati non sono
più di 30 non conviene fare areogrammi od istogrammi ma conviene
rappresentare tutti i dati numerici su di un diagramma cartesiano. Cioè
i dati vengono visualizzati su di un diagramma cartesiano nel seguente
modo:
• In ascissa si pone il numero d’ordine k.
• In ordinata si pone il valore corrispondente xk della variabile
aleatoria X.
Queste rappresentazioni, che illustriamo con i grafici da Figura 6
a Figura 9, sono certamente più significative di quelle che si erano
ottenute utilizzando le classi e le frequenze. In particolare l’istogramma
delle frequenze relative ai 30 esemplari di Phleum pratense risulta
quello della Figura 10.

15 20 25
3. RAPPRESENTAZIONE DEI DATI 19
0 5 10 15 20 25 30
Figura 6. Lunghezza della foglia superiore di Phleum
pratense in mm
15 20 25
0 5 10 15 20 25 30
Figura 7. Lunghezza della foglia superiore di Phleum
pratense in mm
15 20 25
0 5 10 15 20 25 30
Figura 8. Riordinamento crescente del diagramma
della Figura 6.

20
15 20 25
0 5 10 15 20 25 30
Figura 9. Riordinamento crescente del diagramma
della Figura 7.
0 4 8
10 15 20 25
Figura 10. Istogramma della lunghezza della foglia
superiore in 30 esemplari di Phleum pratense.
4. La media aritmetica
Per introdurre la definizione di media aritmetica dobbiamo introdurre
il simbolo di sommatoria. Precisamente, dati n numeri reali x1,
x2, . . . , xn, si scrive
n
k=1
xk
per indicare la somma x1 + x2 + · · · + xn.

4. LA MEDIA ARITMETICA 21
Nel seguito utilizzeremo le seguenti 3 proprietà elementari
n
n n
(1)
(xk + yk) = xk +
(2)
(3)
k=1
n
bxk = b
k=1
n
b = nb.
k=1
n
k=1
Detto ciò, sia X una variabile aleatoria, supponiamo di avere n
unità statistiche e supponiamo di avere osservato per la variabile aleatoria
X i dati numerici x1, x2, . . . , xn.
Definizione 4.1. Si dice media aritmetica (in inglese mean) dei
dati x1, x2, . . . , xn raccolti, il numero x definito da
x = 1
n
xk.
n
In particolare se i dati distinti raccolti sono x1, x2, . . . , xn ed il generico
dato xk compare con frequenza assoluta nk, allora la media aritmetica
dei dati raccolti sarà:
k=1
xk
k=1
n k=1 x =
nkxk
n k=1 nk
Dove n k=1 nk è il numero delle unità statistiche prese in considerazione.
Osservazione 4.1. quando usare la media aritmetica.
La media aritmetica è una misura di posizione, il suo calcolo si
basa su tutte le osservazioni e quindi viene fortemente influenzata da
valori estremi. In presenza di valori estremi la media aritmetica fornisce
una rappresentazione distorta dei dati, in questi casi è più opportuno
ricorrere ad altre misure di posizione.
In generale si usa la media aritmetica quando i valori sono distribuiti
abbastanza simmetricamente attorno ad essa e le si addensano vicino.
Esempio 4.1. Supponiamo di avere valutato l’altezza in cm di 44
reclute ottenendo le misure della seguente tabella:
k=1
yk

22
Tabella 3. Frequenze assolute dell’altezza di un
campione di 44 reclute.
Altezza Fequenza assoluta
166 1
168 3
169 6
170 11
171 8
172 6
173 4
174 3
175 1
178 1
Per calcolare la media aritmetica delle altezze useremo la formula
e si ottiene
x =
n
k=1 nkxk
n
k=1 nk
x = 1
(1 · 166 + 3 · 168 + 6 · 169 + 11 · 170 + 8 · 171+
44
+ 4 · 173 + 3 · 174 + 1 · 175 + 1 · 178) = 170.9.
Rappresentiamo ora il grafico dei valori delle altezze e la loro distribuzione
rispetto alla media x, che viene indicata sul grafico con una linea
tratteggiata verticale.
2 6 10
166 168 170 172 174 176 178
Figura 11. Istogramma, delle frequenze assolute,
dell’altezza di un campione di 44 reclute
Si osserva banalmente che la distribuzione risulta abbastanza simmetrica
con tendenza all’addensamento in prossimità della media.

Consideriamo ora un altro esempio:
5. LA MEDIANA 23
Esempio 4.2. Supponiamo di esaminare 17 fondi azionari. Prendiamo
come variabile aleatoria il loro rendimento a 12 mesi espresso in
percentuale.
32.2, 29.5, 29.9, 32.4, 30.5, 30.1, 32.1, 35.2,
10.0, 20.6, 28.6, 30.5, 38.0, 33.0, 29.4, 37.1, 28.6
0 10 20 30 40
Figura 12. Grafico unidimensionale rappresentatante i
rendimenti di 17 fondi azionari, in %
Appaiono due valori che sembrano anomali: 10.0 e forse anche 20.6.
I valori anomali vengono detti outlier.
Se calcoliamo la media aritmetica di questo campione otteniamo:
x =
32.2 + 29.5 + · · · + 28.6
17
= 29.86.
È chiaro che il valore più anomalo è 10.0 che influenza fortemente il
calcolo della media aritmetica. Se rimuoviamo questo valore anomalo
dal campione e ricalcoliamo la media sulle 16 unità rimanenti si ha
x = 31.11. Attorno a questa media la distribuzione del campione così
ridotto risulta più simmetrica.
5. La mediana
Iniziamo con alcune considerazioni: sia X una variabile aleatoria e
siano x1, x2, . . . , xn i valori assunti da X per n unità statistiche. Perché
si possa parlare di mediana bisogna almeno che X sia misurata in una
scala ordinale, ed anche in questo caso non è detto che la mediana
esista o che essa sia unica.
Definizione 5.1. Si dice mediana (in inglese median) di n dati
x1, x2, . . . , xn, non necessariamente distinti, un valore, xM, compreso
tra il valore minimo ed il valore massimo, tale che, il numero dei dati
che precedono, o sono uguali a, xM è uguale al numero dei dati che lo
seguono o sono uguali ad esso.

24
Supponiamo che la variabile aleatoria possa assumere un qualsiasi
valore reale. Per calcolare la mediana si procede nel modo seguente:
• si ordinano in ordine non decrescente gli n dati
xi1 ≤ xi2 ≤ · · · ≤ xin;
• se n è dispari si ha che xM = xi (n+1)/2
• se n è pari tutti i numeri dell’intervallo [xi n/2 , xi n/2+1 ] soddisfano
la proprietà della definizione, in questo caso si pone, per
convenzione,
+ xi n 2 +1
xM = xi n
2
2
.
Ad esempio, se ho raccolto i seguenti 7 dati numerici:
li riordino
5 7 32 107 25 31 8
5 7 8 mediana
25 31 32 107
La mediana è 25 perché questo è il valore che occupa il posto
(7 + 1)/2 = 4.
Se i dati raccolti fossero i seguenti 6:
riordinati danno
12 15 11 18 20 14
11 12 14
punto centrale
· 15 18 20.
I valori nei posti 6/2 = 3 e 6/2 + 1 = 4 sono 14 e 15, la mediana risulta
(14 + 15)/2 = 29/2 = 14.5.
Osservazione 5.1. La mediana non è influenzata da eventuali outlier.
Proviamo a calcolare la mediana dei rendimenti dei 17 fondi
azionari dell’esempio precedente. La serie ordinata è la seguente:
10.0 20.6 28.6 28.6 29.4 29.5 29.9 30.1 mediana
30.5
30.5 32.1 32, 2 32.4 33.0 35.2 37.1 38.0
Poiché i dati sono 17 la mediana è il dato di posto 9, cioè 30.5.
Il calcolo della mediana è influenzato dal numero delle
osservazioni e non dalla grandezza dei valori estremi.
La media aritmetica e la mediana si riferiscono a rilevazioni di dati
di tipo numerico. In particolare si utilizzano per dati misurati in scala
ordinale o rapportale. Non sono utilizzate per dati misurati in scala
nominale.

7. IL MIDRANGE 25
6. La moda
Definizione 6.1. Si definisce moda il valore più frequente di un
insieme di dati. La moda può non essere unica.
Osserviamo che, a differenza della media aritmetica, la moda non è
influenzata dagli outlier. Tuttavia tale misura viene utilizzata solo per
scopi descrittivi perché è caratterizzata da maggiore variabilità rispetto
alle altre misure di posizione. Infatti, piccole variazioni in un insieme
di dati possono fare variare in modo consistente la moda.
Esempio 6.1. Sempre considerando l’esempio dei rendimenti dei 17
fondi azionari valutati in precedenza osserviamo che ci sono due valori
più tipici. Precisamente 30.5 compare con frequenza 2 ma anche 28.6
compare con frequenza 2. Quindi abbiamo due mode: 30.5 e 28.6.
Questo insieme di dati si dice bimodale.
Se riconsideriamo l’esempio dell’altezza delle reclute, abbiamo un
valore più tipico: l’altezza 170 cm compare con frequenza 11. Quindi
abbiamo un’unica moda. Questo insieme si chiama unimodale.
Ovviamente può anche succedere che in un insieme di dati non vi
sia un valore più “tipico” degli altri, cioè che compare con maggiore
frequenza. Riprendiamo l’esempio del Phleum pratense. Consideriamo
i dati raccolti sui 30 esemplari relativi alla lunghezza della foglia superiore.
Osserviamo che non esiste un dato più frequente degli altri. Si
tratta dunque di un insieme di dati senza moda.
7. Il midrange
Definizione 7.1. Il midrange è il numero ottenuto facendo la media
aritmetica tra il valore minimo ed il valore massimo fra i risultati
della rilevazione di una variabile aleatoria numerica.
Supponiamo di aver raccolto n dati numerici relativi ad una variabile
aleatoria X. Supponiamo che questi dati siano x1, x2, . . . , xn. Sia
xi il valore più basso e sia xj quello più alto. Allora il midrange è il
valore
xi + xj
.
2
Sempre nell’esempio dei fondi azionari abbiamo che il midrange è
dato da:
10.0 + 38.0
Midrange = = 24.0.
2
Nell’esempio della lunghezza della foglia del Phleum pratense ab-
biamo
Midrange =
12.5 + 27.5
2
= 20.0.

26
Nell’esempio dell’altezza delle reclute abbiamo:
Midrange =
166 + 178
2
= 344
2
= 172.
Osservazione 7.1. Il midrange è fortemente influenzato dalla presenza
di valori anomali. Infatti esso si basa esclusivamente sull’osservazione
più piccola e su quella più grande. Quindi, quando ci sono nei
dati dei valori estremi esso non è molto appropriato per sintetizzare i
dati raccolti
Nel caso dell’esempio dei 17 fondi azionari l’uso del midrange non
è molto appropriato, mentre nel caso dell’altezza delle reclute risulta
più utile.
Il midrange è spesso utilizzato dai metereologi che rilevano la temperatura
nell’arco della giornata, o dagli analisti finanziari.
8. I quartili
I quartili sono delle misure di posizione “non centrale” più ampiamente
utilizzate. Mentre la mediana è un valore che divide a metà la
serie ordinata delle osservazioni (il 50% delle osservazioni sono minori
od uguali ed il 50% sono maggiori od uguali della mediana) i quartili
sono delle misure descrittive che dividono i dati in 4 parti pressoché
uguali.
Definizione 8.1. Sia x1, x2, . . . , xn n dati raccolti, che supporremo
scritti in ordine non decrescente, per la variabile aleatoria numerica X.
Si chiama primo quartile, e lo si indica con Q1, un numero x0.25 tale che,
l’intervallo ] − ∞, x0.25] contenga almeno il 25% dei dati e l’intervallo
[x0.25, +∞[ almeno il 75% dei dati. Si chiama terzo quartile, e lo si
indica con Q3, un numero x0.75 tale che, l’intervallo ]−∞, x0.75] contenga
almeno il 75% dei dati e l’intervallo [x0.75, +∞[ almeno il 25% dei dati.
L’intervallo [x0.25, x0.75] contiene almeno il 50% dei dati.
Per calcolare il quartili Qi, i = 1, 3, si procede nel modo seguente:
(1) Se il numero 1+i(n−1)/4 è un intero m si sceglie come i-esimo
quartile il dato Qi = xm.
(2) Se il punto 1 + i(n − 1)/4 è maggiore dell’intero m e minore
di m + 1 si sceglie come quartile il valore
Qi = (1 +
i(n − 1)
4
− m)xm+1 + (m −
i(n − 1)
)xm.
4
Esempio 8.1. Riprendiamo l’esempio dei 17 fondi azionari, dopo
averli ordinati in modo non decrescente per il loro rendimento, si ha

che
1 +
n − 1
4
8. I QUARTILI 27
= 1 + 17 − 1
4
= 5.
Quindi, si avrà Q1 = x5 = 29.4. Per il terzo quartile, si ha
1 +
3(n − 1)
4
= 1 +
3 · 16
4
= 13
da cui Q3 = x13 = 32.4.
Consideriamo ora la lunghezza della foglia superiore nei 30 esempleri
di Phleum pratense. Per il primo quartile, dalla
si ha
Q1 = (1+
1 +
n − 1
4
= 1 + 30 − 1
4
= 8.25
(30 − 1)
(30 − 1)
−8)x9+(9− )x8 = 0.25·18.1+0.75·17.4 = 17.575.
4
4
Per il terzo quartile si ha
ha
1 +
3 · (30 − 1)
4
= 22.75 e Q3 = 0.75 · 23.1 + 0.25 · 22.0 = 22.825.
Se consideriamo l’esempio delle 44 reclute, per il primo quartile si
1 + 43
4 = 11.75 Q1 = 0.75 · 170 + 0.25 · 170 = 170.
Per il terzo quartile si ha
1 +
3 · 43
4 = 33.25 Q1 = 0.25 · 172 + 0.75 · 172 = 172.
Definizione 8.2. Si chiama media interquartile la media aritmetica
tra il valore del terzo e del primo quartile. Cioè
Q1 + Q3
.
2
Ovviamente la media interquartile è una misura di sintesi che viene
utilizzata per evitare i problemi che possono presentarsi in presenza di
valori estremi.
La media interquartile, così come la mediana, non è influenzata
dagli outlier. Una misura che non è influenzata dagli outlier prende il
nome di misura robusta.

28
9. Variabilità dei dati
Un carattere importante di un insieme di dati è la loro variabilità.
La variabilità è un indice della dispersione presentata nei dati. Due
insiemi di dati possono differire sia nella dispersione che nella posizione.
Supponiamo di avere per due insiemi di dati gli areogrammi di Figura
13.
Areogramma A Areogramma B
Figura 13
Per “misurare” la variabilità dei dati possiamo prendere in considerazione:
il range, il range interquartile, la varianza, lo scarto quadratico
medio ed il coefficiente di variazione.
Definizione 9.1. Il range o intervallo di variazione è uguale alla
differenza fra l’osservazione più grande e l’osservazione più piccola:
Range = xpiù grande − xpiù piccolo.
Esempio 9.1. Calcolare il range interquartile nei casi: dei 17 fondi
azionari, delle 44 reclute, della lunghezza della foglia superiore del
Phleum pratense.
Nel caso dei 17 fondi azionari abbiamo
range = 38.0 − 10.0 = 28.0.
Nel caso dell’altezza delle 44 reclute abbiamo
range = 178 − 166 = 12.
Nel caso della lunghezza della foglia del Phleum pratense abbiamo
range = 27.5 − 12.5 = 15.0.
Osservazione 9.1. Il range è misura della dispersione totale dell’insieme
dei dati. Sebbene si tratti di una misura molto semplice da

(1). Sovrapporsi bene.
Avremmo il caso della stessa
posizione e della stessa
dispersione.
9. VARIABILITÀ DEI DATI 29
Se riportiamo due insiemi di dati sullo stesso asse graduato potrebbero:
(3). Stessa posizione media
dei dati ma dispersione
diversa.
(2). Stessa dispersione ma
dati con diversa posizione.
(4). Dati con diversa dispersione
e diversa posizione
media dei dati.
Figura 14. Alcuni esempi di confronto fra due insiemi
di dati.
calcolare, un suo limite è che non tiene conto di come i dati si distribuiscono
effettivamente tra i due valori estremi. Per questo motivo, in
alcuni casi, si dimostra una misura inadeguata della variabilità.
Come esempio, riportiamo nella tabella sotto e nei tre grafici che la
seguono, tre serie di dati con uguale range (o intervallo di variazione)
ma diverse distribuzioni dei dati.
Definizione 9.2. Il range interquartile di una serie di dati è la
differenza fra il terzo quartile ed il primo quartile. Cioè:
range interquartile = Q3 − Q1.
Questa misura di variabilità sintetizza la dispersione del 50% dei
dati che occupano la posizione centrale e non è pertanto influenzato
dagli outlier.

30
Tabella 4. Tre serie di dati con lo stesso range
valori Serie 1 Serie 2 Serie 3
6 0 0 0
7 1 1 1
8 0 1 1
9 0 1 2
10 0 1 5
11 1 1 2
12 5 6 1
13 6 2 1
14 0 0 0
Se torniamo all’esempio precedente, nel caso dei fondi si ha Q1 =
29.0, Q3 = 32.7 e quindi
range interquartile = 32.7 − 29.0 = 3.7.
Nel caso dell’altezza delle reclute si ha Q1 = 170 cm, Q3 = 172 cm e
quindi
range interquartile = 172 − 170 = 2 cm.
Nel caso del Phleum pratense si ha Q1 = 17.4 cm, Q3 = 23.1 cm e
quindi
range interquartile = 23.1 − 17.4 = 5.7 cm.
Sebbene il range sia una misura della dispersione totale ed il range
interquartile sia una misura della dispersione centrale, nessuna di
queste due misure tiene conto abbastanza accuratamente di come le osservazioni
si distribuiscano attorno ad una misura di tendenza centrale,
come ad esempio la media aritmetica. Consideriamo ora due misure di
variabilità, la varianza, e la sua radice quadrata, lo scarto quadratico
medio, che sintetizzano con una certa accuratezza la dispersione dei
valori osservati attorno alla loro media.
Serie 1
6 8 10 12 14
Serie 2
6 8 10 12 14
Figura 15. Istogrammi dei dati di Tabella 4.
Serie 3
6 8 10 12 14

9. VARIABILITÀ DEI DATI 31
Definizione 9.3. Siano x1, x2, . . . , xn gli n valori osservati per la
variabile aleatoria X. Si dice varianza dei dati il numero
Var(X) =
n
i=1 (xi − x) 2
n
dove x indica la media aritmetica degli n dati raccolti.
Si dice scarto quadratico medio (od anche deviazione standard) la
radice della varianza
S(X) =
n
i=1 (xi − x) 2
.
n
Usualmente la varianza si indica con V ar e lo scarto quadratico
medio con S. Perciò V ar = S 2 .
Se i dati sono presentati con una tabella di frequenza (assoluta)
di queste frequenze assolute si dovrà tenere conto sia nel calcolo della
media aritmetica che in quello della varianza e dello scarto quadratico
medio.
Ad esempio se i valori x1, x2, . . . , xn compaiono ordinatamente con
le frequenze assolute n1, n2, . . . , nn, avremo
x =
S 2 =
S =
n i=1 xini
n i=1 ni
n i=1 ni(xi − x) 2
n i=1 ni
n
i=1 ni(xi − x) 2
n i=1 ni
.
Se applichiamo le formule precedenti all’esempio dell’altezza delle
44 reclute si ottiene: x = 170.9318, V ar = 4.563533 e S = 2.136243.
Notiamo che il valore di S non è troppo alto rispetto all’altezza media.
Dovendo fare i calcoli manualmente della varianza, può venire utile
la formula di Köning che dice:
Var=media dei quadrati - quadrato della media.
Cioè
V ar = S 2 = 1
n
n
i=1
x 2 i − x 2 .
Quando si lavora con un campione di n osservazioni, e non con una
intera popolazione (ancorché finita), per il calcolo della varianza e dello
scarto quadratico medio si utilizzano le seguenti formule
V ar = S 2 =
n
i=1 (xi − x) 2
n − 1
S =
n
i=1 (xi − x) 2
.
n − 1

32
Cioè si divide per il numero n − 1 anziché per il numero n di dati.
Osserviamo d’altra parte che se il numero di elementi del campione
n è abbastanza elevato si ha n−1 ≡ 1 e quindi i valori dati dalle due
n
formule praticamente coincidono.
Se riprendiamo l’esempio dei rendimenti dei 17 fondi azionari, ed
applichiamo le formule adatte ad un campione, si ha
x = 29, 86471, V ar = 41.15993, S = 6.4156.
Il valore di S è piuttosto alto perché è influenzato dall’outlier 10.0.
Nel calcolo della varianza le differenze tra ciascuna osservazione e
la media vengono elevate al quadrato. Pertanto sia la varianza che lo
scarto quadratico medio non possono essere negativi. L’unico caso nel
quale queste due misure risultano nulle è quando i dati sono tutti uguali
fra loro, non c’è variabilità dei dati. In questo caso anche il range ed il
range interquartile sono nulli.
In generale i dati presentano una qualche variazione. Ecco perché è
importante sintetizzare i dati non soltanto con misure di posizione ma
anche per mezzo di misure di variabilità che ne indicano la dispersione.
La varianza e lo scarto quadratico medio misurano
la dispersione “media” attorno alla media aritmetica:
sono ottenute valutando come le osservazioni più
grandi si distribuiscono al di sopra della media e come
le osservazioni più piccole si distribuiscono sotto
la media.
Osserviamo che l’unità di misura della varianza coincide con il quadrato
dell’unità di misura dei dati. Ad esempio, nel caso dell’altezza
delle 44 reclute, la varianza è misurata in cm 2 . Per questo motivo come
principale misura della dispersione si preferisce utilizzare lo scarto quadratico
medio il cui valore (essendo la radice quadrata della varianza)
è espresso nella stessa unità di misura dei dati.
Lo scarto quadratico medio ci dà una indicazione se e quanto i dati
sono concentrati o dispersi attorno alla loro media aritmetica.
Per quasi tutti gli insiemi di dati, la maggior parte dei valori osservati
si trova nell’intervallo centrato sulla media ed i cui estremi distano
dalla media per uno scarto quadratico medio. Questo significa che l’intervallo
[x − S, x + S] in genere cattura almeno la maggior parte dei
valori osservati. Pertanto la conoscenza della media aritmetica e dello
scarto quadratico medio in genere aiuta a definire in quale intervallo si
concentra almeno la maggior parte dei valori osservati.
Ad esempio, nel caso dei 17 fondi azionari abbiamo:
x = 29.86 S = 6.42

9. VARIABILITÀ DEI DATI 33
e nell’intervallo [x − S, x + S] = [23.44, 36.28] cadono 13 dei 17 dati.
Nel caso dell’altezza delle 44 reclute abbiamo:
x = 170.9 S = 2.14
e nell’intervallo [x − S, x + S] = [168.76, 173.04] cadono 35 dei 44 dati.
È importante osservare che nelle formule della varianza e dello
scarto quadratico medio non si potrebbe usare
n
(xi − x),
i=1
Infatti tale somma dà sempre zero e questo priva di ogni significato
tale espressione. Al contrario la somma dei quadrati delle differenze
assume sempre valori diversi per le diverse distribuzioni dei dati dando
un peso maggiore ai dati che più si discostano dalla media.
Quanto è stato qui sopra osservato può venire generalizzato nel
seguente schema:
Capire la variabilità dei dati.
(1) Quanto più i dati sono dispersi, tanto maggiori saranno il range,
il range interquartile, la varianza e lo scarto quadratico
medio.
(2) Quanto più i dati sono concentrati od omogenei, tanto minori
saranno il range, il range interquartile, la varianza e lo scarto
quadratico medio.
(3) Se le misure sono tutte uguali (dati senza variabilità) il range,
il range interquartile, la varianza e lo scarto quadratico medio
sono tutti uguali a zero.
(4) Nessuna delle misure di variabilità (il range, il range interquartile,
la varianza e lo scarto quadratico medio) può essere
negativa.
Introduciamo ora un’altra misura di variabilità che, a differenza
delle precedenti, è espressa come una percentuale e non nella stessa
unità di misura dei dati.
Definizione 9.4. Si dice coefficiente di variazione di un insieme di
dati x1, x2, . . . , xn, con media aritmetica x e scarto quadratico medio
S il numero:
CV = S
100 %.
|x|
Ad esempio, nel caso dei 17 fondi azionari abbiamo:
CV = S 6.42
100 = 100 = 21.5%.
|x| 29.86

34
Il coefficiente di variazione è utile quando si vogliono mettere a
confronto la variabilità di due o più insiemi di dati. Ad esempio consideriamo
di nuovo la tabella 2 di pag. 12 ottenuta registrando il peso
di 19 studenti (11 maschi ed 8 femmine). Calcoliamo sia la media che
lo scarto quadratico medio per le femmine e per i maschi. Avremo:
xF = 39.86 SF = 2.09
xM = 48.56 SM = 2.46.
Osserviamo che lo scarto quadratico medio dei maschi, SM, è maggiore
di quello delle femmine, SF . Non per questo possiamo dedurre che
il peso dei maschi varia più di quello delle femmine. Calcoliamo i
coefficienti di variazione:
CVF = SF
100 =
xF
2.09
100 = 5.3%
39.66
CVM = SM
100 =
xM
2.46
100 = 5.1%
48.56
due percentuali pressoché uguali. Le variazioni sono rapportate alla
taglia. Mediamente i maschi pesano più delle femmine ecco perché
presentano uno scarto quadratico medio maggiore.
Per comprendere ancora meglio il concetto basta immaginare di confrontare
la variabilità del peso di due specie animali di taglie molto diverse
(ad esempio orche e delfini): Un aumento di 20 kg è insignificante
in un’orca mentre risulta notevole in un delfino.
10. La forma della distribuzione
La terza caratteristica dei dati che prendiamo in considerazione è
la forma della loro distribuzione, cioè il modo in cui si distribuiscono.
La distribuzione dei dati può essere simmetrica oppure no. Ad esempio
la distribuzione dei dati illustrata dal primo diagramma è simmetrica
mentre quella illustrata dal secondo è asimmetrica.
Una distribuzione dei dati non simmetrica si dice asimmetrica oppure
obliqua. Per descrivere la forma di una distribuzione di dati è a
volte sufficiente confrontare la media aritmetica con la mediana. Se ci
sono dei valori “eccezionalmente” alti questi alzano il valore della media
aritmetica e quindi la media aritmetica risulta maggiore della mediana.
In questo caso si parla di asimmetria positiva della distribuzione dei
dati o di distribuzione obliqua a destra.
Se ci sono dei valori “eccezionalmente” bassi questi abbassano il
valore della media aritmetica e dunque si avrà una media aritmetica
minore della mediana. In questo caso si parla di distribuzione obliqua
a sinistra o di asimmetria negativa.

11. L’ANALISI ESPLORATIVA DEI DATI 35
2 4 6 8
2 4 6 8
Figura 16. Istogrammi di una distribuzione simmetrica
ed una distribuzione obliqua.
Se la distribuzione dei dati è simmetrica ciascuna metà della curva
e l’immagine speculare dell’altra. In tal caso la media aritmetica e la
mediana coincidono perché i valori bassi e quelli alti si bilanciano.
Riprendiamo l’esempio del rendimento dei 17 fondi azionari. La media
aritmetica è 29.86 e la mediana è 30.5. Poiché la media aritmetica
è minore della mediana la distribuzione dei dati è obliqua a sinistra.
Nel caso dell’altezza delle 44 reclute, la media aritmetica è 170.9
cm mentre la mediana risulta di 171 cm. La distribuzione si avvicina
molto all’essere simmetrica.
Anche nel caso del Phleum pratense la media e la mediana quasi
coincidono e quindi si tratta di una distribuzione abbastanza simmetrica.
11. L’analisi esplorativa dei dati
Dopo aver studiato le tre principali caratteristiche dei dati, cioè posizione,
variabilità e forma, è importante ora stabilire come sintetizzare
opportunamente le diverse caratteristiche dei dati.

36
Distribuzione obliqua a destra
Distribuzione obliqua a sinistra
Distribuzione simmetrica
Figura 17. Le tre forme principali di una distribuzione.
Un approccio a questa “analisi esplorativa dei dati” consiste nel
calcolare i cinque numeri di sintesi e nel costruire il diagramma scatola
e baffi (box and whisker plot).

11. L’ANALISI ESPLORATIVA DEI DATI 37
Definizione 11.1. Dato un insieme di dati x1, x2, . . . , xn, i cinque
numeri di sintesi sono:
(1) Il valore minimo, xmin.
(2) Il primo quartile, Q1.
(3) La mediana.
(4) Il terzo quartile, Q3.
(5) Il valore massimo, xmax.
A partire dai 5 numeri di sintesi è possibile ottenere tre misure di
posizione:
• La mediana.
• La media interquartile: (Q1 + Q3)/2.
• Il midrange: (xmin + xmax)/2.
e due misure di variabilità:
• Il range interquartile: Q3 − Q1.
• Il range: xmax − xmin.
Nel caso di dati simmetrici la relazione fra i cinque numeri di sintesi
risulta la seguente:
(1) La distanza tra Q1 e la mediana è uguale alla distanza tra Q3
e la mediana.
(2) La distanza tra Q1 e xmin è uguale alla distanza tra Q3 e xmax.
(3) La mediana, la media interquartile ed il midrange coincidono
(coincidono poi anche con la media aritmetica.)
Nel caso di dati asimmetrici la relazione fra i cinque numeri di sintesi
risulta la seguente:
(1) Nelle distribuzioni oblique a destra, la distanza fra Q3 e xmax
è maggiore di quella fra Q1 e xmin.
(2) Nelle distribuzioni oblique a destra, la mediana e la media
interquartile sono minori del midrange.
(3) Nelle distribuzioni oblique a sinistra, la distanza fra Q3 e xmax
è minore di quella fra Q1 e xmin.
(4) Nelle distribuzioni oblique a sinistra, la mediana e la media
interquartile sono maggiori del midrange.
In conclusione, a partire dai 5 numeri di sintesi è possibile dire
qualcosa sulla forma della distribuzione.
Esempio 11.1. Calcoliamo i 5 numeri di sintesi del caso dei 17 fondi
azionari. Si ha:
xmin = 10, Q1 = 29.0, mediana = 30.5, Q3 = 32.7, xmax = 38.0.
Utilizziamo ora questi dati per studiare la forma della distribuzione. Si
ha Q1 − xmin = 19.0 che è molto maggiore di xmax − Q3 = 5.3 pertanto

38
la distribuzione dei dati risulta obliqua a sinistra. Se ora confrontiamo
la mediana, la media interquartile ed il midrange, si ha per il midrange
(xmax + xmin)/2 = 24.0 che è più piccolo sia della mediana, 30.5, che
della media interquartile (Q1 + Q3)/2 = 30.85 confermando che la
distribuzione è obliqua a sinistra. Si osservi infine che la mediana e la
media interquartile sono molto vicine perché, essendo misure “robuste”
non vengono influenzate dal valore di outlier che è 10.0.
Se consideriamo l’esempio delle 44 reclute, i cinque numeri di sintesi
risultano
xmin = 166, Q1 = 170, mediana = 171, Q3 = 172, xmax = 178.
In questo caso si hanno: Q1 − xmin = 4 cm, xmax − Q3 = 6 cm, la
distanza fra la mediana ed il primo quartile è di 1 cm come la distanza
fra il terzo quartile e la mediana. La media interquartile è (Q1 +
Q3)/2 = 171 cm, il midrange è (xmax + xmin)/2 = 172 cm e la media
aritmetica è 170.9 cm. Se confrontiamo con le condizioni elencate in
precedenza, si ha che la distribuzione dei dati risulta molto vicina alla
simmetria. Il valore un po’ più alto del midrange evidenzia una leggera
distorsione a destra.
Prendiamo l’esempio del Phleum pratense. Calcoliamo i 5 numeri
di sintesi:
xmin = 12.5, Q1 = 17.4, mediana = 20, Q3 = 23.1, xmax = 27.5.
La distanza Q1−xmin è 4.9 mm, xmax−Q3 è 4.4 mm, mediana−Q1 è 2.6
mm, Q3−mediana è 3.1. Calcoliamo il midrange, la media interquartile
e la media aritmetica. Si ha
• Il midrange è 20.
• La media interquartile risulta 20.25.
• La media aritmetica è 20.1033.
La media interquartile, la media aritmetica ed il midrange sono quasi
uguali. La distanza fra xmin e Q1 e quella fra xmax e Q3 sono circa
uguali. Le distanze di Q1 e Q3 dalla mediana sono circa uguali. Si
tratta di una distribuzione dei dati abbastanza simmetrica, con una
leggera coda a sinistra perché la media interquartile è maggiore del
midrange e Q1 − xmin > xmax − Q3. Però la coincidenza di midrange,
media interquartile e media aritmetica ci consentono di assumere la
distribuzione dei dati come simmetrica.
12. Il diagramma scatola e baffi
Il diagramma scatola e baffi fornisce una rappresentazione grafica
dei dati sulla base dei 5 numeri di sintesi. Esso si costruisce nel modo
seguente:

12. IL DIAGRAMMA SCATOLA E BAFFI 39
Si prende un asse graduato e si costruisce una “scatola” il cui lato
verticale sinistro è in corrispondenza con Q1, il lato verticale destro è
in corrispondenza con Q3. Pertanto la scatola contiene il 50 % delle
osservazioni. All’interno della scatola si traccia una linea verticale in
corrispondenza della mediana. Si tracciano poi: una linea tratteggiata
da Q1 a xmin, che rappresenta il 25 % dei valori più bassi, (baffo sinistro)
ed una linea tratteggiata da Q3 a xmax, che rappresenta il 25 % dei dati
più elevati, (baffo destro).
Un diagramma scatola e baffi assume quindi l’aspetto presentato
dalla figura 18 di pagina 39.
xmin
Q1
mediana
Q3
xmax
Figura 18. Il digramma “Scatola e baffi”

40
Esempio 12.1. Riprendiamo l’esempio del rendimento dei 17 fondi
azionari, il relativo diagramma scatole e baffi risulta quello riportato
nella figura 19.
10 29.4 32.438
30.5
Figura 19. Il digramma “Scatola e baffi”, del
rendimento di 17 fondi azionari.
Riportiamo ora qui di seguito anche i diagrammi scatole e baffi
per l’esempio dell’altezza delle reclute per quello del Phleum pratense,
figura 20 e 21 seguenti.
166 170
171
172 178
Figura 20. Il digramma “Scatola e baffi”, dell’altezza
di 44 reclute.
12.50 17.58
20.05
22.83 27.50
Figura 21. Il digramma “Scatola e baffi”, della
lunghezza della foglia superiore di Phleum pratense.

13. MISURE DI SINTESI DESCRITTIVE DI UNA POPOLAZIONE 41
13. Misure di sintesi descrittive di una popolazione
Abbiamo già fatto distinzione fra popolazione e campione. Popolazione
è l’insieme di tutti gli elementi che si prendono in considerazione.
Campione è la porzione della popolazione che si seleziona per l’analisi.
Ad esempio, nel caso delle 44 reclute possiamo interpretare l’insieme
di tutte le reclute italiane come l’intera popolazione, mentre le
44 reclute analizzate costituiscono il campione. Quando si considera
un campione si indica con x la media aritmetica dei dati raccolti
sul campione e con S lo scarto quadratico medio che si calcola con la
formula:
n
i=1 (xi − x) 2
S =
.
n − 1
Si osservi che se i dati del campione sono n, si divide per n − 1.
Se invece si considera l’intera popolazione, il cui numero di individui
indicheremo con N, si indica con µ la media dei dati raccolti sull’intera
popolazione:
µ =
N
i=1 xi
N
e si indica con σ lo scarto quadratico medio dei dati raccolti sull’intera
popolazione:
N
i=1 (xi − µ) 2
σ =
.
N
xi è il dato raccolto per la variabile aleatoria che stiamo studiando
relativamente all’i-esimo individuo della popolazione.
In molti insiemi di dati la distribuzione tende a raggrupparsi vicino
alla mediana. Negli insiemi di dati che presentano una distribuzione
obliqua a sinistra, i dati tendono a raggrupparsi sulla sinistra della
mediana, mentre nei dati con distribuzione obliqua a destra i dati tenderanno
a raggrupparsi a destra della mediana. Per gli insiemi simmetrici
la concentrazione delle osservazioni tende ad essere attorno alla
mediana che coincide con la media aritmetica.
Per la maggior parte delle distribuzioni si ha la seguente regola
empirica:
• Circa 2 dati su tre (il 67 - 68 % dei dati) si trova ad una
distanza dalla media µ inferiore allo scarto quadratico medio.
Cioè il 67 % dei dati (circa) si trova nell’intervallo [µ−σ, µ+σ].
• Una percentuale di dati tra il 90 % ed il 95 % si trova ad una
distanza dalla media minore di due volte lo scarto quadratico
medio. Cioè circa il 95 % dei dati si trova nell’intervallo [µ −
2σ, µ − 2σ].

42
Consideriamo una variabile aleatoria X. Sappiamo che X è una
variabile che può assumere un ben determinato valore in conseguenza di
un esperimento. Supponiamo che X sia una variabile di tipo numerico
misurata in scala ordinale, in questo caso, X può essere una variabile
di tipo discreto (può assumere soltanto un insieme finito di valori od
una infinità numerabile di valori) o di tipo continuo (può assumere una
infinità di valori più che numerabile).
Nella maggior parte dei casi, ha grande importanza conoscere la
probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori od uguali
ad x. Spesso, quando la variabile aleatoria X è di tipo continuo, per
conoscere questa probabilità, che indicheremo con P (X < x), si ricorre
ad un modello matematico, cioè ad una espressione matematica che
permetta, per ogni x, di calcolare il valore di P (X < x).
Molti modelli matematici di interesse nella statistica sono costruiti
a partire dalla funzione:
f : R → R definita da f(x) = 1
σ √ 1
e− 2(
2π x−µ
σ ) 2
.
La media µ calcolata sull’intera popolazione prende anche il nome di
valore atteso di X e viene indicato con E(X).
Poniamo per semplicità
A = 1
σ √ 2π
B = 1
2σ 2
C = µ,
e studiamo il grafico della precedente funzione, cioè della funzione
x ↦→ Ae −B(x−C)2
.
Poiché A > 0 il grafico giace tutto al di sopra dell’asse delle ascisse,
inoltre si hanno i due limiti
lim
x→+∞ Ae−B(x−C)2 = 0 lim
x→−∞ Ae−B(x−C)2 = 0.
La curva è simmetrica rispetto alla retta x = C. Infatti si ha
Ae −B(−(x−C))2
= Ae −B(−1)2 (x−C) 2
Se ora studiamo la derivata prima della funzione,
y ′ = −2B(x − C) Ae −B(x−C)2
,
= Ae −B(x−C)2
.
si ha che questa si annulla per x = C, è negativa per x > C e positiva
per x < C. Dunque la funzione risulta crescente nell’intervallo ] −
∞, C[, è decrescente nell’intervallo ]C, +∞[ e raggiunge il massimo, A,
per x = C. Inoltre il coefficiente B = 1
2σ 2 determina la rapidità di

13. MISURE DI SINTESI DESCRITTIVE DI UNA POPOLAZIONE 43
crescita della curva. Se consideriamo un valore x ′ < C o x ′ > C fissato
e calcoliamo il valore assoluto
2BA(x − C)e −B(x ′ −C) 2 ,
questo cresce con B se si mantiene fisso C. Ricordando che il valore
della derivata di una funzione in un punto x ′ rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione corrispondente
all’ascissa x ′ , si conclude che al crescere di B aumenta la velocità di
crescita del grafico. In fine, poiché B è inversamente proporzionale al
quadrato di σ, più basso è σ maggiore è la velocità di crescita della
curva. Il grafico di
f(x) = 1
σ √ 1
e− 2(
2π x−µ
σ ) 2
è illustrato in figura 22 di pagina 43
1
σ √ 2π
Y
µ X
Figura 22. Grafico di densità della distribuzione normale.
In particolare vediamo, in figura 23 di pagina 44, alcuni grafici
ottenuti in corrispondenza di diversi valori di σ:
Definizione 13.1. La funzione f : R → R definita dall’espressione
f(x) = 1
σ √ 1
e− 2(
2π x−µ
σ ) 2
prende il nome di funzione di distribuzione normale o distribuzione
gaussiana.

44
Y
µ X
Figura 23. Confronto fra diversi grafici di densità della
distribuzione normale con lo stesso valore di µ ma diversi
valori di σ.
Definizione 13.2. Si dice che una variabile aleatoria X, valutata
su di una popolazione con media µ e scarto quadratico medio σ, ha
una distribuzione di probabilità normale con parametri µ e σ, quando
P (X ≤ x) è uguale all’area sottesa dalla curva
tra −∞ ed x.
Y
f(x) = 1
σ √ 1
e− 2(
2π x−µ
σ ) 2
Area=P (X ≤ x)
µ x X
Figura 24. L’area sottesa da una curva di distribuzione
nell’intervallo ]−∞, x] è la probabilità che un valore della
variabile aleatoria sia minore od uguale ad x.

13. MISURE DI SINTESI DESCRITTIVE DI UNA POPOLAZIONE 45
13.1. Osservazioni.
1. L’area sottesa dalla curva gaussiana tra −∞ e +∞ vale 1.
Area=1
Figura 25. L’area sottesa dalla curva gaussiana
nell’intervallo ] − ∞, +∞[ è 1.
Infatti, essendo X una variabile aleatoria continua, cioè in grado di
assumere tutti i valori di R, si ha la certezza, probabilità 1, che assuma
un valore nell’intervallo ] − ∞, +∞[.
2. Se X ha una distribuzione di probabilità normale con parametri
µ e σ, allora i valori assunti da X relativi all’intera popolazione sono
simmetricamente distribuiti rispetto a µ con addensamento verso µ.
Cioè la forma della distribuzione dei dati è la stessa funzione f. Ovvero
se rappresentiamo l’areogramma di un campione molto alto dei dati per
X, campione tratto dall’intera popolazione esaminata, otteniamo:
µ
Figura 26. Confronto fra l’areogramma di una variabile
aleatoria e la gaussiana di uguale media ed uguale
deviazione standard.
Più è basso σ meno i dati sono dispersi rispetto alla media µ.

46
3. Se X ha una distribuzione di probabilità normale con parametri
µ e σ, valutate le misure di posizione centrale sull’intera popolazione:
media µ, mediana, moda, midrange e media interquartile, esse
coincidono tutte. Inoltre il range interquartile è pari a 1.33 volte lo
scarto quadratico medio σ. Cioè il range interquartile copre l’intervallo
[µ − 2 2 σ, µ + 3 3σ], ovvero Q1 = µ − 2
3σ e Q3 = µ + 2
3σ. 4. Indipendentemente dal fatto che la curva gaussiana relativa alla
variabile aleatoria X sia più o meno ripida (cioè con σ più o meno
alto) si ha che, considerati i dati assunti da X sull’intera popolazione:
• nell’intervallo [µ − σ, µ + σ] cadono circa il 68 % dei dati;
• nell’intervallo [µ − 2σ, µ + 2σ] cadono circa il 95 % dei dati;
• nell’intervallo [µ − 3σ, µ + 3σ] cadono circa il 99.7 % dei dati.
Riportiamo nella tabella 5 di pagina 46 il valore delle aree sottese
dalla curva gaussiana:
Tabella 5. Valori delle aree sottese dalla curva gaussiana
per intervalli centrati nel valore medio e di raggi
diversi.
Valori Nell’intervallo Fuori dall’intervallo Nell’intervallo
di u [µ − uσ, µ + uσ] [µ − uσ, µ + uσ] [µ + uσ, +∞[
0 0 1 0.5
0.2 0.1586 0.8414 0.4207
0.4 0.3108 0.6892 0.3446
0.6 0.4514 0.5486 0.2743
0.8 0.5762 0.4238 0.2119
1 0.6826 0.3174 0.1587
1.2 0.7698 0.2302 0.1151
1.4 0.8384 0.1616 0.0808
1.6 0.8904 0.1096 0.0548
1.8 0.9282 0.0718 0.0.0359
2 0.9544 0.0456 0.0228
2.2 0.9722 0.0278 0.0139
2.4 0.9836 0.0164 0.0082
2.6 0.9906 0.0094 0.0047
2.8 0.9950 0.0050 0.0025
3 0.9974 0.0026 0.0013
3.2 0.9986 0.014 0.0007
Se la X è una variabile aleatoria con una distribuzione di probabilità
normale con parametri µ e σ, per calcolare P (X ≤ x) devo calcolare

13. MISURE DI SINTESI DESCRITTIVE DI UNA POPOLAZIONE 47
% dell’area totale
µ − σ µ + σ
% dell’area totale
µ − 2σ µ + 2σ
% dell’area totale
µ − 3σ µ + 3σ
Figura 27. Area sottesa alla curva gaussiana negli intervalli
centrati nel valore medio, µ, e di ampiezza di 2,
4, 6, scarti quadratici medi, σ.
l’area tra −∞ e x sottesa dalla curva gaussiana
f(x) = 1
σ √ 1
e− 2(
2π x−µ
σ ) 2
.
Procedere al calcolo di una tale area non è semplice. Per facilitare le
cose si ricorre alla standardizzazione della variabile aleatoria X.
X
X
X

48
Definizione 13.3. Sia X una variabile aleatoria normalmente distribuita
con parametri µ, σ. Chiamiamo variabile aleatoria standardizzata
associata ad X la variabile aleatoria
X − µ
Z = .
Si può dimostrare che la variabile aleatoria Z è ancora normalmente
distribuita con parametri µ = 0 e σ = 1. Quindi la funzione della
distribuzione normale associata a Z è
f(Z) = 1
√ e
2π −Z2 /2
.
Questa si dice una funzione di distribuzione normale standard o standardizzata.
σ
Ora, per calcolare P (X ≤ x), fissato che sia x, ricorriamo alla curva
f(Z) = 1
√ 2π e −Z2 /2 .
Poiché Z = X−µ
ricaviamo X = σZ + µ e quindi P (X ≤ x) = P (σZ +
σ
µ ≤ x) dove σZ +µ ≤ x implica Z ≤ x−µ
(ricordiamo che σ è un valore
σ
positivo). Quindi P (X ≤ x) = P (Z ≤ x−µ
). Per calcolare la seconda
σ
probabilità si utilizzano le tabelle apposite che rappresentano le aree
sottese dalla curva normale standardizzata. Riportiamo una di queste
tabelle in appendice.
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria continua con distribuzione
di probabilità normale con µ = 60 e σ = 3. Calcolare: P (X < 62)
e P (X > 81).
Soluzione. Procediamo alla standardizzazione della variabile X.
X − 60
Z = ⇐ X = 3Z + 60.
3
Per ottenere P (X < 62) si dovrà calcolare
62 − 60
P (X < 62) = P (Z < ) = P (Z <
3
2
) ∼ P (Z < 0.67)
3
Se consultiamo la tavola della distribuzione normale standardizzata
si ottiene P (Z < 0.67) = 0.7475 cioè circa il 75 %. Per ottenere
P (X > 81) si dovrà calcolare
81 − 60
P (X > 81) = P (Z > ) = P (Z >
3
11
) ∼ P (Z > 3.67).
3
Se osserviamo che P (Z > 3.67) = 1 − P (Z < 3.67), utilizzando
nuovamente la tabella si ha
P (Z > 3.67) = 1 − P (Z < 3.67) ∼ 1 − 1 = 0.

13. MISURE DI SINTESI DESCRITTIVE DI UNA POPOLAZIONE 49
Cioè la probabilità che la variabile aleatoria X superi il valore di 81 è
praticamente nulla.
Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria continua con distribuzione
di probabilità normale con µ = 75 e σ = 6. Calcolare:
P (75 < X < 81) e P (X < 75 ∨ X > 81).
Soluzione. Le condizioni 75 < X < 81 danno per la variabile
aleatoria standardizzata ottenuta dalla X le condizioni 75 < 6Z +75 <
81 e quindi (75 − 75)/6 < Z < (81 − 75)/6 cioè 0 < Z < 1.
Se teniamo conto che P (0 < Z < 1) = P (Z < 1) − P (Z < 0) si ha
P (0 < Z < 1) = 0.8413447 − 0.5 = 0.3413447. Perciò P (75 < X <
81) ∼ 34%.
Dalle P (X < 75 ∨ X > 81) = P (X < 75) + P (X > 81) = P (X <
75) + 1 − P (X < 81) = 1 − (P (Z < 1) − P (Z < 0)) si ottiene P (X <
75 ∨ X > 81) = 1 − 0.3413447 = 0.6586553 e quindi P (X < 75 ∨ X >
81) ∼ 66%.
Esercizio 3. La lunghezza media di 500 spighe di frumento, in un
test biologico, è di 151 mm e la deviazione standard è di 15 mm. Supponendo
che la variabile aleatoria “lunghezza” segua la legge di distribuzione
normale determinare quante spighe hanno lunghezza compresa
tra 120 mm e 155 mm e quante spighe avranno lunghezza maggiore di
185 mm.
Soluzione. La popolazione presa in esame è costituita da N = 500
spighe di frumento. Abbiamo µ = 151 e σ = 15. Se X è la variabile
aleatoria lunghezza, in mm, la variabile lunghezza standardizzata sarà
X − 151
Z = .
Se supponiamo che le misure di lunghezza siano prese arrotondando al
mm più vicino, la probabilità che una spiga dopo la misurazione, ed il
relativo arrotondamento, abbia una lunghezza compresa fra 120 e 155
mm è data da
P (119.5 < X < 155.5) = P (119.5 < 15Z + 151 < 155.5)
119.5 − 151 155.5 − 151
= P ( < Z < )
15
15
155.5 − 151
119.5 − 151
= P (Z < ) − P (Z < )
15
15
= P (Z < 0.30) − P (Z < −2.15)
15
Utilizzando le tabelle per il calcolo si ha
= P (Z < 0.30) − (1 − P (Z < 2.15)).
P (119.5 < X < 155.5) = 0.6179 − 1 + 0.9842 = 0.621 ∼ 60%.

50
Probabilmente 0.621 · 500 ∼ 310 spighe, delle 500 considerate, avranno
lunghezza compresa tra 120 e 155 mm.
Passiamo alla seconda parte del quesito. Si ha
185.5 − 151
P (X > 185.5) = P (Z > ) = P (Z > 2.3) = 1−P (Z < 2.3).
15
dalla consultazione delle tabelle risulta
P (X > 185.5) = 1 − 0.9893 = 0.0107
Pertanto probabilmente 0.0107·500 ∼ 5 spighe risulteranno di lunghezza
maggiore di 185 mm.
14. Verifica dell’ipotesi di normalità
Naturalmente non tutti i fenomeni continui seguono una distribuzione
che possa essere adeguatamente approssimata dal modello normale.
Quando abbiamo un insieme di dati sorge quindi la necessità di capire
se la variabile aleatoria X, relativa all’insieme dei dati raccolti, segua
un modello di distribuzione normale. Cioè, come si dice, abbiamo il
problema di valutare la bontà di adattamento del modello normale ad
un insieme di dati. Si possono adottare due diversi approcci esplorativi,
di carattere descrittivo:
(1) Il confronto tra le caratteristiche dei dati e le proprietà di una
eventuale distribuzione normale sottostante.
(2) la costruzione di un normality plot.
Esaminiamo separatamente i due casi precedenti:
(1) Verifica della normalità di un insieme di dati mediante confronto
tra le caratteristiche dei dati e le proprietà di una distribuzione
normale.
(a) Per dati in numero abbastanza basso si rappresenta il diagramma
scatola e baffi. Per dati in numero notevole si determina
la tabella delle frequenze e si costruisce l’areogramma (o
l’istogramma) con intervalli di base di uguale ampiezza.
(b) Si determinano la media aritmetica, la moda, la mediana,
il midrange e la media interquartile dei dati e si verifica la
coincidenza di queste cinque misure di sintesi.
(c) Si ricavano il range interquartile e lo scarto quadratico medio
e si verifica quanto accuratamente il range inerquartile può
essere approssimato da 1.33σ = 4
3 σ.
(d) Si calcola il range e si verifica se coincide approssimativamente
con un intervallo di ampiezza 6σ centrato sulla media.
(e) Si controlla se circa i 2/3 delle osservazioni sono comprese
nell’intervallo [µ − σ, µ + σ].

14. VERIFICA DELL’IPOTESI DI NORMALITÀ 51
(f) Si controlla se circa i 4/5 delle osservazioni sono comprese
nell’intervallo [µ − 1.28σ, µ + 1.28σ].
(g) si controlla se circa i 19/20 delle osservazioni sono comprese
nell’intervallo [µ − 2σ, µ + 2σ]
Diamo ora una spiegazione di questo modo di procedere analizzando
separatamente i vari punti.
(a) Serve a controllare che la distribuzione dei dati sia simmetrica
e, nel caso di un numero alto dei dati, abbia una forma a
campana.
(b) Sappiamo che se una variabile aleatoria X è normalmente
distribuita, allora, sull’intera popolazione, media, mediana,
moda, midrange e media interquartile coincidono. Ciò deve
avvenire (approssimativamente) per il campione di dati
raccolto.
(c) Sappiamo che se X segue la legge di distribuzione normale,
allora il 50 % dei dati sull’intera popolazione è compreso tra
il primo ed il terzo quartile. Valutiamo t tale che P (Z < t) =
0.75. Dalla tabella leggiamo:
P (Z < 0.67) = 0.7486 P (Z < 0.68) = 0.7517
Sfruttando il procedimento di interpolazione lineare si ottiene
che
0.67 +
0.75 − 0.7486
(0.68 − 0.67) = 0.6745.
0.7517 − 0.7486
Per la variabile aleatoria X, la cui variabile standardizzata è
Z, si ha X = σZ + µ e quindi per il range interquartile si ha
Q3 − Q1 = 0.6745σ + µ − (−0.6745σ + µ) = 1.349σ ∼ 4
3 σ.
(d) Se X segue la legge di distribuzione normale sappiamo che il
99.7 % dei dati dell’intera popolazione è compreso nell’intervallo
[µ − 3σ, µ + 3σ], cioè quasi tutti i dati cadono in questo
intervallo. Relativamente al campione che prendiamo in considerazione
il range dovrà dunque essere circa µ+3σ−(µ−3σ) =
6σ.
(e) Se X segue la legge di distribuzione normale il 67–68 % dei
dati sull’intera popolazione cade nell’intervallo [µ − σ, µ + σ].
Quindi, relativamente al campione che prendiamo in considerazione
ci aspettiamo che circa i 2/3 ∼ 67% delle osservazioni
cadano nel suddetto intervallo.

52
(f) Osserviamo che 4/5 = 0.8 = 80%, cerchiamo un t tale che
l’80% dei dati cada nell’intervallo [−t, t]. Allora cerchiamo t
tale che P (Z < t) = 90% = 0.9. dalla tabella si ottiene
P (Z < 1.28) = 0.8997 P (Z < 1.29) = 0.9015.
Procedendo nuovamente per interpolazione lineare si ha
0.9 − 0.8997
t = 1.28 (1.29 − 1.28) = 1281667 ∼ 1.28.
0.9015 − 0.8997
Perciò l’80% dei dati della variabile standard Z cade nell’intervallo
[−1.28, 1.28]. Tenendo conto che X = σZ + µ, l’80%
dei dati cade nell’intervallo [µ − 1.28σ, µ + 1.28σ].
(g) Sappiamo che nell’intervallo [µ − 2σ, µ + σ] cade circa il 95%
dei dati e 19/20 = 95%.
Esercizio 4. Consideriamo i 25 dati raccolti nella tabella 6 e
stabiliamo se i dati stessi sono approssimativamente distribuiti secondo
una distribuzione normale confrontando le proprietà teoriche della
distribuzione normale con le caratteristiche dei dati.
Tabella 6
valore frequenza
40 1
50 2
70 2
80 2
90 1
100 6
110 2
120 2
130 1
140 2
150 1
160 2
200 1
Soluzione. Determiniamo i 5 numeri di sintesi:
xmin = 40 xmax = 200.
Per determinare Q1 consideriamo 1 + (n − 1)/4 = 1 + (25 − 1)/4 = 7
pertanto, dopo aver ordinato i dati, si ha che il settimo dato vale 80,
quindi
Q1 = 80.

14. VERIFICA DELL’IPOTESI DI NORMALITÀ 53
Per calcolare Q3 consideriamo 1 + 3(n − 1)/4 = 1 + 3(25 − 1)/4 = 19
pertanto
Q3 = 130.
40 80
100
130 200
50 100 150 200
Figura 28. Diagramma “scatola e baffi” ed istogramma,
dei dati della Tabella 6, raffrontati con la gaussiana
di eguale media ed uguale scarto quadratico
medio.
La mediana coincide con il 13-esimo elemento
Riassumendo:
mediana = 100.
xmin = 40, Q1 = 80, mediana = 100, Q3 = 130, xmax = 200.
Nella figura 28 abbiamo tracciato il grafico della scatola e baffi dei
nostri dati ed un confronto fra la curva della distribuzione normale e
la distribuzione dei dati stessi.
La distribuzione dei dati non è simmetrica: la distanza xmax −Q3 =
65 è maggiore della distanza Q1 − xmin = 40.
La mediana vale 100, la media interquartile vale (Q1 + Q3)/2 = 105
ed il midrange vale (xmax + xmin)/2 = 120. Cioè la mediana e la
media interquartile sono più piccole del midrange. Si tratta di una
distribuzione obliqua a destra.

54
Tabella 7
n. dati n. dati n. dati n. dati
1 5.80 7 8.83 13 10.09 19 11.84
2 6.68 8 8.86 14 10.29 20 12.09
3 7.33 9 8.89 15 10.64 21 12.56
4 7.74 10 9.15 16 10.80 22 12.78
5 7.95 11 9.48 17 10.88 23 13.95
6 8.28 12 9.93 18 10.89 24 15.98
Esercizio 5. Consideriamo i dati della tabella 7.
Costruiamo sia l’istogramma che il diagramma scatola e baffi, riportati
nella figura 29.
0 2 4 6 8
5.80 8.69
10.01
11.13 15.98
6 8 10 12 14 16
Figura 29. Diagramma “scatola e baffi” ed areogramma,
dei dati della Tabella 7, raffrontati con la gaussiana
di eguale media ed uguale scarto quadratico
medio.
Calcoliamo i cinque numeri di sintesi:
xmin = 5.80, Q1 = 8.69, mediana = 10.01, Q3 = 11.13, xmax = 15.98.

Si hanno inoltre:
14. VERIFICA DELL’IPOTESI DI NORMALITÀ 55
Q1 − xmin = 2.89
xmax − Q3 = 4.85
media = 10.07
Q1 + Q3
2
xmax + xmin
2
= 9.91
= 10.89
La distribuzione dei dati ha una leggera coda a destra, però abbiamo
una sostanziale coincidenza di: mediana, media, midrange, media
interquartile. Inoltre, dall’istogramma si nota un addensamento dei
dati verso il centro.
Verifico le altre ipotesi di normalità:
• (a) e (b) sono verificate.
• Lo scarto quadratico medio risulta σ ∼ 2.37 e quindi si ha che
1.33σ = 3.15 e il range interquartile, che vale Q3 − Q1 = 3.44,
sono circa uguali.
• 6σ = 14.22 ed il range=10.18.
• Nell’intervallo [µ − σ, µ + σ] = [7.70, 12.44] cadono 17 dati su
24, cioè 17/24 ∼ 0.71 ∼ 70% che è molto vicino al 67–68%
della distribuzione normale.
• Nell’intervallo [µ − 1.28σ, µ + 1.28σ] = [7.04, 13.10] cadono 20
dati su 24, cioè 20/24 ∼ 0.83 che è molto vicino all’80% della
distribuzione normale.
• Nell’intervallo [µ−2σ, µ+2σ] = [5.33, 14.81] cadono 22 dati su
24, cioè 22/24 ∼ 0.92 ∼ 92% che è molto vicino al 95% della
distribuzione normale.
Confrontando le proprietà teoriche della distribuzione normale con
le caratteristiche dei dati, concludiamo che per la variabile aleatoria
X, alla quale i dati si riferiscono, possiamo concludere che X segue un
modello abbastanza vicino alla distribuzione normale.
(2) Verifica delle ipotesi di normalità mediante la costruzione di un
normality plot.
Per considerare l’approccio di valutazione delle ipotesi mediante un
normality plot dobbiamo introdurre il concetto di quantile. Questo
concetto generalizza il concetto di quartile (che abbiamo già considerato).
I quartili sono misure descrittive che dividono i dati ordinati in
4 parti, i decili sono misure descrittive che dividono i dati ordinati in
10 parti, i percentili li dividono in 100 parti. Quartili, decili, percentili
sono una categoria particolare di quantili. Ovvero:
Definizione 14.1. Si dicono quantili le misure descrittive che dividono
l’insieme ordinato dei dati in un numero fissato n di parti.

56
Un normality plot di N osservazioni x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN è un
grafico a due dimensioni costituito da N punti tali che l’ordinata dell’iesimo
punto sia xi e l’ascissa sia il quantile di valore i/(N + 1) per
la distribuzione normale standardizzata. In altre parole, l’ascissa Oi
dell’i-esimo punto del normality plot è il valore per il quale P (Z <
Oi) = i/(N + 1). Si veda in proposito la figura sotto.
Area= 1
N+1
Area= 1
N+1
O1 O2 ON
Figura 30. Quantili
Se i punti del grafico si trovano, abbastanza vicino, ad una retta
uscente dall’origine ed inclinata positivamente, allora possiamo affermare
che i dati osservati si distribuiscono approssimativamente secondo
la legge normale.
Riassumendo, il procedimento per costruire un normality plot è il
seguente:
(1) Si ordinano in modo non decrescente i dati.
(2) Si determina per ogni dato il relativo quantile della distribuzione
normale standardizzata, cioè i quantili normali standardizzati.
(3) Si costruisce un grafico (diagramma di dispersione) avente dei
punti con ordinata il valore dell’i-esimo dato ed ascissa il valore
dell’i-iesimo quantile normale standardizzato.
(4) Si verifica l’ipotesi di normalità controllando se i punti del
diagramma si trovano approssimativamente allineati.
Esempio 14.1. Riprendiamo l’esempio del rendimento dei 17 fondi,
già ampiamente utilizzato, ordiniamo i rendimenti in ordine non decrescente
e calcoliamo per ciascuno di essi, mediante la tabella riportata
in appendice, i relativi quantili.
Nella tabella 8 abbiamo riportato i dati dell’Esempio 4.2, ed i
relativi quantili.

14. VERIFICA DELL’IPOTESI DI NORMALITÀ 57
Tabella 8. Raffronto dei quantili dei rendimenti dei 17
fondi (Esempio 4.2 di pagina 23) con quelli della
gaussiana
rendimento probabilità quantile
10.0 1/18 -1.59
20.6 2/18 -1.22
28.6 3/18 -0.97
28.6 4/18 -0.76
29.4 5/18 -0.59
29.5 6/18 -0.43
29.9 7/18 -0.28
30.1 8/18 -0.14
30.5 9/18 0.00
30.5 10/18 0.14
32.1 11/18 0.28
32.2 12/18 0.43
32.4 13/18 0.59
33.0 14/18 0.76
35.2 15/18 0.97
37.1 16/18 1.22
38.0 17/18 1.59
Per mostrare come si calcola l’ultima colonna, a titolo di esempio,
ricaviamo il quantile relativo al terzo dato: dobbiamo trovare O3 tale
che P (Z < O3) = 3/18; poché 3/18 < 0.5 e nella tabella in appendice
ho solo valori positivi, cerchiamo O ∗ 3 tale che P (Z < O ∗ 3) = 1 − 3/18 =
15/18 = 0.8333. Si trova O ∗ 3 = 0.97 e quindi O3 = −0.97.
Nella figura 31 abbiamo tracciamo il normality plot che se ne ricava
e vi abbiamo sovrapposto la retta che meglio ne approssima l’adattamento
ad una distribuzione normale.
La costruzione del normality plot ci aiuta a capire la forma della
distribuzione dei dati e non solo a verificare l’ipotesi di distribuzione
normale.
Ad esempio, un normality plot, simile a quello del primo diagramma
della figura seguente, con la parte iniziale più inclinata della parte
finale (concavo verso il basso) è caratteristico di una distribuzione di
dati obliqua a sinistra. In esso si osserva che in corrispondenza dei primi
quantili il grafico del normality plot si trova abbastanza al di sotto
della retta tratteggiata che rappresenta la distribuzione normale che
meglio si adatta ai nostri dati. Una ulteriore conferma di ciò si ottiene

58
10 20 30
−1.5 −0.5 0.5 1.0 1.5
Figura 31. Normality plot, ricavato dai dati della
Tabella 8.
dall’areogramma tratto dai nostri dati sul quale abbiamo sovrapposto
il grafico della distribuzione normale che meglio ne approssima l’andamento.
Nei due diagrammi seguenti illustriamo una distribuzione obliqua
a sinistra e una obliqua a destra, che presentano comportamenti
opposti.
−20 20 60
0 40 80
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
Figura 32. Illustrazione di due normality plot e degli
areogrammi dei dati da cui sono stati ottenuti, sui quali
abbiamo sovrapposto la gaussiana che dà il migliore
adattamento.
Osserviamo infine che se l’andamento del normality plot ha forma
ad S, come nella figura 33, siamo in presenza di una distribuzione dei
dati abbastanza simmetrica rispetto alla media cosa che viene anche
confermata dal confronto dell’areogramma a fianco ricavato dai nostri
dati con il grafico della distribuzione normale che meglio li approssima.

−20 40 80
15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 59
−2 −1 0 1 2
Figura 33. Esempio di normality plot per una
distribuzione di dati abbastanza simmetrica.
15. Introduzione all’inferenza statistica
Uno degli scopi principali dell’analisi dei dati consiste nell’uso delle
statistiche per stimare i parametri dell’intera popolazione.
Quando si fa inferenza statistica si esaminano i dati su campioni
allo scopo di trarre considerazioni sull’intera popolazione.
In via ipotetica, per usare le statistiche campionarie con lo scopo di
stimare i parametri dell’intera popolazione dovremmo analizzare tutti
i possibili campioni che da questa possono essere estratti, nella pratica
da una popolazione viene estratto a caso un solo campione di ampiezza
prestabilita.
L’estrazione di un campione da una intera popolazione può avvenire
in due modi:
• con reimmissione;
• senza reimmissione.
Con reimmissione significa che si estrae un individuo della popolazione,
lo si analizza, e lo si reintroduce nella popolazione prima di estrarre
l’individuo successivo. Senza reimmissione significa invece che una volta
estratto un individuo, questo non viene reinserito nella popolazione
ma si procede all’estrazione dell’individuo successivo tra quelli rimasti.
Osserviamo che se N è il numero di individui che costituiscono l’intera
popolazione, ed n è l’ampiezza del campione che si seleziona per
l’analisi, allora i possibili campioni di ampiezza n ottenuti con reimmissione
sono N n , mentre i possibili campioni di ampiezza n ottenuti
senza reimmissione sono:
N!
(N − n)! .
Vediamo perché. Se si estrae un campione con reimmissione, ogni
volta che si sceglie un elemento del campione si hanno N possibilità di
scelta, quindi, in tutto si hanno
N · N . . . N · N
= N
n−volte
n

60
campioni. Ad esempio, supponiamo che l’intera popolazione sia costituita
dalle lettere A, B e C e si vogliano trovare tutti i campioni
costituiti da due lettere, questi campioni sono:
A, A A, B A,C B, A B, B B,C C, A C, B C,C.
Se si estrae senza reimmissione si hanno N possibilità quando si estrae
il primo elemento del campione, N − 1 quando si estrae il secondo, . . . ,
N − n + 1 quando si estrae l’n-esimo elemento del campione. Pertanto
i campioni ottenuti sono:
N · (N − 1) . . . (N − n + 1) =
N!
(N − n)! .
Ritornando all’esempio precedente i possibili campioni di ampiezza 2
senza reimmissione sono:
A, B A,C B, A B,C C, A C, B.
Cioè sono 6
3! 1 · 2 · 3
= = 6.
(3 − 2)! 1
Solitamente gli elementi da includere in un campione sono selezionati
mediante una procedura random, ovvero mediante la generazione di
numeri casuali. Cioè, se si vuole scegliere con reimmissione un campione
di ampiezza n da una popolazione di N individui, si generano n
numeri casuali compresi tra 1 ed n (ad esempio con un calcolatore) e
si pescano gli individui che, dopo avere ordinato la popolazione, occupano
la posizione indicata da questi numeri. Ad esempio se si vuole
estrarre un campione di ampiezza 6 nella popolazione costituita dalle
partite di latte portate ogni giorno in un caseificio, se supponiamo che
gli allavatori siano 70 si generano casualmente 6 numeri da 1 a 70, se
questi fossero i numeri: 5,8,70,52,43,52, allora verrebbero analizzate le
partite di latte che arrivano al caseificio per 5 o , per 8 o , per 43 o , per 52 o ,
di nuovo per 52 o e per 70 o .
Supponiamo che da una popolazione di ampiezza N vengano estratti
tutti i possibili campioni (solitamente si procede con reimmissione)
di ampiezza n. La distribuzione di tutti i risultati ottenuti si dice
distribuzione campionaria.
Parliamo ora della media della distribuzione campionaria.
Per ogni campione di ampiezza n estratto dalla popolazione valutiamo
il valore assunto dalla variabile aleatoria X che si sta studiando,
e, su ogni campione, calcoliamo la media aritmetica, detta appunto
media campionaria, ed indicata con X.
La media campionaria gode di tre importanti proprietà:
(1) è non distorta;

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 61
(2) è efficiente;
(3) è consistente con la media della popolazione.
Vediamo che cosa significano le suddette tre proprietà:
(1) È non distorta.
Vuol dire che la media di tutte le possibili medie campionarie (calcolate
a partire da campioni della stessa ampiezza n) coincide con la media
dell’intera popolazione. Cioè se µ indica la media aritmetica di popolazione
della variabile aleatoria X, e se µ X è la media delle medie
campionarie calcolata su tutti i possibili campioni di ampiezza n, si ha
µ = µ X .
(2) È efficiente.
La media campionaria, quando la popolazione è normale, è più stabile
da campione a campione di quanto non siano le altre misure di
posizione (campionarie). Cioè in un campione di ampiezza n la media
campionaria sarà più vicina alla media della popolazione rispetto alle
altre misure di posizione, configurandosi come uno stimatore migliore
di µ rispetto a queste.
(3) È consistente.
All’aumentare dell’ampiezza del campione (cioè all’avvicinarsi di n ad
N) la distanza tra la media campionaria e la media calcolata sull’intera
popolazione si riduce.
Cerchiamo di illustrare per via empirica, cioè senza dimostrazione
ma con un esempio, la proprietà di non distorsione.
Supponiamo di avere una popolazione costituita da N = 4 individui.
Rileviamo per la variabile X i seguenti dati relativi ai quattro
individui, che chiameremo: A, B, C e D.
Individuo Valore di X
A 3
B 2
C 1
D 4
La media calcolata sull’intera popolazione è:
µ =
3 + 2 + 1 + 4
4
= 2.5

62
Lo scarto quadratico medio calcolato sull’intera popolazione è:
σ =
(3 − 2.5) 2 + (2 − 2.5) 2 + (1 − 2.5) 2 + (4 − 2.5) 2
4
= 1.12.
Se supponiamo ora di estrarre con reimmissione dalla popolazione un
campione di n = 2 individui otterremo N n = 4 2 = 16 campioni e, per
ciascuno di essi, calcoliamo la media campionaria. La tabella seguente
riassume i risultati ottenuti:
Tabella 9
Campione Risultati Media
A, A 3, 3 3
A, B 3, 2 2.5
A, C 3, 1 2
A, D 3, 4 3.5
B, A 2, 3 2.5
B, B 2, 2 2
B, C 2, 1 1.5
B, D 2, 4 3
C, A 1, 3 2
C, B 1, 2 1.5
C, C 1, 1 1
C, D 1, 4 2.5
D, A 4, 3 3.5
D, B 4, 2 3
D, C 4, 1 2.5
D, D 4, 4 4
Notiamo che la media delle medie campionarie coincide con la media
della popolazione. (Non c’è distorsione.) Nella tabella precedente si
osserva che le medie campionarie non sono tutte uguali, tuttavia hanno
fluttuazioni minori rispetto alla media delle fluttuazioni che presentano
i singoli individui. Questo perché i i valori estremi dei dati registrati
su ogni singolo individuo dell’intera popolazione contribuiscono a determinare
il valore della media con un coefficiente 1/N. Quando invece
si considera la distribuzione delle medie campionarie i valori estremi di
questa sono uguali ai valori estremi presentati dalla variabile aleatoria
sull’intera popolazione ma entrano nel computo della media con un
coefficiente di 1/N n . Pertanto, le medie campionarie saranno, in generale,
con valori meno dispersi rispetto a quelli che si trovano nell’intera
popolazione.

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 63
All’aumentare dell’ampiezza del campione, l’influenza del singolo
valore estremo sulla media campionaria si riduce ulteriormente, per
effetto del numero crescente di osservazioni che influiscono sulla media.
Quindi, se si indica con σ X lo scarto quadratico medio di tutte
le possibili medie campionarie (fissata l’ampiezza n del campione) si
ha σ X < σ (dove σ è lo scarto quadratico medio dei dati sull’intera
popolazione) e σ X diminuisce se si aumenta l’ampiezza n dei campioni.
La misura di variabilità σ X prende il nome di errore standard della
media.
In particolare si può dimostrare quanto segue: La media della distribuzione
campionaria delle medie, denotata con µ X , coincide con la
media µ calcolata sull’intera popolazione; cioè
µ = µ X ,
come già avevamo anticipato nelle pagine precedenti.
Se la popolazione è infinita, o se il campionamento è effettuato con
reimmissione, allora l’errore standard della media è legato allo scarto
σ, calcolato sull’intera popolazione, dalla relazione
σ X = σ √ n ,
dove n è l’ampiezza fissata dei campioni. Pertanto, al tendere di n ad
∞ si ha che σ X tende a zero. In particolare, se aumenta n diminuisce
σ X .
Se la grandezza della popolazione è finita e di N elementi, e se il
campionamento è senza reimmissione, la grandezza del campione, n, è
necessariamente n ≤ N e si ha
σ X = σ √ n
N − n
N − 1 .
Si osservi che al crescere di N σ X cresce e tende al valore σ
√ n , come
detto in precedenza.
Se la popolazione dalla quale il campione è estratto è distribuita
normalmente con media µ e scarto quadratico medio σ, allora la media
campionaria è distribuita normalmente con media µ e scarto quadratico
medio σ √ . n
Se la popolazione dalla quale il campione viene estratto non è distribuita
normalmente, quando l’ampiezza del campione è “sufficientemente
grande” la distribuzione della media campionaria può venire
approssimata dalla distribuzione normale con media µ (uguale a quella

64
fatta sull’intera popolazione) e scarto quadratico medio σ
√ n , dove σ è
lo scarto quadratico medio sull’intera popolazione ed n l’ampiezza del
campione.
L’affermazione fatta in quest’ultimo punto è nota come Teorema del
limite centrale. Ovviamente non è ben chiaro che cosa significhi “sufficientemente
grande” perchè non abbiamo enunciato il teorema nella
sua forma matematicamente corretta. Poiché ci mancano gli strumenti
matematici per provare quanto affermato, ci limitiamo qui ad una sua
giustificazione approssimativa.
Come regola generale molti sono concordi nell’affermare che quando
il campione è di almeno 30 osservazioni, la distribuzione della media
campionaria si può ritenere con buona approssimazione normale. In
questo caso, “sufficientemente grande” significa che n ≥ 30.
Nel caso che la distribuzione si avvicini un po’ alle caratteristiche
della distribuzione normale, se ad esempio è simmetrica, allora bastano
campioni di solo 15 osservazioni per avere una buona approssimazione
della distribuzione della media campionaria ad una distribuzione
normale.
Se la distribuzione dei dati sull’intera popolazione è “molto strana”,
cioè molto lontana da una distribuzione normale allora non bastano
campioni anche di 300 osservazioni per avere una distribuzione della
media campionaria che si avvicini ad una distribuzione normale.
Esercizi
Esercizio 6. In una azienda alimentare vengono riempite ogni
giorno migliaia di scatole di biscotti. Il macchinario che provvede a
riempire le scatole è predisposto in modo tale che la quantità di biscotti
in una scatola sia di 368 grammi. Dall’ esperienza passata ci si
accorge che la distribuzione dei pesi dei biscotti in ogni scatola segue
una distribuzione normale con media µ = 368 g e scarto σ = 15g.
Se estraiamo un campione di 25 scatole dalle migliaia di scatole
prodotte ogni giorno, qual è la probabilità che il campione di 25 scatole
abbia un peso medio dei biscotti inferiore a 365 g?
Soluzione. La media campionaria segue una distribuzione normale con
media µ = 368 g e scarto quadratico medio σ ¯ X = 15/ √ 25.

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 65
La variabile che stiamo considerando è la media campionaria ¯ X,
che dobbiamo standardizzare, cioè consideriamo:
Allora
Calcoliamo
Z = ¯ X − µ
σ ¯ X
P ( ¯ X < 365) = P (Z <
365 − 368
15
√ 25
= ¯ X − 368
√15 .
25
= −3
15
5
365 − 368
√15 ).
25
= −1.
Riprendendo la tavola che calcola le aree sottese dalla curva normale
standard, dobbiamo calcolare
P (z < −1) = 0.1587.
Quindi la probabilità che la media campionaria sia inferiore a 365 g. è
del 15 - 16 %.
Si osservi bene che questo non equivale a dire che la probabilità
che una singola scatola contenga meno di 365 g di biscotti è del 15 -
16 %, ma che è la media, su un campione di 25 scatole, che ha una
probabilità del 15 - 16 % di essere inferiore a 365 g. La probabilità
che una singola scatola contenga meno di 365 g di biscotti deve venire
calcolata utilizzando la distribuzione normale, con media µ = 368 g e
scarto quadratico medio σ = 15 g, cioè (X − 368)/15 e
P (X < 365) = P (Z < −3
) = P (Z < −0.20).
Consultando la tavola otteniamo P (X < 365) = 0.4207. Quindi questa
probabilità è molto più alta di quella trovata per la media su campioni
di 25 scatole. Questo succede perché le singole medie campionarie sono
meno disperse delle singole misurazioni su ogni individuo.
Vediamo come cambia l’errore standard della media se si passa da
un campione di 25 scatole ad un campione di 100 scatole. Se n = 100,
si ha
se n = 25 si ha
15
σ¯x = σ
√ 100 = 15
√ 100 = 15
10
σ¯x = σ
√ 25 = 15
5
= 3.
= 1.5,
Con un aumento dell’ampiezza campionaria si ha una minore variabilità
(dispersione) delle medie campionarie.
Ciò ci dice che, su un campione di 100 scatole, la probabilità che
il peso medio dei biscotti delle 100 scatole selezionate sia inferiore a

66
365 g è certamente minore della probabilità ottenuta considerando un
campione di 25 scatole. Infatti, se ripetiamo l’esercizio di prima su un
campione di 100 scatole, la media campionaria segue una distribuzione
normale con µ = 368 g e scarto σ¯x = 15/ √ 100 = 1.5 e troviamo
P ( ¯ X < 365) = P ( ¯ X − µ 365 − 368
< ) = P (Z <
1.5 1.5
−3
) = P (Z < −2) = 0.0228
1.5
cioè la probabilità che il peso medio dei biscotti di un campione di 100
scatole sia inferiore a 365 g è del 2 %.
Esercizio 7. Una popolazione consiste di 5 numeri: 2, 3, 6, 8, 11.
Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza 2 che si possono
estrarre dalla popolazione, con reimmissione.
Determinare:
(1) la media della popolazione;
(2) lo scarto quadratico medio della popolazione;
(3) la media della distribuzione campionaria delle medie;
(4) l’errore standard della media.
Soluzione.
(1). µ = (2 + 3 + 6 + 8 + 11)/5 = 6
(2). σ = ((2 − 6) 2 + (3 − 6) 2 + (6 − 6) 2 + (8 − 6) 2 + (11 − 6) 2 )/5 =
√ 10.8 = 3.29
(3). Ci sono 25 campioni di grandezza 2, che hanno le seguenti medie
campionarie:
2, 5 13 5 9 11 9 17 11 19 13 17 19
, 4, 5, , , 3, , , 7, 4, , 6, 7, , 5, , 7, 8, , , 7, , , 11.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Si ottiene µ ¯ X = (somma di tutte le medie)/25 = 150/25 = 6 ed è
proprio µ.
(4). σ ¯ X = σ/ √ 2 = 3.29/ √ 2. Si può anche calcolare σ ¯ X direttamente e
verificare che risulta 2.32.
Esercizio 8. Un test attitudinale è costruito in modo tale che i
punteggi del test diano media µ = 90 e scarto σ = 20.
Gli studenti di una scuola sono assegnati casualmente a varie classi
di uno stesso corso. In una di queste classi, composta da 100 studenti,
il punteggio medio del test risulta 86.
Se l’assegnazione degli studenti è casuale, qual è la probabilità di
ottenere nel test una media ≤ 86?
Soluzione. Assegnare casualmente i 100 studenti alla classe vuol dire
scegliere un campione di ampiezza 100. È un campione sufficientemente
ampio, quindi la distribuzione della media campionaria dei voti

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 67
riportati è normale, con media µ = 90 e σ = 20/ √ 100 = 20/10 = 2.
Quindi
P ( ¯ X < 86) = P ( ¯ X − 90
2
cioè, posto Z = ( ¯ X − 90)/2, si ha
< 86 − 90
)
2
P (Z < −4
) = P (Z < −2) = 0.0228 = 2%.
2
È un dato molto basso, può venire il dubbio che l’assegnazione non sia
stata casuale.
Abbiamo già detto che la media campionaria è uno stimatore non
distorto delle media vera µ, calcolata sull’intera popolazione. Cioè:
la media di tutte le medie campionarie ottenute su tutti i possibili
campioni di ampiezza n coincide con µ.
Analogamente si può dimostrare che anche la varianza campionaria
S 2 =
n
i=1
(xi − ¯ X)
n − 1 ,
ottenuta per un campione di ampiezza n dividendo per n − 1, è uno
stimatore non distorto della varianza vera σ 2 : cioè la media di tutte le
varianze campionarie relative a campioni di uguale ampiezza n è σ 2 .
Ovviamente, il valore della media campionaria varierà da campione
a campione, perchè dipende dagli elementi che vengono selezionati; per
ottenere µ bisognerebbe valutare la media di tutte le medie campionarie.
Nella pratica non si fa così, ma si seleziona un solo campione e si
cerca di stimare µ a partire da questo.
Per questo motivo si introduce il concetto di stimatore intervallo,
che viene determinato tenendo conto della distribuzione della media
campionaria. Ritorniamo un attimo indietro. Se conosciamo µ e σ,
nel caso in cui X abbia distribuzione normale, sappiamo che anche la
media campionaria ¯ X segue una distribuzione normale con media µ e
scarto σ/ √ n, dove n è l’ampiezza del campione.
Dunque, utilizzando la curva normale di media µ e scarto σ/ √ n
possiamo determinare, fissato t ∈ R, la probabilità che un campione di
n individui, selezionati con reimmissione sull’intera popolazione, abbia
media campionaria compresa nell’intervallo [µ − tσ/ √ n, µ + tσ/ √ n].
Tale probabilità equivale all’area indicata nella figura seguente nella
quale abbiamo tracciato la distribuzione gaussiana di media µ e scarto
quadratico medio σ/ √ n.

68
µ − tσ/ √ n µ µ + tσ/ √ n
Figura 34. Probabilità che un campione di n individui,
selezionati con reimmissione sull’intera popolazione,
abbia media campionaria compresa nell’intervallo
[µ − tσ/ √ n, µ + tσ/ √ n]. Nell’ipotesi di distribuzione
gaussiana.
Cioè possiamo scrivere che:
P (µ − t σ √ n < ¯ X < µ + t σ √ n )
è l’area sottesa dalla Gaussiana di media µ e scarto σ/ √ n tra µ−tσ/ √ n
e µ + tσ/ √ n. Osserviamo che questa equivale a :
P (−t < ¯ X − µ
σ
√ n
< t)
che è l’area sottesa dalla curva normale standard (media 0 e scarto 1)
tra -t e t. Inoltre
µ − t σ √ n < ¯ X < µ + t σ √ n
equivale a
Perciò
¯X − t σ √ n < µ < ¯ X + t σ √ n .
P ( ¯ X − t σ √ n < µ < ¯ X + t σ √ n ) = P (−t < Z < t)
dove Z è una variabile standardizzata, ovvero segue la distribuzione
normale standard di media 0 e scarto 1.
Quindi se di una popolazione conosciamo lo scarto σ, ma non conosciamo
la media µ, per stimare µ, o meglio per stimare un intervallo in
cui cade µ, possiamo valutare la media ¯ X su un campione di ampiezza
n e dire che, con probabilità uguale a P (−t < Z < t), la media µ cade
nell’intervallo [ ¯ X − tσ/ √ n, ¯ X + tσ/ √ n]. Il numero t viene determinato

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 69
in base al valore che si vuole avere per P (−t < Z < t). In tal senso si
dà la definizione di livello di confidenza:
Definizione 15.1. Sia X una variabile aleatoria ed [x1, x2] un intervallo
di valori di X. Si dice che X ha in [x1, x2] un livello di confidenza
del (1 − α)% se tale è l’area sottesa dalla curva di distribuzione
di X al di sopra di [x1, x2].
−t
(1 − α)%dell’area totale
Figura 35. Livello di confidenza di (1 − α)% in [−t, t]
della curva normale standard.
Pertanto, se vogliamo stimare µ con un livello di confidenza del
(1 − α)% (cioè con probabilità (1 − α)%), dobbiamo determinare t in
modo che l’area sottesa dalla normale standard tra -t e t sia pari a 1−α,
vedi Figura 35, (quindi ciascuna delle due code a destra e a sinistra
come illustrato dalla Figura 36 della pagina seguente.).
avrà area α
2
α/2 α/2
−t t
Figura 36
t

70
Chiariamo bene questi concetti con un esempio.
Riprendiamo l’esempio della produzione delle scatole di biscotti.
Supponiamo di sapere che la distribuzione dei pesi dei biscotti in ogni
scatola segue una normale con media µ, che non conosciamo, e scarto
σ = 15 g. Preleviamo un campione di 25 scatole e vogliamo stimare,
con un livello di confidenza del 95 %, la media vera µ. Sia 362.3 g la
media dei pesi dei biscotti delle 25 scatole selezionate. Determiniamo,
allora, il valore t tale che l’area della normale standard tra −t e t sia
0.95, vediFigura 38 qui sotto.
0.025
0.95
−t 0 t
Figura 37
0.025
Cioè l’area tra ] − ∞, t[ è di 0.975. Dalla tavola otteniamo: t =
1.96. Quindi con un livello di confidenza (cioè con una probabilità) del
95 %, la media vera µ è compresa tra :
362.3 − 1.96 15
√ ≤ µ ≤ 362.3 + 1.96
25 15
√
25
cioè 356.42 ≤ µ ≤ 368.18. In realtà dall’esercizio precedente sappiamo
che µ = 368g e quindi effettivamente cade nell’intervallo selezionato.
Selezioniamo ora un altro campione di 25 scatole e supponiamo che
su tale campione la media sia ¯ X = 362.12g. Quindi, con un livello di
confidenza del 95%, la media µ è compresa tra:
362.12 − 1.96 15
√ ≤ µ ≤ 362.12 + 1.96
25 15
√
25
cioè 356.24 ≤ µ ≤ 368.00. Di nuovo nell’intervallo considerato cade µ,
che sappiamo essere 368 g.
Supponiamo infine di aver selezionato un campione di 25 scatole e
di avere una media campionaria di 360 g. Con un livello di confidenza
del 95 %, la media µ è compresa tra:
354.12 ≤ µ ≤ 365.88.

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 71
In questo caso non abbiamo una informazione corretta, perchè sappiamo
che in realtà µ cade fuori da questo intervallo.
Questo ci fa capire bene il significato della frase con un livello di
confidenza del 95 %. Cioè un livello di confidenza del 95 % è interpretato
in questo modo: se si considerano tutti i possibili campioni di
ampiezza n e per ciascuno si calcolano la media campionaria e l’intervallo
centrato su questa, il 95 % degli intervalli così ottenuti contiene la
media della popolazione e solo il 5 % di essi non la comprende. Ovvero,
quando selezioniamo un campione e calcoliamo ¯ X, abbiamo una confidenza
(cioè una fiducia) del 95 % di aver selezionato un campione a cui
corrisponde un intervallo comprendente la media µ della popolazione.
L’ultimo esempio dà un intervallo che fa parte di quel 5 % di intervalli
che non comprendono la media della popolazione.
Esercizio 9. Una azienda produce fogli di carta per computer. I
fogli di carta dovrebbero avere lunghezza media pari a 33 cm e scarto
quadratico medio 0.06 cm. A intervalli di tempo regolari, vengono
estratti dei campioni di fogli per stabilire se la lunghezza media è
33 cm oppure se è accaduto qualcosa nel processo produttivo che ha
modificato la lunghezza dei fogli.
Supponiamo che si estragga un campione di 100 fogli e che la lunghezza
media sia pari a 32.994 cm. Calcolare un intervallo di confidenza
di livello 95 % per la media della lunghezza dei fogli della popolazione.
Soluzione. Un livello di confidenza del 95 % corrisponde a t = 1.96,
come già visto in precedenza. Quindi l’intervallo di confidenza risulta
essere:
[32.994 − 1.96 0.06
√ , 32.994 + 1.96
100 0.06
√ ] = [32.98224, 33.00576].
100
Poichè la lunghezza che si vuole tenere è 33, il risultato indica che il
processo di produzione funziona in maniera corretta.
È ovvio che se varia il livello di confidenza richiesto, varia anche
l’intervallo.
Ad esempio, nell’esercizio precedente se vogliamo calcolare l’intervallo
di confidenza di livello 99 %, allora dobbiamo determinare t in
modo che sia 0.99 l’area sottesa dalla normale standard tra -t e t.
Quindi si deve trovare t in modo tale che:
P (Z < t) = 0.995
(vedi Figura 38.) Dalla tavola si ricava t = 2.58.
Si ottiene perciò l’intervallo di confidenza:
[32.994 − 2.58 0.06
√ 100 , 32.994 + 2.58 0.06
√ 100 ] = [32.97852, 33.00948].

72
0.005
0.99
−t 0 t
Figura 38
0.005
Come si può operare quando si ha una popolazione in cui, non solo la
media µ, ma anche lo scarto σ non è noto?
Il primo ad affrontare il problema di stimare la media di una popolazione
normale, quando σ non è noto, fu William S. Gosset, noto
anche con lo pseudonimo Student. Student utilizza una famiglia di
funzioni, note come funzioni di distribuzione di Student, al posto della
normale standard.
Si ha una funzione di distribuzione di Student per ogni fissato numero
naturale m, ma di fatto si utilizzano solo le prime 30 perché, per
m > 30, tali funzioni di distribuzione possono essere ricondotte ad una
normale.
In apparenza le funzioni di distribuzione di Student hanno una forma
a campana molto simile alla curva normale standard. Tuttavia,
l’area sottesa dalla distribuzione di Student sulle code è maggiore di
quella che caratterizza la distribuzione normale e, viceversa, l’area sottesa
dalla distribuzione di Student su intervalli centrali è minore rispetto
a quella corrispondente alla normale standard. Quando m > 30 le
due funzioni sono sostanzialmente identiche. Il parametro m si chiama
il grado di libertà della funzione di Student. Se si vuole stimare la
media di una popolazione, calcolando la media campionaria e lo scarto
quadratico medio su un campione di n individui, si deve utilizzare la
funzione di Student a n-1 gradi di libertà. Precisamente, se si vuole
stimare con un livello di confidenza del (1−α)% l’intervallo in cui cade
la media µ della popolazione, si utilizza la funzione di Student a n − 1
gradi di libertà e si trova un valore reale t tale che l’area sottesa dalla
distribuzione di Student tra −t e t sia (1 − α)% dell’area totale (che è
1).

15. INTRODUZIONE ALL’INFERENZA STATISTICA 73
α/2
(1 − α)
−t 0 t
α/2
Figura 39. Distribuzione di Student a n − 1 gradi di
libertà fn−1(x) = Cn−1(1 + x2
n−1 )−1
Individuato t, con un livello di confidenza del (1 − α)%, la media µ
si trova nell’intervallo [ ¯ X − t s
√ n , ¯ X + t s
√ n ], dove ¯ X è la media calcolata
sul campione di ampiezza n e s è lo scarto quadratico medio calcolato
sul campione di ampiezza n, cioè:
s =
n
i=1 ( ¯ X − xi) 2
.
n − 1
Per trovare t, come nel caso della distribuzione normale si utilizza una
tabella apposita, riportata all’inizio della pagina seguente.
La tabella si legge in questo modo:
la prima colonna indica i gradi di libertà, la prima riga fornisce i
valori α relativi al livello di confidenza (1 − α)%.
Quindi con la tabella, fissato α e fissata l’ampiezza n del campione,
che corrisponde ad n−1 gradi di libertà, si trova t. Nell’ultima riga, per
m = +∞, si leggono i classici valori relativi alla distribuzione normale
standard.
Esercizio 10. Su una data popolazione si studia una variabile aleatoria
X con distribuzione normale. Estratto un campione di ampiezza
10 si vuole stimare µ con un livello di confidenza del 99 %. Raccolti
i dati sul campione, si ottiene una media campionaria ¯ X = −0.275 e
uno scarto quadratico medio
s =
n
i=1 ( ¯ X − xi) 2
n − 1
= 1.093.
Per stimare µ si usa la funzione di Student a 9 gradi di libertà e in
corrispondenza ad α = 0.01, si trova t = 3.250.

74
Tabella 10. Valori di t per la distribuzione di Student,
in funzione dei gradi di libertà e del valore di α.
α
n-1 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001
1 3.078 6.314 12.71 63.66 636.6
2 1.886 2.920 4.303 9.925 31.60
3 1.638 2.353 3.183 5.841 12.92
4 1.533 2.132 2.776 4.604 8.610
5 1.476 2.015 2.571 4.032 6.869
6 1.440 1.943 2.447 3.707 5.959
7 1.415 1.895 2.365 3.499 5.408
8 1.397 1.860 2.306 3.355 5.041
9 1.383 1.833 2.262 3.250 4.781
10 1.372 1.812 2.228 3.169 4.587
15 1.341 1.753 2.131 2.947 4.073
20 1.325 1.725 2.086 2.845 3.850
25 1.316 1.708 2.060 2.787 3.725
30 1.310 1.697 2.042 2.750 3.646
35 1.306 1.690 2.030 2.724 3.591
40 1.303 1.684 2.021 2.704 3.551
45 1.301 1.679 2.014 2.690 3.520
50 1.299 1.676 2.009 2.678 3.496
60 1.296 1.671 2.000 2.660 3.460
80 1.292 1.664 1.990 2.639 3.416
120 1.289 1.658 1.980 2.617 3.373
240 1.285 1.651 1.970 2.596 3.332
+∞ 1.282 1.645 1.960 2.576 3.291
Quindi con un livello di fiducia del 99 %, si ha:
µ ∈ [ ¯ X−t s
√ ,
n ¯ X+t s
√ ] = [−0.275−
n (3.25)(1.093)
√ , −0.275+
10
(3.25)(1.093)
√ ],
10
ovvero µ ∈ [−1.398, 0.848].
Esercizio 11. L’assistenza ai clienti di una società del gas intende
stimare la durata media del tempo che intercorre tra la ricezione di una
richiesta di allacciamento e l’effettivo allacciamento. Viene estratto un
campione di 16 case, per cui si ottengono i seguenti risultati in numero
di giorni d’attesa:
114 78 96 137 78 103 117 126 86 99 114 72 104 73 86 90.

16. LA CORRELAZIONE 75
Calcolare un intervallo di confidenza di livello 95 % per stimare la media
del tempo di attesa dello scorso anno.
Quale ipotesi si deve fare sulla distribuzione della popolazione? La
società ha pubblicizzato che il tempo di attesa è di 90 giorni. I risultati
ottenuti sono coerenti con questa informazione?
Soluzione. Prima di tutto si deve fare una ipotesi di normalità sulla
distribuzione dei dati e poi si può utilizzare la distribuzione di Student
a 15 gradi di libertà (poichè i dati sono 16) per stimare µ.
Dai dati ottiene ¯ X = 98.31 e s = 19.48. Il valore di t che si ottiene
in corrispondenza di α = 0.05 e per 15 gradi di libertà è t = 2.13,
quindi µ ∈ [¯x − t s
√ n , ¯x + t s
√ n ], ovvero µ ∈ [87.93, 108.68]. Il valore µ
= 90 cade in questo intervallo. Quanto pubblicizzato dalla società è
coerente.
16. La correlazione
I metodi discussi finora sono adatti per lo studio di una variabile
alla volta. Per analizzare le relazioni che intercorrono tra due variabili
servono invece altri strumenti.
Sir Francis Galton (1822, 1911) ottenne considerevoli risultati in
questo campo studiando fino a che punto ogni figlio somigli al proprio
padre.
Karl Pearson, un allievo di Galton, raccolse le altezza di 1078 padri
e le altezze dei loro figli in età matura. Riportando su di un grafico
cartesiano i 1078 dati raccolti si ottengono 1078 coppie: (xi, yi), dove
xi indica l’altezza del padre ed yi indica l’altezza del relativo figlio. Si
ottiene così il così detto diagramma di dispersione un esempio del quale
viene riportato nella figura seguente:
Il diagramma sopra si presenta come una nuvola di punti allungata
secondo una retta inclinata positivamente: al crescere delle ascisse si
osserva la tendenza a crescere delle ordinate corrispondenti. In linguaggio
statistico diciamo che c’è una associazione positiva tra l’altezza dei
padri e l’altezza dei figli. Cioè tanto più alto è il padre, tanto più alto
è il figlio. Esprimendolo in linguaggio non statistico tale padre, tale
figlio.
Osserviamo più da vicino il grafico precedente. Sul grafico è stata
sovrapposta la retta, rappresentata a trattini, di equazione y = x.
Questa retta passa per tutti i punti che rappresentano coppie padrefiglio
con la medesima altezza. Se l’altezza del figlio è maggiore di
quella del padre, il punto che rappresenta la coppia si troverà al di
sopra della retta, se l’altezza del figlio è inferiore a quella del padre, il

76
150 170 190
160 170 180 190
Figura 40. Diagramma di dispersione e relativa retta
di regressione illustrante il legame fra l’altezza dei figli e
l’altezza del padre.
punto si troverà al di sotto. Il punto poi si troverà tanto più vicino alla
retta quanto minore risulterà la differenza delle due altezze.
Pur conoscendo l’altezza del padre, quella del figlio presenta una
certa variabilità. Se ci poniamo la domanda se conosciamo l’altezza
del padre possiamo indovinare che altezza avrà il figlio? Ci rendiamo
conto che qualsiasi risposta è soggetta ad errore.
Quando esiste una forte associazione tra le variabili, il
fatto di conoscere una di esse ci fornisce un aiuto per
predire il valore corrispondente dell’altra. Se l’associazione
tra le due variabili è debole, le informazioni
su una variabile poco aiutano a predire l’altra.
Nell’esempio appena citato, abbiamo l’altezza del padre come variabile
indipendente e quella del figlio come variabile dipendente. Ciò
perché vogliamo spiegare l’altezza del figlio in relazione all’altezza del
padre. Nulla però ci vieta di scegliere l’altezza del figlio come variabile
indipendente e quella del padre come variabile dipendente.
17. Il coefficiente di correlazione lineare
Supponiamo di voler analizzare la relazione fra due variabili e di avere
disegnato il relativo diagramma di dispersione. Supponiamo che tale
diagramma sia una nuvola di punti approssimativamente della forma
di un ellisse.

0 100 200
17. IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE 77
50 100 150
Figura 41. Diagramma di dispersione di due grandezze
con una correlazione lineare positiva.
Come possiamo sintetizzare numericamente questa situazione? Il
primo passo è quello di individuare il punto delle medie, ovvero il punto
di coordinate (x, y), dove x è la media della variabile aleatoria X che
abbiamo messo sulle ascisse (la variabile indipendente, l’altezza dei
padri), e y è la media della variabile aleatoria Y (la variabile aleatoria
che abbiamo posto sulle ordinate, le altezze dei figli). Il secondo passo
è quello di individuare la dispersione della nuvola dei punti nelle due
direzioni (ascisse ed ordinate), cioè calcolare lo scarto quadratico medio
σX (o deviazione standard) dei dati raccolti per la variabile aleatoria
X e calcolare lo scarto quadratico medio σY dei dati raccolti per la
variabile aleatoria Y . La maggior parte dei punti, per esempio, distano
dal punto delle medie, in orizzontale per meno di 2 volte σX, ed in
verticale per meno di 2 volte σY .
I valori x, y, σX e σY ci informano sul centro e sulla dispersione, in
senso verticale ed orizzontale, della nuvola di punti. Non ci dicono nulla
sull’intensità dell’associazione fra le due variabili, a questo proposito
si confrontino le due nuvole di punti delle figure seguenti che hanno lo
stesso centro e la stessa dispersione sia orizzontale che verticale; è però
chiaro che nella prima figura l’associazione fra le variabili è più forte di
quanto non sia quella illustrata nella seconda figura.
Per misurare l’intensità dell’associazione lineare è necessaria una
misura di sintesi ulteriore, il così detto coefficiente di correlazione (lineare),
abitualmente indicato con r (o con ρ). Prima di definire il
coefficiente di correlazione lineare mostriamo ancora alcuni diagrammi
di dispersione. Consideriamo i quattro diagrammi di dispersione delle
Figura 45 e Figura 46, ciascuno con 50 punti; in ogni diagramma
le due variabili hanno la stessa media x = y = 3 e la stessa deviazione
standard σx = σy = 1. Il coefficiente di correlazione invece è diverso

78
¯y + 2σY
¯y
¯y − 2σY
Y
¯x − 2σX ¯x ¯x − 2σX
Figura 42. Gli elementi principali di un grafico di dispersione.
50 150
50 100 150
Figura 43. Diagramma di dispersione di due variabili
aleatorie con una forte correlazione lineare positiva.
poiché diverso è il grado di associazione fra le due variabili.
Il primo grafico ha r = 0, la nuvola di punti non ha alcuna forma
definita e, all’aumentare di X, Y non mostra nessuna tendenza ad
aumentare o a diminuire. Il secondo ha r = 0.4 e comincia ad evidenziarsi
l’addensamento attorno ad una retta, tendenza che sarà sempre
più marcata all’avvicinarsi di r ad 1, come evidenziano i due grafici
successivi ottenuti rispettivamente per r = 0.8 ed r = 0.95.
X

0 2 4 6
0 2 4 6
−50 100 250
17. IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE 79
50 100 150
Figura 44. Diagramma di dispersione di due variabili
aleatorie con una debole correlazione lineare positiva.
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6
0 1 2 3 4 5 6
Figura 45. Due grafici di dispersione con coefficienti di
correlazione lineare di 0 e 0.4.
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6
0 1 2 3 4 5 6
Figura 46. Due grafici di dispersione con coefficienti di
correlazione lineare di 0.8 e 0.95.
Un coefficiente r pari ad 1 individua una relazione ideale (che in
pratica non si verifica) chiamata di perfetta correlazione in cui tutti i
punti giacciono sulla stessa retta, individuando una perfetta relazione

0 2 4 6
80
lineare tra le variabili.
Alcuni studi hanno mostrato che il coefficiente di correlazione tra le
altezze dei gemelli monovulari è circa pari a 0.95; quindi il diagramma
di dispersione di questi dati appare come l’ultimo diagramma della
figura sopra. I punti sono molto vicini alla retta y = x perché le altezze
dei gemelli tendono ad essere le stesse. Però è chiaro che due gemelli
non avranno esattamente la medesima altezza. I punti che individuano
la coppia delle due altezze si disperdono leggermente attorno alla retta
di equazione y = x.
Come altro esempio consideriamo il confronto fra il coefficiente di
correlazione che si aveva, nel 1993 negli Stati Uniti, fra il reddito e gli
anni di istruzione, per le due classi di età da 18 a 24 anni, r = 0.15,
e fra 55 e 64 anni, r = 0.45. Osserviamo che l’associazione è più forte
per i soggetti più anziani anche se rimane sempre debole.
Nei due grafici di Figura 47 della pagina seguente, illustriamo i
casi di due coefficienti di correlazione negativi, r = −0.5 ed r = −0.95.
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6
0 1 2 3 4 5 6
Figura 47. Due grafici di dispersione con coefficienti di
correlazione lineare di -0.5 e -0.95.
Un coefficiente di correlazione negativo indica una associazione lineare
negativa, cioè l’ellisse ha una inclinazione negativa ed i punti
tendono ad addensarsi lungo una retta con pendenza negativa.
Un coefficiente r = −1 indica che tutti i punti giacciono esattamente
(cosa impossibile in pratica) su di una retta con inclinazione negativa.
Anche se non abbiamo ancora dato un metodo di calcolo per il
coefficiente di correlazione, però siamo in grado di dare la seguente
indicazione:
Il coefficiente di correlazione si trova sempre nell’intervallo [−1, 1].
Un valore positivo di r indica che la nuvola dei punti si addensa attorno
ad una retta con pendenza positiva (al crescere di una delle due variabili
si riscontra una tendenza a crescere dell’altra). Un valore negativo

18. LA RETTA DELLE SD 81
di r, al contrario, indica l’addensamento attorno ad una retta con pendenza
negativa (al crescere di una delle due variabili, l’altra tenderà a
decrescere).
Prima di vedere come si calcola il coefficiente di correlazione parliamo
della retta SD, cioè della retta delle deviazioni standard (SD sono
le iniziali dell’inglese standard deviation).
18. La retta delle SD
Si definisce retta delle SD la retta che passa per il punto delle medie
(x, y) e che contiene tutti i punti la cui ascissa e la cui ordinata distano
dalla rispettiva media per uno stesso multiplo della corrispondente deviazione
standard. Cioè a seconda che ci sia una correlazione positiva
o negativa tra X ed Y , la retta delle SD contiene i seguenti punti:
(x, y), (x + σX, y + σY ), (x + 2σX, y + 2σY ), . . .
nel caso di una correlazione positiva,
(x, y), (x + σX, y − σY ), (x + 2σX, y − 2σY ), . . .
nel caso di una correlazione negativa.
y + σY
y
x x + σX
y
y − σY
x x + σX
Figura 48. Le rette delle deviazioni standard per coppie
di variabili aleatorie a correlazione lineare positiva, a
sinistra, e negativa, a destra.
Nel primo dei grafici di Figura 48 abbiamo tracciato la retta delle
SD nel caso di correlazione positiva, nel secondo abbiamo tracciato la
retta nel caso di correlazione negativa.
L’equazione della retta delle SD con correlazione positiva, 0 < r ≤
1, è:
y − y
y + σY − y =
x − x
x + σX − x
⇒ y − y
σY
= x − x
σX
y = σY
(x − x) + y ⇒ y = σY
x + y − σY
x .
σX
σX
⇒
σX

82
L’equazione della retta delle SD con correlazione negativa, −1 ≤ r < 0,
è:
y − y
y + σY − y =
x − x y − y x − x
⇒ = − ⇒
x − σX − x σY σX
y = − σY
(x − x) + y ⇒ y = − σY
x + y + σY
x .
σX
Il caso che abbiamo escluso, r = 0 non si verifica praticamente mai,
questo potrebbe soltanto accadere se σX = 0 oppure se σY = 0, ma in
questo caso non si definisce il coefficiente di correlazione.
Esercizio 12. Uno studio relativo agli studenti maschi di un college
rileva che la loro altezza media è pari a 175 cm con una deviazione
standard di 7.5 cm. Il peso medio è invece pari a 63.5 kg con una deviazione
standard di 9 kg. Infine il coefficiente di correlazione fra peso
ed altezza è pari a 0.6. Quanto deve pesare uno studente alto 182.5 cm
per trovarsi sulla retta delle SD?
Soluzione. Indichiamo con X la variabile aleatoria altezza, con Y la
variabile aleatoria peso e poniamo: x = 175 cm, y = 63.5 kg, σX = 7.5
cm, σY = 9 kg ed r = 0.6. Essendo r = 0.6 > 0, l’equazione della retta
delle SD risulta
y = σY
x + y − σY
x ,
si ha perciò
σX
σX
σX
y = 9 9
x − 175 + 63.5 = 1.2x − 146.5.
7.5 7.5
Pertanto lo studente alto 182.5 cm, per trovarsi sulla retta delle SD
deve pesare:
y = 1.2 · 182.5 − 146.5 = 72.5 kg.
Esercizio 13. Usando lo stesso contesto dell’esercizio precedente,
dite quale di questi studenti si trova sulla retta delle SD:
(1) altezza 190 cm, peso 81.5 kg;
(2) altezza 167.5 cm, peso 59 kg;
(3) altezza 167.5 cm, peso 54.5 kg;
Soluzione. Gli studenti (1) e (3) sono sulla retta delle SD.
σX
19. Calcolo del coefficiente di correlazione
Siano x1, x2, . . . , xn i dati raccolti per la variabile aleatoria X
e siano y1, y2, . . . , yn i dati raccolti per la variabile aleatoria Y . Si

19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 83
definisce coefficiente di correlazione il numero
r =
n xi−x yi−y
i=1 · σX σY
n
Da questa espressione si ha:
r = 1
n xiyi − xiy − xyi + x y
n
σXσY
i=1
= 1
n
n
n
n
n
xiyi xiy xyi
− − +
σXσY σXσY σXσY
i=1
i=1
i=1
i=1
= 1
σXσY
n
n
n
xiyi xi yi nx y
− y − x +
n n n n
Se poniamo
si ottiene
= 1
σXσY
= 1
σXσY
i=1
n
i=1
n
i=1
xiyi
n
i=1
i=1
− x y − x y + x y
xiyi
n − x y .
Cov(X, Y ) =
r =
n
i=1
xiyi
n
Cov(X, Y )
σXσY
− x y,
x y
σXσY
La quantità Cov(X, Y ) viene detta la covarianza tra X ed Y .
Alcune osservazioni sul coefficiente di correlazione:
Il coefficiente di correlazione è:
(1) un numero e quindi non ha unità di misura;
(2) non cambia se si cambia l’ordine delle variabili;
(3) non cambia se si aggiunge lo stesso numero a tutti i valori di
una variabile;
(4) non cambia se si moltiplicano tutti i valori di una variabile per
lo stesso numero positivo.
Infatti:
(1). r è privo di unità di misura in quanto è ottenuto da una frazione
che presenta grandezze con le stesse unità di misura sia al numeratore
che al denominatore.
(2). La condizione è una banale conseguenza della proprietà commutativa
del prodotto.
.

84
(3). Se aggiungiamo lo stesso valore, t, a tutti i valori di una delle due
variabili aleatorie, ad esempio la X, ed indichiamo con Z la variabile
aleatoria così ottenuta, il valore medio di Z, che indicheremo con z è
dato da
n
n
n
z = 1
n
i=1
(xi + t) = 1
n
i=1
xi + 1
n
i=1
mentre la sua deviazione standard, σZ sarà data da
σZ = 1
n
(zi − z)
n
i=1
2
= 1
n
(xi + t − x − t)
n
i=1
2
= 1
n
(xi − x)
n
2 = σX.
i=1
t = x + t
Il coefficiente di correlazione fra Z ed Y è quindi dato da
r ′ = 1
σZσY
1
n
= 1 1
σXσY n
= 1 1
σXσY n
= 1 1
σXσY n
= 1 1
σXσY n
n
ziyi − z y
i=1
n
(xi + t)yi − (x + t)y
i=1
n
xiyi + t 1
n
yi − x y − ty
n
i=1
n
xiyi + ty − x y − ty
i=1
i=1
n
xiyi − x y = r
i=1
(4). Supponiamo di moltiplicare una variabile aleatoria, ad esempio X,
per t > 0, ed indichiamo la nuova variabile aleatoria con Z = tX. Il
valore medio di Z sarà:
z = 1
n
zi =
n
1
n
txi =
n
t
n
xi = tx.
n
i=1
i=1
i=1

19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 85
La deviazione standard di Z sarà
σZ = 1
n
(zi − z)
n
i=1
2
= 1
n
(txi − tx)
n
i=1
2
= t2 n
(xi − x)
n
i=1
2
= t
1
n
(xi − x)
n
2 = tσX.
Pertanto il coefficiente di correlazione fra Z ed Y risulterà
r ′ = 1
n 1
ziyi − z y
σZσY n
i=1
=
1
n 1
txiyi − tx y
tσXσY n
i=1
=
1
n t
xiyi − tx y
tσXσY n
i=1
t
n 1
=
xiyi − x y
tσXσY n
= r.
i=1
i=1
Esercizio 14. Calcolare il coefficiente di correlazione per l’insieme
di dati riportati in Tabella 11.
Tabella 11
n X Y
1 1 5
2 3 9
3 4 7
4 5 1
5 7 13
Soluzione. Abbiamo X = 4, σX = 2, Y = 7 e σY = 4. Riportiamo
nella seguente tabella i valori di xi, yi, (xi − X)/σX, (yi − Y )/σY ed il
prodotto (xi − X)(yi − Y )/(σXσY ).

86
Tabella 12
n X Y (xi − X)/σX (yi − Y )/σY (xi − X)(yi − Y )/(σXσY )
1 1 5 -1.5 -0.5 0.75
2 3 9 -0.5 0.5 -0.25
3 4 7 0 0 0
4 5 1 0.5 -1.5 -0.75
5 7 13 1.5 1.5 2.25
Si ha
0.75 − 0.25 + 0 − 0.75 + 2.25
r = = 0.40.
5
In Figura 49, disegnamo il diagramma di dispersione e in corrispondenza
ad ogni punto mettiamo il valore di (xi − X)(yi − Y )/(σXσY ).
0.75
-0.25
( ¯ X, ¯ Y )
0
Figura 49
-0.75
2.25
In Figura 50, tracciamo le due rette che passano per ( ¯ X, ¯ Y ) parallele
agli assi dividiamo il grafico in 4 parti. Osserviamo che se
(xi − X)(yi − Y )/(σXσY ) è positivo allora il punto (xi, yi) si trova nel
quadrante I oppure III, se è negativo il punto si trova nel quadrante II
oppure IV.
Ciò ci aiuta a capire perché il coefficiente di correlazione misura l’associazione
tra due variabili. Ricordiamo che r è la media dei prodotti
(xi − X)(yi − Y )/(σXσY ), cioè
r = 1
n
n (xi − X)(yi − Y )
,
i=1
σXσY
quindi se tra i valori (xi − X)(yi − Y )/(σXσY ) predominano i valori
positivi r sarà positivo, se predominano i valori negativi r sarà negativo
come è chiaramente illustrato dai due grafici della Figura 51.

¯Y
19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 87
r > 0
¯X
II
( ¯ X, ¯ Y )
III IV
I
Figura 50
¯Y
Figura 51
r < 0
Esercizio 15. Si considerino i due diagrammi di dispersione illustrati
nei due grafici di Figura 52:
Determinare per entrambi il coefficiente di dispersione.
Soluzione. In entrambi i casi il coefficiente di dispersione è r = 0.
Abbiamo visto in precedenza che due diagrammi di dispersione possono
avere lo stesso punto delle medie ( ¯ X, ¯ Y ) e stessa deviazione standard
σX = σY , pur avendo coefficienti di correlazione diversi come
viene bene esemplificato dai due diagrammi della Figura 53
A volte si può presentare la situazione di due diagrammi di dispersione
con lo stesso coefficiente di correlazione, lo stesso punto delle
medie ( ¯ X, ¯ Y ) ma deviazioni standard molto diverse da un diagramma
¯X

Y
88
¯Y
−5 5 10
¯X
Figura 52. Due grafici di dispersione che hanno entrambi
correlazione lineare r = 0. Il secondo ha però
una correlazione lineare, con r = −1, fra i quadrati delle
due variabili aleatorie.
0 2 4 6 8 10
X
Y
−2 2 6
¯Y
−2 0 2 4 6 8
Figura 53. Due diagrammi di dispersione di due variabili
aleatorie che abbiano il medesimo punto delle
medie, le stesse deviazioni standard ma coefficienti di
correlazione lineare rispettivamente di 0.5 e 0.95.
all’altro. Un esempio di questo è nei due grafici seguenti:
La linea tratteggiata rappresenta la retta delle SD. Nel primo dei
due grafici, i dati appaiono più concentrati intorno alla retta delle SD
perché σX e σY sono più bassi se raffrontati a quelli del secondo grafico.
Vediamo come si possa stimare dal grafico di dispersione il valore
del coeffciente di correlazione r. Nel calcolo di r entrano pesantemente
in gioco i valori di σX e σY . Infatti si ha:
r =
1
(n − 1)
n xi − ¯ X yi − ¯ Y
.
i=1
Quindi, a parità di r, più “alto” è σX (risp. σY ) e più “alte” debbono
essere le differenze (xi − ¯ X) (risp. (yi − ¯ Y )). Se noi riportiamo il nostro
σX
σY
¯X
X

Y
−4 0 4
19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 89
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
X
Y
−10 10
−4 −2 0 2 4
Figura 54. Due diagrammi di dispersione di due variabili
aleatorie che abbiano il medesimo punto delle medie,
lo stesso coefficiente di correlazione lineare, r = 0.8, il
primo con la medesima deviazione standard per le due variabili,
il secondo con deviazione standard della Y cinque
volte quella della X.
grafico di dispersione su di un piano coordinato scegliendo come unità
di misura σX, per l’asse delle X e σY per quello delle Y otterremo
una nuvola di punti con una forma sempre più allungata all’aumentare
del valore assoluto del coefficiente di correlazione. Questo è facilmente
osservabile dai diagrammi fatti in precedenza.
Vediamo ora di stabilire in che relazione è la distribuzione dei punti
del diagramma di dispersione con la retta delle SD e con il coefficiente
di correlazione.
Ricordiamo che la retta delle SD ha equazioni:
y = σY
σX
y = − σY
x − σY
σX
σX
x + σY
σX
¯X + ¯ Y se 0 < r ≤ 1
¯X + ¯ Y se −1 ≤ r < 0,
poiché per r = 0 non si parla di retta delle SD, per r = 0 le due
equazioni possono venire sintetizzate dall’espressione
y = rσY
(x −
|r|σX
¯ X) + ¯ Y .
Calcoliamo la media quadratica delle distanze verticali dei punti del
diagramma di dispersione da una retta delle SD. Si ha
X

90
d 2 = 1
n
= 1
n
= σ 2 Y
= σ 2 Y
= σ 2 Y
n
i=1
n
i=1
1
n
1
n
|(yi − ¯ Y ) − rσY
(xi −
|r|σX
¯ X)| 2
σ 2 Y
i=1
σ 2 Y
σ 2 Y
i=1
yi − ¯ Y
σY
σ 2 Y
− r
|r|
xi − ¯ X
2 σX
n (yi − ¯ Y ) 2
σ2 Y
− 2 r xi −
|r|
¯ X yi −
σX
¯ Y
+
σY
(xi − ¯ X) 2
σ2 2 X
n (yi − ¯ Y ) 2
− 2 r
n 1 xi −
|r| n
¯ X yi − ¯ Y
+ 1
n (xi −
n
¯ X) 2 2 − 2 r2
|r| + σ2 X
σ 2 X
i=1
σX
= 2σ 2 Y (1 − |r|).
Nelle espressioni precedenti abbiamo tenuto conto che:
n
(yi − ¯ Y ) 2
σ 2 Y = 1
n
σ 2 X = 1
n
r = 1
n
i=1
n
(xi − ¯ X) 2
i=1
σY
n xi − ¯ X yi − ¯ Y
.
i=1
σX
Pertanto la media quadratica varrà
2 − 2|r|.
σY
Dunque, possiamo osservare che più è alto |r| e più la media quadratica
delle distanze verticali dei punti del diagramma di dispersione
dalla retta delle SD è bassa.
Una forma del tutto analoga si ha se si considera la media quadratica
delle distanze orizzontali dei punti del diagramma di dispersione
dalla retta delle SD. Si ottiene che questa vale:
2 − 2|r|.
σX
Il coefficiente di correlazione risulta molto utile in tutti i casi in
cui il diagramma di dispersione ha una forma “ovale”. Si ricordi che
r misura l’associazione lineare tra due variabili e non una associazione
in genere. Ad esempio, nel diagramma seguente i dati sono distribuiti
approssimativamente su di una circonferenza. Le due variabili sono
fortemente correlate ma non in una correlazione lineare ed r = 0.
σY
i=1
σ 2 X

19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 91
¯Y
¯X
Figura 55. Un diagramma di dispersione che rappresenta
due variabili aleatorie correlate ma con coefficiente
di correlazione lineare nullo.
Come esempio banale di verifica del fatto che r = 0 consideriamo i
seguenti dati raccolti per X ed Y :
x1 = 0 y1 = 1
x2 = 1 y2 = 0
x3 = 0 y3 = −1
x4 = −1 y4 = 0.
Chiaramente le coppie (xi, yi) stanno su di una circonferenza di equazione
x 2 + y 2 = 1. Calcoliamo ¯ X e ¯ Y
¯X
1 + 0 − 1 + 0
= = 0
4
¯Y
0 + 1 + 0 − 1
= = 0.
4
Il punto delle medie è (0, 0). Calcoliamo σX, σY ed r:
σX =
σY =
1 2 + 0 2 + (−1) 2 + 0 2
4
0 2 + 1 2 + 0 2 + (−1) 2
4
1
=
2
1
=
2
= 1
√ 2
= 1
√ 2

92
Quindi, per r, si ha
r = 1
4
4
i=1
√ √
2 2
=
4
xi − 0
1
√ 2
yi − 0
1
√ 2
4
xiyi = 0
i=1
Esempio 19.1. Consideriamo i dati della seguente Tabella 13
Tabella 13
X Y
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 1
e rappresentiamone il diagramma di dispersione nella Figura 56;
Y
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
X
Figura 56
Se non consideriamo l’ultimo dato raccolto, (6, 1), c’è una perfetta
correlazione (lineare) perché i punti giacciono sulla retta di equazione
y = x e quindi si ha r = 1. Se però consideriamo anche l’ultimo
dato raccolto, che appare un outlier, e se ricalcoliamo il coefficiente di

19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 93
correlazione otteniamo:
¯X
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
= =
6
21 7
=
6 2
¯Y
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1
= =
4
16 8
=
6 3
σ 2 X = 1
7
(1 −
6 2 )2 + (2 − 7
2 )2 + (3 − 7
2 )2 + (4 − 7
2 )2 + (5 − 7
2 )2 + (6 − 7
2 )2
= 1 2 2 2 2 2 2 35
(−5) + (−3) + (−1) + 1 + 3 + 5 ) =
12
12
σ 2 Y = 1
8
(1 −
6 3 )2 + (2 − 8
3 )2 + (3 − 8
3 )2 + (4 − 8
3 )2 + (5 − 8
3 )2 + (1 − 8
3 )2
= 1 2 2 2 2 2 2 120
(−5) + (−2) + 1 + 4 + 7 + (−5) ) =
54
54
r =
1
35 6
12
120
54
(1 − 7
2
)(1 − 8
3
) + (2 − 7
2
)(2 − 8
3
7 8
) + (3 − )(3 −
2 3 )
+ (4 − 7 8 7 8 7 8
)(4 − ) + (5 − )(5 − ) + (6 − )(1 −
2 3 2 3 2 3 )
= 25 + 6 − 1 + 4 + 21 − 25 5
= ∼ 0.327 < 1.
35
35
36
6
12
120
54
Questo valore per r è molto basso anche se questo è dovuto esclusivamente
alla presenza di un outlier. Non si deve però incorrere nell’errore
di rimuovere lo outlier, a meno che non sussistano delle ragioni ben precise
per farlo, ad esempio se siamo sicuri che sia dovuto ad un errore
di misura. Poiché nella nostra situazione non sappiamo a che cosa sia
dovuta la presenza del nostro outlier non è opportuno utilizzare r per
sintetizzare i dati in nostro possesso. Allo stesso modo non è opportuno
utilizzare r per sintetizzare i dati nelle situazioni illustrate dai
diagrammi di dispersione illustrati dai grafici di Figura 57.
In questi grafici è evidente una forte associazione fra le variabili ma
questa non è lineare. Conoscere r non serve.
Ricordare: r misura l’associazione lineare e non altri tipi di associazione.
Si può utilizzare il coefficiente di correlazione r quando il diagramma
di dispersione assume la forma di una nube di punti ovaleggiante.
Esercizio 16. Quali dei tre diagrammi riportati nella Figura 58,
possono essere sintetizzati utilizzando r?
Solo il numero 1, che ha la caratteristica forma a palla da rugby.
12
120
54

94
¯Y
0 4 8
¯X
Figura 57. Due grafici di dispersione con variabili
fortemente correlate ma la correlazione non è lineare.
Grafico 1
0 2 4 6 8 10 12
0 10 20
0 4 8
¯Y
Grafico 3
0 5 10 15
A
¯X
Grafico 2
0 5 10 15 20 25
Figura 58
Esercizio 17. In una classe ci sono 15 alunni. Di questi 5 sono giocatori
di basket. La relazione tra peso e altezza può essere sintetizzata
utilizzando r?
Verosimilmente si ha una situazione del tipo di quella illustrata dal
grafico di dispersione della figura posta all’inizio della pagina seguente.
Quindi la risposta è no.
Esercizio 18. Un cerchio di diametro d ha area 1/4 · πd 2 . Uno
studioso disegna il diagramma di dispersione, riportato nella figura
della pagina seguente, relativo ad un campione di cerchi di diametri
diversi.
Si può utilizzare r per sintetizzare i dati? Sì, c’è la forma ovoidale.

19. CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 95
168 174 180
168 170 172 174 176 178 180
Figura 59. Un diagramma di dispersione per il quale
il calcolo del coefficiente di correlazione lineare risulta
inadeguato.
Cosa ci si aspetta come valore di r? Scegliere tra le seguenti
possibilità:
-1, circa -1, 0, circa 1, 1.
0 20 60
0 2 4 6 8 10
Figura 60. Diagramma di dispersione nel quale due variabili
aleatorie risultano strattamente correlate ma con
coefficiente di correlazione lineare basso.
La risposta migliore è circa 1. Infatti c’è una forte associazione,
però non può essere r esattamente uguale a 1, perchè l’associazione
è quadratica e non lineare. I dati non stanno su una retta, ma sulla
parabola di equazione : y = 1/4 · πx 2 .
Esercizio 19. Per un certo insieme di dati si è osservato r = 0.57.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
(1) Tra i dati non ci sono outlier.

96
(2) Tra le variabili considerate c’è associazione non lineare.
Soluzione. Non si può dire se le due affermazioni sopra siano vere o
false, per stabilire se non ci sono outlier o se l’associazione non è lineare,
si deve considerare il diagramma di dispersione.
Aggiungiamo ancora alcune osservazioni a proposito del coefficiente
di correlazione:
I coefficienti di correlazione calcolati a partire da percentuali o da
medie possono essere fuorvianti. Il coefficiente di correlazione va calcolato
a partire dai dati raccolti su ogni singolo individuo.
Per capire questo fatto, consideriamo un esempio:
Da una indagine svolta nel 1993 negli Stati Uniti, indagine svolta
sull’intera popolazione, è possibile calcolare il coefficiente di correlazione
tra reddito e livello di istruzione per gli uomini con età compresa
tra i 25 e i 54 anni. Si ottiene r = 0.44.
Si potrebbe pensare di calcolare il reddito medio e il livello di istruzione
medio per ciascuno degli Stati e calcolare poi il coefficiente di
correlazione tra le risultanti coppie di medie. Tale coefficiente, pari a
0.64, risulta sensibilmente più alto di quello effettivo. Procedere così
ci ha portato ad un risultato falso. Questo accade perché in ogni Stato
c’è una notevole dispersione dei dati intorno al valor medio, dispersione
che viene eliminata quando ad ogni stato associamo la sua media. La
conseguenza di questo è che si ha una impressione errata di maggior
concentrazione attorno alla retta delle SD.
Il coefficiente di correlazione va pertanto utilizzato con cautela,
cioè considerando sempre con occhio critico la situazione che si sta
studiando.
Il coefficiente di correlazione misura l’associazione, ma l’associazione
non coincide con la causalità.
Illustriamo quanto detto con un esempio: nei bambini si può osservare
una forte correlazione tra il numero di scarpe e la capacità di
lettura. Tuttavia non possiamo dire che la capacità di imparare nuove
parole rende più grande il piede. In realtà c’è un terzo fattore di
cui tener conto: l’età. Quando un bambino cresce impara più parole
e quindi legge meglio e, allo stesso tempo, i suoi piedi diventano più
grandi.
È sbagliato legare direttamente il numero di scarpe e la capa-
cità di lettura. Si ha infatti la presenza di quello che in statistica viene
chiamato un fattore di disturbo, in questo caso l’età.
Per finire, dimostriamo formalmente che se i dati raccolti (xi, yi),
i = 1, . . . , n, giacciono sulla retta di equazione y = x, allora si ha
esattamente r = 1.

Infatti, xi = yi, per ogni i. Quindi
¯X = 1
n
xi =
n
1
n
ed anche σX = σY ; allora:
r = 1
n
= 1
n
i=1
20. LA REGRESSIONE 97
i=1
n
yi = ¯ Y
i=1
n (xi − ¯ X)(yi − ¯ Y )
=
σXσY
1
n (xi −
n
i=1
¯ X)(xi − ¯ X)
σXσX
n (xi − ¯ X) 2
= 1
n
1
n
(xi − ¯ X) 2
i=1
σ 2 X
= 1
σ2 σ
X
2 X = 1.
σ 2 X
i=1
20. La Regressione
La regressione serve a descrivere in che modo una variabile dipende
da un’altra.
Illustriamo il punto con un esempio.
Consideriamo 988 uomini di età compresa tra 18 e 24 anni. Valutiamone
il peso e l’altezza e costruiamo il diagramma di dispersione
seguente:
40 80
160 170 180 190 200
Figura 61. Diagramma di dispersione dei pesi e delle
altezze di 988 persone. A tratto continuo abbiamo la retta
di regressione del peso sull’altezza, a trattini la retta
delle deviazioni standard.

98
In base ai dati raccolti si hanno le seguenti grandezze di sintesi:
• altezza media ¯ X = 177.8cm
• peso medio ¯ Y = 73.5kg
• scarto quadratico medio per l’altezza σX = 7.6cm
• scarto quadratico medio per il peso σY = 13.6kg
• coefficiente di correlazione r = 0.47.
Nella figura l’unità di misura sui due assi è stata scelta in modo tale
che ad ogni trattino corrisponda un incremento pari alla rispettiva SD.
Cioè sull’asse x l’unità di misura è σX e sull’asse y l’unità di misura è
σY . In tal modo, poichè il coefficiente angolare della retta delle SD è
σY
σX
, la retta delle SD risulta la bisettrice del primo quadrante. Questa
retta, in figura, è rappresentata dalla linea tratteggiata. I punti sono
piuttosto dispersi attorno alla retta delle SD, questo perché r = 0.47 è
basso.
Osserviamo i dati del diagramma contenuti nella banda verticale
tratteggiata. Questi corrispondono agli uomini che hanno una altezza
pari a circa ¯ X + σX. Possiamo osservare che la maggior parte dei punti
di questa fascia sta sotto alla retta delle SD.
Se calcoliamo il peso medio delle persone che stanno nella banda
tratteggiata, ci accorgiamo che questo è superiore ad ¯ Y per un valore
che non è σY , ma una frazione di σY . Per essere precisi, l’altezza delle
persone all’interno della banda è:
¯X + σX = 177, 8 + 7, 6 = 185, 4cm.
Il peso medio di queste persone è:
¯Y + rσY = 73, 5 + (0, 47)13, 6 79, 9kg.
Analogamente se consideriamo le persone di altezza ¯ X + 2σX, il peso
medio di queste persone non è ¯ Y + 2σY , ma ¯ Y + 2rσY .
Cioè vale la seguente Proposizione, che non dimostriamo perchè
richiederebbe metodi matematici sofisticati.
Proposizione 20.1. Associato ad un incremento di x pari a σX si
può prevedere un aumento in media di y pari a rσY .
Cioè le persone di altezza ¯ X + σX pesano in media ¯ Y + rσY , le
persone di altezza ¯ X + 2σX pesano in media ¯ Y + 2rσY , le persone di
altezza ¯ X + 3σX pesano in media ¯ Y + 3rσY , ... e così via,le persone di
altezza ¯ X + iσX pesano in media ¯ Y + irσY .
Questo vale anche se i è negativo: le persone di altezza ¯ X − σX
pesano in media ¯ Y − rσY , le persone di altezza ¯ X − 2σX pesano in
media ¯ Y − 2rσY , e così via ....

20. LA REGRESSIONE 99
Osserviamo che i punti: ( ¯ X + iσX, ¯ Y + irσY ) giacciono tutti su una
stessa retta che passa per il punto delle medie: ( ¯ X, ¯ Y ).
Infatti, troviamo ad esempio l’equazione della retta che contiene i
punti: ( ¯ X+σX, ¯ Y +rσY ) e ( ¯ X+2σX, ¯ Y +2rσY ); tale retta ha equazione:
Cioè:
Ancora:
E, per finire:
y − ¯ Y − rσY
¯Y + 2rσY − ¯ Y − rσY
y − ¯ Y − rσY
rσY
=
x − ¯ X − σX
¯X + 2σX − ¯ X − σX
= x − ¯ X − σX
σX
y = r σY
(x − ¯ X − σX) + ¯ Y + rσY .
σX
y = r σY
x − r σY
( ¯ X + σX) + ¯ Y + rσY .
σX
σX
Verifico che ( ¯ X + iσX, ¯ Y + irσY ) sta su tale retta, per ogni i, anche per
i = 0, nel qual caso si ha ( ¯ X, ¯ Y ). Infatti:
¯Y + irσY = r σY
( ¯ X + iσX) − r σY
( ¯ X + σX) + ¯ Y + rσY
La retta di equazione
σX
= ¯ Y + riσY .
σX
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y
σX
si dice la retta di regressione di Y su X. Essa stima la media dei valori
di Y che corrispondono ad un valore di X.
Nella figura precedente tale retta è rappresentata dalla retta tracciata
a tratto continuo. Esplicitando il calcolo, la retta di regressione
è la
y = r σY
x + ( ¯ Y − r σY
σX
Esercizio 20. In un corso la media dei voti ad un esame intermedio
è pari a 60 con uno scarto quadratico medio di 15; gli stessi valori si
registrano all’esame finale. Il coefficiente di correlazione tra il voto
dell’esame intermedio e quello dell’esame finale è r = 0.5. C’è inoltre
associazione lineare tra le variabili.
Stimare il punteggio medio all’esame finale per gli studenti che
nell’esame intermedio hanno avuto i risultati seguenti: 30, 60 e 75.
σX
¯X)

100
Soluzione. Nel diagramma di dispersione indichiamo in ascissa i valori
dell’esame intermedio ed in ordinata i valori dell’esame finale.
Riassumiamo i dati:
¯X = 60 σX = 15
¯Y = 60 σY = 15
r = 0.5.
Prendiamo in esame la retta di regressione:
y = r σY
x + ( ¯ Y − r σY
σX
σX
¯X) = 0.5x + (60 − 0.5 · 60) = 0.5x + 30.
Quindi, gli studenti che ottennero nell’esame il punteggio di 30, all’esame
finale avranno in media un punteggio di 0.5 · 30 + 30 = 45. Gli
studenti che ottennero nell’esame il punteggio di 60, all’esame finale
avranno in media un punteggio di 0.5 · 60 + 30 = 60. Gli studenti
che ottennero nell’esame il punteggio di 75, all’esame finale avranno in
media un punteggio di 0.5 · 75 + 30 = 67.5.
21. Il grafico delle medie
Per ottenere il grafico delle medie si procede nel modo seguente: in
corrispondenza a ciascun valore della variabile aleatoria X si riporta la
media dei valori assunti dalla variabile Y relativamente a quel valore
stesso. Ovvero, il grafico delle medie è costituito da tutte le coppie
(xi, ¯yi) dove xi è un fissato valore assunto da X e ¯yi è la media di tutti
i valori assunti da Y relativamente agli individui per i quali la variabile
aleatoria X assume i valori xi.
In generale la retta di regressione è una approssimazione del grafico
delle medie. Cioè molti punti del grafico delle medie stanno sulla retta
di regressione. La retta di regressione mi dà una stima della media dei
valori assunti da Y in corrispondenza dei valori assunti da X. In tal
senso possiamo dire che la retta di regressione è una versione smussata
del grafico delle medie. Se il grafico delle medie si presenta come una
retta, questa è la retta di regressione. Quando l’associazione tra le variabili
non è lineare la retta di regressione risulta una approssimazione
grossolana. Si usa il metodo di regressione quando l’associazione fra le
variabili è lineare. Cioè quando la forma del diagramma di dispersione
è un ovale allungato.
Esercizio 21. Una università americana svolge uno studio per analizzare
la relazione tra il punteggio ottenuto da ciascun studente al test
di ammissione (che va da 200 ad 800 punti) ed il voto complessivo riportato
alla fine del primo anno di corso (che può assumere valori da

40 80
21. IL GRAFICO DELLE MEDIE 101
160 170 180 190 200
Figura 62. Su di un grafico di dispersione sono state
riportate la retta di regressione ed alcuni punti del grafico
delle medie.
0 a 4). I dati vengono sintetizzati come segue:
¯X = 550 σX = 80
¯Y = 2.6 σY = 0.6
(X è la variabile aleatoria che dà i punteggi di ammissione e Y quella
della media dei punteggi di fine anno). Per le variabili si ipotizza una
associazione lineare con coefficiente di correlazione r = 0.4. Vogliamo
conoscere la previsione sul voto complessivo alla fine del primo anno
per uno studente che al test di ammissione ha ottenuto un punteggio
di 650.
Soluzione. Dall’equazione della retta di regressione si ha
y = r σY
x + ( ¯ Y − r σY
σX
σX
¯X) = 0.4 0.6
(650 − 550) + 2.6 = 0.3 + 2.6 = 2.9.
80
Ovviamente questa è soltanto una previsione non un dato certo.
Esercizio 22. Relativamente all’osservazione dell’altezza e del peso
di 988 uomini, di età compresa fra i 18 ed i 24 anni, quale previsione
si può fare per il peso di uno di questi uomini scelti a caso? Quale
previsione si può fare per il peso di quest’ultimo se si sa che è alto
185.4 cm?

102
Soluzione. Se indichiamo con X la variabile aleatoria altezza e con Y
la variabile aleatoria peso, ricordiamo i dati:
¯X = 177.8 cm σX = 7.6 cm
¯Y = 73.5 kg σY = 13.6 kg
r = 0.47
e che fra le variabili si ha una associazione lineare. Se non si sa nulla
dell’uomo scelto a caso, allora l’unica previsione che si può fare sul peso
è 73.5 kg, cioè il valore della media del peso per tutti i 988 uomini. Se
si sa che l’uomo scelto è alto 185.4 cm allora si ha
y = r σY
x + ( ¯ Y − r σY ¯X) = 0.47 13.6
(185.4 − 177.8) + 73.5 = 79.9 kg.
7.6
σX
σX
22. L’effetto di regressione
Ritorniamo all’esperimento di Galton relativo all’altezza di 1078
coppie padre-figlio il cui diagramma di dispersione, presentato nella
Figura 40 di pagina 76, ha la classica forma ovoidale e mostra dunque
una associazione lineare fra la variabile aleatoria X, altezza del padre,
e la variabile aleatoria Y , altezza del figlio. Ricordiamo i dati:
¯X = 173 cm σX = 6.75 cm
¯Y = 175.5 cm σY = 6.75 cm
r = 0.5
Dunque la media delle altezze dei figli supera di 2.5 cm la media delle
altezze dei padri. Alla domanda: quanto prevediamo che sia l’altezza
di un figlio che ha il padre alto 163 cm? Molti sarebbero portati a
rispondere 165.5 cm. La risposta NON è corretta. La risposta corretta
è la seguente. Una altezza di 163 cm corrisponde a 163 = ¯ X − tσX =
173 − 6.75t cioè t = 10/6.75 dunque si prevede una altezza media dei
figli con padre alto 163 cm di
y = ¯ Y − t · r · σY = 175.5 − 10
6.75 0.5 · 6.75 = 175.5 − 5 = 170.5.
Quindi, in media l’altezza dei figli è maggiore di quello che saremmo
portati a credere.
Cosa accade se prendiamo un padre che sia più alto di 173 cm che è
l’altezza media? Supponiamo di prendere un padre alto 183 cm quanto
si può prevedere che sia l’altezza del figlio? Saremmo portati anche
in questo caso a supporre che l’altezza del figlio superi di 2.5 cm di
media l’altezza del padre, cioè sia di 185.5 cm. Anche in questo caso

22. L’EFFETTO DI REGRESSIONE 103
questa risposta non è corretta. Infatti 183 = ¯ X + t6.75 corrisponde a
t = 10/6.75 e quindi si prevede una media dell’altezza dei figli di
y = 175.5 + 10
0.5 · 6.75 = 180.5 cm.
6.75
Quindi la media dell’altezza dei figli è più bassa di quello che saremmo
portati a credere.
Possiamo concludere che padri più bassi della media hanno in media
figli più alti di una quantità superiore allo scarto medio delle altezze
mentre padri più alti della media avranno figli più alti di una quantià
inferiore allo scarto delle medie. Questo è quello che si chiama effetto
di regressione. Lo si può ben spiegare osservando i grafici della retta
delle SD e della retta di regressione. Ricordiamo che le due rette hanno,
rispettivamente, equazioni (per r = 0)
y = rσY
x −
|r|σX
rσY
|r|σX
y = rσY
σX
x − rσY
σX
¯X + ¯ Y
¯X + ¯ Y
e quindi il coefficiente angolare della retta di regressione è più basso (in
valore assoluto) di quello della retta delle SD. La retta delle SD taglia
circa in due la nuvola del diagramma di dispersione, ma le previsioni
si verificano seguendo la retta di regressione come è illustrato dalla
Figura 63.
L’effetto di regressione si riscontra molto spesso nella realtà. Lo si
riscontra in quasi tutte le situazioni in cui si ripete un test. In quasi
tutte le situazioni in cui si ripete un test, il gruppo di individui che si
rivela il peggiore nel primo test mostra un miglioramento al secondo e
viceversa per il gruppo migliore.
Osservazione 22.1. Quando si lavora analizzando i dati su due
o più variabili, è sempre possibile standardizzare le variabili in modo
tale che la media e lo scarto dei dati analizzati sia uguale per ogni
variabile. Vediamo come si procede nel caso di due variabili aleatorie
X ed Y (analogamente si procede se le variabili sono più di due.)
Supponiamo che i dati raccolti sulla variabile X presentino media µ1 e
scarto σ1 e che i dati raccolti per Y presentino media µ2 e scarto σ2.
Vogliamo “standardizzare” i dati in modo che la media sia µ e lo scarto
σ. Introduciamo allora al posto della variabile X la variabile
Z1 = σ
(X − µ1) + µ
σ1

104
160 180
160 170 180 190
Figura 63
e al posto della variabile Y la variabile
Z2 = σ
(Y − µ2) + µ.
σ2
Se x1, x2, . . . , xn sono gli n dati raccolti per la X, di media µ1 e scarto
σ1, e se y1, y2, . . . , yn sono gli n dati per la Y , di media µ2 e scarto σ2,
allora i dati raccolti per Z1 e Z2 saranno rispettivamente:
σ
(xi − µ1) + µ i = 1, 2, . . . , n
σ1
σ
(yi − µ2) + µ i = 1, 2, . . . , n.
σ2
calcolando la media dei dati raccolti su Z1 si ottiene
n 1 σ
(xi − µ1) + µ
n
= σ
n 1
(xi − µ1) +
n
nµ
n
poiché
i=1
σ1
σ1
i=1
n
(xi − µ1) = 0.
i=1
= µ
Per la varibile Z2 si prova, in modo analogo, che la media dei dati
raccolti risulta µ.

22. L’EFFETTO DI REGRESSIONE 105
Calcoliamo ora lo scarto dei dati raccolti per la variabile Z1:
1
n σ
(xi − µ1) + µ − µ
n σ1
i=1
2
= 1
n σ
(xi − µ1)
n σ1
i=1
2 = σ
1
n 2 σ
xi − µ1 = σ1 = σ.
n
Dimostrazione analoga si conduce per Z2.
Osserviamo che il coefficiente di correlazione fra Z1 e Z2 è lo stesso
di quello fra X ed Y perché il coefficiente di correlazione non cambia
per cambiamenti di scala e per traslazione.
Utilizzare le variabili standardizzate Z1 e Z2 al posto di X ed Y ci
consente di avere una retta delle SD con coefficiente angolare 1 (bisettrice
del primo quadrante), mentre la retta di regressione ha coefficiente
angolare uguale al coefficiente di correlazione r. Questo rende ancora
più chiaro l’effetto di regressione. Supponiamo infatti che tra X ed Y
ci sia una associazione lineare con coefficiente di correlazione positivo.
All’aumentare dei valori osservati per X aumentano i valori per Y .
Ad un incremento di Z1 pari ad un multiplo t di σ corrisponde, in media,
un aumento di Z2 pari ad un multiplo rt di σ. Cioè all’aumentare di
Z1 aumenta Z2 ma in media Z2 aumenta meno velocemente di Z1: ad
incrementi maggiori di Z1 corrispondono, in media, incrementi inferiori
di Z2 e viceversa.
Esercizio 23. Un’insegnante ha sottoposto i suoi studenti a due
test (uno intermedio ed uno finale) ed ha standardizzato i voti in modo
tale che, per entrambi i test, il punteggio medio è risultato di 50 con
uno scarto di 10. Il coefficiente di correlazione tra i punteggi dei due
test è risultato di 0.5. L’associazione tra i voti conseguiti nei due test
è di tipo lineare. Che voto ci si aspetta nel secondo test dagli studenti
che nel primo test hanno ottenuto rispettivamente 30 e 70 punti?
Soluzione. Gli studenti che hanno ottenuto un punteggio di 30 sono
sotto la media di due volte lo scarto. Per essi nel secondo test si prevede
che in media conseguano un voto sotto la media di 2·0.5 volte lo scarto,
cioè conseguano nel secondo test un punteggio di 40.
Gli studenti che al primo test hanno ottenuto un punteggio di 70
sono sopra la media di 2 volte lo scarto. Si prevede che nel secondo
test otterranno un punteggio superiore di 2 · 0.5 volte lo scarto, cioè
conseguano, in media, un punteggio di 60. Come ci si aspetta, per
l’effetto di regressione, gli studenti che al primo test hanno ottenuto
un punteggio inferiore alla media, migliorano in media al secondo test.
σ1
i=1
σ1

106
Gli studenti che al primo test hanno ottenuto un punteggio superiore
alla media peggiorano in media nel secondo test.
23. Le rette di regressione sono due
Abbiamo visto finora che quando c’è associazione lineare tra X ed
Y la retta di regressione può essere utilizzata per stimare la media dei
valori assunti da Y in corrispondenza di un dato valore di X. Si può
però stimare la media dei valori di X in corrispondenza di un valore
assunto da Y . Si tratta in questo caso di esprimere X in funzione di Y
e non il contrario. La retta di regressione di Y su X è data dalla retta
di equazione:
x = r σX
(y − ¯ Y ) + ¯ X.
σY
Esercizio 24. Si standardizzano i quozienti intellettivi di un gruppo
di mariti e delle relative mogli in modo che entrambi i gruppi abbiano
una media di 100 ed uno scarto di 15. L’associazione è lineare
con un coefficiente di correlazione di r = 0.5. Quanto vale il quoziente
medio delle mogli di coloro che hanno un quoziente intellettivo di
140? Quanto vale il quoziente medio dei mariti le cui mogli hanno un
coefficiente di 120?
Soluzione. Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il Q.I. dei mariti
e sia Y la variabile aleatoria che rappresenta il Q.I. delle mogli. Le due
rette di regressione hanno equazione:
cioè
y = 0.5x − 0.5 · 100 + 100
x = 0.5y − 0.5 · 100 + 100,
y = 1
1
x + 50 x = y + 50.
2 2
Se rappresentiamo queste due rette su di uno stesso grafico, le due rette
avranno le equazioni
y = 1
x + 50 y = 2x − 100.
2
Soluzione. Se il marito ha Q.I. pari a 140, la moglie avrà in media Q.I.
pari a
1
140 + 50 = 120.
2
Se la moglie ha Q.I. pari a 120 in media il marito ha Q.I. pari a
1
120 + 50 = 110.
2

Q.I. moglie
60 100 140
23. LE RETTE DI REGRESSIONE SONO DUE 107
60 80 100 120 140
Q.I. marito
Figura 64. La retta delle deviazioni standard è a tratto
continuo, la retta di regressione moglie/marito a trattini,
mentre la retta di regressione marito/moglie è a puntini.
Esercizio 25. In uno studio della stabilità del Q.I. alcuni individui
sono stati sottoposti ad un test all’età di 18 anni e ad un’altro test
all’età di 35 anni. I rusultati sono:
18 anni punteggio medio=100 scarto=15
35 anni punteggio medio=100 scarto=15.
Si ha inoltre che la correlazione è lineare con r = 0.8.
Stimare il punteggio ottenuto all’età di 35 anni per coloro che all’età
di 18 anni hanno ottenuto un punteggio di 115. Prevedere il punteggio
ottenuto all’età di 18 anni per coloro che all’età di 35 anni hanno
ottenuto un punteggio di 115.
Soluzione. Indichiamo con X la variabile aleatoria che rappresenta il
Q.I. a 18 anni e con Y quella che rappresenta il Q.I. a 35 anni. Le due
rette di regressione hanno rispettivamente equazione
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y = 0.8x + 20
σX
x = r σX
(y − ¯ Y ) + ¯ X = 0.8x + 20.
σY
Gli individui che a 18 anni hanno ottenuto un Q.I. di 115, in media, a
35 anni avranno un Q.I. di 0.8 · 115 + 20 = 112. Gli individui che a 35
anni hanno ottenuto un Q.I. di 115, in media, a 18 anni avranno avuto
un Q.I. di 0.8 · 115 + 20 = 112.

108
Esercizio 26. È bene essere in grado di calcolare la resa di prodotto
utile di un albero basata sulle misurazioni dell’albero effettuate
prima del raccolto. Esaminando un campione di 100 alberi di mele si
sono valutate due variabili aleatorie:
• la X è il diametro dell’albero a 1 m dal livello del suolo in
pollici;
• la Y è il peso del raccolto dell’albero in libre.
Dai dati raccolti e dall’analisi del diagramma di dispersione ci si accorge
che c’è correlazione lineare. Inoltre si ha r = 0.7, ¯ X = 5.5, σX = 2 e
¯Y = 450, σY = 100. Quale sarà il peso del raccolto stimato per alberi
di diametro 7?
Soluzione. La retta di regressione ha equazione
y = 0.7 100
x − 0.71005.5
+ 450 = 35x + 257.5.
2 2
Dunque il peso medio del raccolto è stimato da
y = 35 · 7 + 257.5 = 502.5.
Esercizio 27. Nel grafico qui sotto vengono riportate tre rette.
Figura 65. Posizione reciproca delle due rette di regressione
e della retta delle deviazioni standard, a
tratti.
Una è la retta delle SD, una è la retta di regressione di Y rispetto
ad X e l’ultima è la retta di regressione di X rispetto ad Y . Osservando
il grafico di dispersione individuare le tre rette.
Soluzione. Il grafico di dispersione rappresenta una forma ovoidale e
quindi c’è una associazione lineare. Vista l’inclinazione del diagramma
di dispersione il coefficiente di correlazione è positivo. La retta tratteggiata
taglia in due la nuvola dei punti, quindi è la retta delle SD.

24. IL ROOT MEAN SQUARE ERROR DELLA REGRESSIONE 109
Ricordiamo che la retta di regressione di Y rispetto ad X ha equazione
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y
σX
mentre quella di X rispetto ad Y ha equazione
x = r σX
(y − ¯ Y ) + ¯ X.
σY
Se in quest’ultima equazione esplicitiamo la y si ottiene
y = 1 σY
(x −
r σX
¯ X) + ¯ Y .
Se rappresento entrambe le rette sullo stesso diagramma osservo che la
retta di regressione di Y rispetto ad X ha coefficiente angolare pari a
r σY mentre la retta di regressione di X rispetto ad Y ha coeffciente
σX
angolare pari a 1 σY
1 σY σY
. Poiché 0 < r < 1 si ha che > r . Perciò la
r σX r σX σX
retta punteggiata è la retta di regressione di X rispetto ad Y mentre
quella a tratto continuo è quella di Y rispetto ad X.
24. Il Root Mean Square Error della regressione
Il metodo della regressione può essere utilizzato per prevedere Y
a partire da X; tuttavia le previsioni ottenute differiscono spesso dai
valori effettivamente osservati. Vediamo ora come ottenere una misura
globale delle differenze tra valori osservati e valori previsti calcolando
la radice quadrata dell’errore quadratico medio (in inglese root mean
square error, indicato con RMSE).
Nel grafico che riportiamo nella figura seguente indichiamo con dei
segmenti le distanze tra i valori osservati ed i valori previsti utilizzando
la retta di regressione.
Fissato un valore per X, la retta di regressione di Y rispetto ad
X mi permette di stimare il valore previsto per Y in relazione ad un
fissato valore di X. Ovvero, fissato un valore ˜x per X, la media dei
valori assunti da Y relativamente agli individui per i quali il valore della
variabile aleatoria X assume il valore ˜x, può venire prevista utilizzando
la retta di regressione. Si ha così una stima di Y per tutti gli individui
per i quali X ha valore ˜x. In realtà ogni osservazione darà un valore di
Y che non è esattamente quello previsto. Utilizzando la stima di Y si
commette perciò un errore che è
Valore effettivo di Y - Valore previsto per Y
Ritornando alla figura precedente, ogni punto rappresenta una osservazione
del nostro campione ed è individuato dalla coppia (xi, yi) di valori
assunti dalle variabili aleatorie X ed Y per l’osservazione i-esima. La
distanza verticale tra ogni punto ed il punto che ha la medesima ascissa

110
−6 −2 2
−5 0 5
Figura 66. I segmenti verticali misurano la distanza
dei valori misurati da quelli previsti sulla retta di
regressione.
ma sta sulla retta di regressione misura l’errore che si commette stimando
il valore di Y conoscendo il valore di xi, vedi in proposito la
Figura 67.
Figura 67
yi
˜yi
xi
}errore

24. IL ROOT MEAN SQUARE ERROR DELLA REGRESSIONE 111
Se indichiamo con ˜yi il valore previsto per Y quando X vale xi e
posto n il numero delle osservazioni si ha:
RMSE = 1
n
(yi − ˜yi)
n
2
vale poi la seguente regola: Il 68 % delle osservazioni cade nella
banda compresa fra le due rette, parallele alla retta di regressione, di
equazioni:
i=1
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y + RMSE
σX
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y − RMSE.
σX
Il 95 % delle osservazioni cade nella banda compresa fra le due rette,
parallele alla retta di regressione, di equazioni:
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y + 2RMSE
σX
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y − 2RMSE.
σX
Vediamo come è legato il valore RMSE al coefficiente di correlazione.
Ricordando che la retta di regressione ha equazione
si ha, per ogni i = 1, 2, . . . , n,
e quindi
RMSE 2 = 1
n
= 1
n
= 1
n
= 1
n
n
(yi − ˜yi) 2
i=1
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y
σX
˜yi − ¯ Y = r σY
(xi − ¯ X)
σX
n
(yi − ¯ Y ) − (˜yi − ¯ Y ) 2 i=1
n
(yi − ¯ Y ) − r σY
(xi − ¯ X) 2 i=1
σX
n
(yi − ¯ Y ) 2 − 2r σY
1
n
i=1
σX
i=1
= σ 2 Y − 2rσ 2 Y r + r 2 σ 2 Y = σ 2 Y (1 − r 2 ).
√
Si ha così che RMSE = σY 1 − r2 .
n
(yi − ¯ Y )(xi − ¯ X) + r σY
σX
2 1
n
n
(xi − ¯ X) 2
i=1

112
Osserviamo che se (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) sono i dati raccolti,
l’errore che si commette prendendo come stima di ogni osservazione il
valore medio della variabile aleatoria ¯ Y è dato da
1
n
(yi −
n
¯ Y ) 2 = σY
i=1
che è maggiore di RSME = √ 1 − r 2 σY che è l’errore che si commette
utilizzando la retta di regressione per ottenere la stima.
Il coeffciente di correlazione non ha dimensioni (non ha unità di
misura). Invece, l’errore RSME ha come unità di misura la stessa di
σy che è poi la stessa di Y .
Nel caso di r = 1 o r = −1, cioè quando si ha una correlazione
perfetta si ha che RSME = √ 1 − 1σY = 0 ed i punti del diagramma
di dispersione risultano tutti allineati sulla retta di regressione. Se si
utilizza questa per prevedere i valori di Y non si commettono errori.
25. Il diagramma dei residui
Gli errori di previsione, che indichiamo con ei = yi − ˜yi vengono
chiamati residui. Gli statistici analizzano i residui per mezzo di grafici
che vengono detti diagrammi dei residui.
Il diagramma dei residui si ottiene tracciando il diagramma di dispersione
della variabile aleatoria E, i cui valori sono gli errori ei =
yi − ˜yi, rispetto alla variabile aleatoria X, come è illustrato nei due
grafici di Figura 68.
−10 0 5
−5 0 5
−4 0 2
Figura 68
−10 −5 0 5
I residui godono delle seguenti proprietà (che si possono dimostrare
matematicamente):
• La media aritmetica dei residui è zero.

26. DIAGRAMMI DI DISPERSIONE OMOSCHEDASTICI ED ETEROSCHEDASTICI 113
• La retta di regressione dei residui è orizzontale.
26. Diagrammi di dispersione Omoschedastici ed
Eteroschedastici
Ritorniamo al diagramma di dispersione relativo all’altezza di 1078
coppie padre-figlio dello studio di Pearson, riportato nella Figura 40
di pagina 76, che riportiamo qui per comodità nella Figura 69. La
banda verticale di sinistra riguarda le coppie in cui il padre è alto
“circa” 163 cm, quella di destra le coppie il cui padre è alto “circa” 183
cm.
Altezza dei figli
160 180 200
150 160 170 180 190 200
Altezza dei padri
Figura 69
Se costruiamo gli istogrammi delle distribuzioni delle altezze dei
figli delle coppie che ricadono nelle due bande, come mostrato nella
Figura 70, ci accorgiamo che i due istogrammi sono molto simili
Questo perché tutte le bande verticali sono caratterizzate più o
meno dalla stessa dispersione. Un diagramma di dispersione in cui
le bande verticali sono caratterizzate circa dalla stessa dispersione si
dice omoschedastico. Un diagramma omoschedastico è un diagramma
a forma ovoidale. Quando un diagramma è omoschedastico, i residui,
ovvero gli errori di previsione, sono approssimativamente uguali lungo
tutta la retta di regressione.

Frequency
114
0 5 15
161−165
150 160 170 180 190 200
Frequency
0 5 15
181−185
150 160 170 180 190 200
Figura 70. Istogrammi della distribuzione di frequenza
delle altezze dei figli di padri di altezze nei due intervalli
[161, 165] e [181, 185].
Quando un diagramma è omoschedastico, il RMSE è utilizzato
per valutare la dispersione dei punti intorno alla retta di regressione in
qualunque banda verticale.
Ritornando all’esempio delle 1078 coppie padre-figlio, detta X la
variabile aleatoria che rappresenta l’altezza dei padri ed Y quella che
rappresenta l’altezza dei figli, ricordiamo che
¯X = 173 cm σX = 6.75 cm
¯Y = 175.5 cm σY = 6.75 cm
r = 0.5 RMSE = √ 1 − r 2 σY = 5.8 cm,
mentre la retta di regressione ha equazione
y = r σY
(x − ¯ X) + ¯ Y = 0.5(x − 173) + 175.5 = 0.5x + 89.
σX
Se un padre è alto 163 cm, la previsione dell’altezza del figlio è di
0.5 · 163 + 89 = 170.5. Poiché si ha RMSE = 5.8 cm, la vera altezza
del figlio sarà, con una probabilità del 68 %, compresa fra 164.7 cm e
176.3 cm.
Per un padre alto 183 cm, la previsione dell’altezza del figlio è di
0.5 · 183 + 89 = 180.5 ed il figlio ha una probabilità del 68 % di avere
un’altezza compresa fra 174.7 cm e 186.7 cm.
Quando il diagramma di dispersione non ha la forma ovoidale e le
bande verticali non sono caratterizzate dalla stessa dispersione rispetto
alla retta di regressione il diagramma si dice eteroschedastico. In questo
caso il valore del RMSE calcolato sulle bande verticali cambia al
cambiare del valore della variabile aleatoria X.

27. IL METODO DEI MINIMI QUADRATI 115
27. Il metodo dei minimi quadrati
Analizziamo ora la retta di regressione da un altro punto di vista.
Talvolta i punti di un diagramma di dispersione tendono a disporsi
grosso modo secondo una retta. Il problema è quindi quello di trovare
una retta che meglio si adatti a questi punti. Tra le possibili rette,
quella che si adatta meglio ai punti di un diagramma di dispersione
è la retta di regressione. Questa retta viene perciò anche detta la
retta dei minimi quadrati. Se infatti si calcola la media delle distanze
al quadrato dei punti del diagramma di dispersione dai punti con la
medesima ascissa che stanno sulla retta di regressione, questa media
ha un minimo per la retta di regressione.

1. LA DISTRIBUZIONE N(0, 1) i
1. La distribuzione N(0, 1)
F (u) = 1
√ 2π
u
−∞
e − 1
2 x2
dx
u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Indice
1. Introduzione 3
2. Scale di misura 6
3. Rappresentazione dei dati 10
4. La media aritmetica 20
5. La mediana 23
6. La moda 25
7. Il midrange 25
8. I quartili 26
9. Variabilità dei dati 28
10. La forma della distribuzione 34
11. L’analisi esplorativa dei dati 35
12. Il diagramma scatola e baffi 38
13. Misure di sintesi descrittive di una popolazione 41
14. Verifica dell’ipotesi di normalità 50
15. Introduzione all’inferenza statistica 59
16. La correlazione 75
17. Il coefficiente di correlazione lineare 76
18. La retta delle SD 81
19. Calcolo del coefficiente di correlazione 82
20. La Regressione 97
21. Il grafico delle medie 100
22. L’effetto di regressione 102
23. Le rette di regressione sono due 106
24. Il Root Mean Square Error della regressione 109
25. Il diagramma dei residui 112
26. Diagrammi di dispersione Omoschedastici ed Eteroschedastici113
27. Il metodo dei minimi quadrati 115
1. La distribuzione N(0, 1) i
iii