Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria ...

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare
C.d.L. Ingegneria Meccanica
1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = (−1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d
appartengono a Span({a, b}).
2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia A = {a, b, c, d} ⊂ R 3 , dove a =
(1, 2, 3), b = (6, 0, 7), c = (8, 4, 13), d = (32, 4, 41). Trovare una base e la dimensione
di Span(A).
3) Nello spazio vettoriale M(2; R) delle matrici quadrate di ordine 2 su R, si considerino
i sottospazi vettoriali
x y
W1 =
∈ M(2; R) : x + 2t = 0, y + 4t = 0
z t
dove
W2 = Span(A, B, C)
A =
2 4
, B =
0 −1
Determinare basi e dimensioni di W1 e W2.
4) Stabilire se i sottoinsiemi
1 1
2 8
, C =
1 3
−4 −15
W1 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y − z − t = 0}
W2 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x − y − z + t = 0, x + 2t = 1}
sono sottospazi vettoriali di R 4 . In caso affermativo determinarne una base e la
dimensione.
5) Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R 4
6) Provare che l’insieme
W = Span((1, 0, 0, 2), (0, 3, 4, −2), (2, 3, 4, 2), (3, 6, 8, 2))
W = {A ∈ M(3; R) : A + t A = 0}
è un sottospazio vettoriale di M(3; R). Trovare una base e la dimensione di W .
x y
7) Determinare la matrice tale che
z t
1
5
2 x
12 z
y 1
=
t 0
0
1
8) Date le matrici
⎛
1
A = ⎝ 0
1
1
⎞
0
1 ⎠
⎛
1
B = ⎝ 1
0
−1
⎞
−1
1 ⎠
1 0 1
0 −1 0
1
Typeset by AMS-TEX

2
determinare una matrice X ∈ M(3; R) tale che AX = −B.
⎛
0
9) Data la matrice A = ⎝ 1
1
0
⎞
1
1 ⎠, calcolare A
1 1 0
2 − A − 2I3.
10) Determinare tutte le matrici A ∈ M(3; R) tali che AB = BA, dove
⎛
0
B = ⎝ 0
1
0
⎞
0
1 ⎠
0 0 0
Provare che l’insieme di queste matrici costituisce un sottospazio vettoriale di
M(3; R) e calcolarne la dimensione.
11) Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan i seguenti sistemi
lineari:
⎧
x + 2y − 2z + 3t = 1
⎪⎨
x + 3y − 2z + 3t = 0
I)
⎪⎩
2x + 4y − 3z + 6t = 4
x + y − z + 4t = 6
⎧
⎪⎨ z + 2t = 3
II) 2x + 4y − 2z = 4
⎪⎩
2x + 4y − z + 2t = 7
⎧
3x + 4y − z − 3t = 2
⎪⎨ x + y − z − 2t = 0
III)
x − y + z + 4t = 2
⎪⎩
x − y − z + t = 0
12) Sia f : R 3 → R 3 l’applicazione definita da
f((x, y, z)) = (2x + y, x + 2y, z)
a) Provare che f è lineare.
b) Determinare basi e dimensioni di ker f e di Im f.
c) Determinare la matrice A associata ad f rispetto le basi canoniche.
13) Sia ϕ : M(2; R) → R 2 l’applicazione lineare definita da
ϕ
x y
= (t − x, z + y).
z t
a) Trovare basi e dimensioni di ker ϕ e Im ϕ. b) Determinare la matrice A associata
a ϕ rispetto alle basi ordinate
B =
1 0
,
1 1
0 1 1 1
, ,
1 1 0 −1
0 2
1 0
e B ′ = ((1, 0), (1, 2)).

14) Determinare le equazioni dell’applicazione lineare f : R 2 → R 4 avente come
matrice associata
⎛
−1
⎞
3
⎜
A = ⎝
0
1
5 ⎟
⎠
2
3 0
rispetto la base B = ((1, 3), (−2, 8)) di R 2 e la base B ′ = ((1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 3),
(−1, 0, −1, −1), (0, 0, 0, 5)) di R 4 .
15) Determinare il rango e il segno della permutazione
1
p =
3
2
2
3
5
4
4
5
7
6
6
7
1
8
8
16) Calcolare i determinanti delle seguenti matrici
5
A =
2
3
−1
⎛
1
B = ⎝ 3
−2
2
−4
1
⎞
0
5 ⎠
−1
⎛
⎞
⎛
⎞
1 2 1 2 1
5 4 2 1
⎜ 0 0 1 1 1 ⎟
⎜ 2 3 1 −2 ⎟ ⎜
⎟
C = ⎝
−5 −7 −3 9
⎠ D = ⎜ 2 2 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
0 0 3 3 6
1 −2 −1 4
1 2 2 1 1
17) Calcolare il determinante della matrice A ∈ M(4; C)
⎛
1 2 + 3i 2
⎞
−3 − i
⎜ 2 − 3i
A = ⎝
2
1
0
0
1
1 + i
−1
⎟
⎠
−3 + i 1 − i −1 1
18) Calcolare le inverse delle seguenti matrici
⎛
1
⎜ 3
A = ⎝
0
3
2
1
0
0
0
2
1
0
⎞
0
0 ⎟
⎠
2
1
⎛
1
B = ⎝ 2
4
0
−1
1
⎞
2
3 ⎠
8
⎛
1
C = ⎝ 0
0
1
1
0
⎞
0
1 ⎠
1
⎛
1
√
⎜
2
D = ⎜
⎝
− 1
1
√
2
0
√
2
1
√
2
0
⎞
0
⎟
0 ⎠
1
19) Stabilire per quali valori del parametro reale λ esiste la matrice inversa della
matrice
⎛
λ
A(λ) = ⎝ 0
1
λ
⎞
0
1 ⎠
1 2 1
3

4
20) Stabilire se i seguenti sistemi lineari sono di Cramer e, in caso affermativo,
risolverli:
⎧
x + y − 2z + 3t = 1
⎪⎨ 2x − y + 5t = 1
I)
x − 2y + z + t = −4
⎪⎩
2x + y + z + t = 1
⎧
x + y − 2z + 3t = 0
⎪⎨
2x − y + 5t = 0
II)
x − 2y + z + t = 0
⎪⎩
2x + y + z + t = 0
⎧
⎪⎨ x + y − 2z = 1
III) 2x + 2y − z = 1
⎪⎩
−x + 3y − 3z = 0
21) Calcolare il rango della matrice
⎛
1 −4 4 0 1 3
⎞
⎜ −1
A = ⎝
0
4
0
−3
1
−1
−1
0
1
−2 ⎟
⎠
1
3 0 −1 1 2 1
22) Calcolare il rango della seguente matrice dipendente dal parametro reale k:
⎛
k + 3 −1 1
⎞
2
⎜
A = ⎝
5
6
k − 3
−6
1
k + 4
0 ⎟
⎠
0
k + 4 −4 − k k + 4 2
23) Nello spazio vettoriale R 4 sul campo R si consideri il sottospazio vettoriale
Uk = Span(u1, u2, u3, u4, u5)
dove u1 = (1, 0, 0, k), u2 = (0, −1, −1, k), u3 = (k, 1, 0, 1), u4 = (1, 1 + k, 0, 1), u5 =
(1, 0, 1, 0), k ∈ R.
a) Calcolare la dimensione di Uk al variare di k.
b) Dato il vettore u = (1, k, k − 1, 1), stabilire per quali valori di k il vettore u
appartiene a Uk.
24) Discutere e, nei casi possibili, risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare del
parametro reale a:
⎧
⎧
ax + y − z = a ax + y + z + t = a ⎧
⎪⎨
⎪⎨
⎪⎨ 2x + 2y + z = a − 1
x + az = 1 2x + ay + 3z − at = 0
ax + 3y + 3(a − 2)z = a
⎪⎩
2x + ay = 2
⎪⎩
3x + 2y + 4z = a ⎪⎩
(a − 2)x + (a − 2)y + z = −1
y − 2z = a ay − z + 3t = 2

25) Stabilire se le matrici
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 2 −1
1 0 0 1 ⎛
⎞
3 1 0
⎜ 0 1 4 −2 ⎟ ⎜ 0 1 0 2 ⎟
A = ⎝
⎠ B = ⎝
⎠ C = ⎝ −4 −1 0 ⎠
2 −1 0 1
0 0 1 3
4 −8 −2
2 −1 −1 2
1 2 3 14
sono diagonalizzabili per similitudine. In caso affermativo trovare le matrici di
trasformazione.
26) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, si consideri il prodotto scalare
(x 1 , x 2 , x 3 ) · (y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + 2x 2 y 2 + 2x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + 5x 3 y 3
a) Rispetto al prodotto scalare considerato, la base canonica di R 3 è ortogonale? È
ortonormale?
b) Stabilire se i vettori a = (1, −1, 0) e b = (−1, 2, −1) costituiscono una base
ortogonale per il sottospazio U = Span(a, b).
27) Siano P1 ≡ (3, 2), P2 ≡ (1, 1) e P3 ≡ (5, −1) tre vertici consecutivi di un
parallelogramma del piano euclideo E2. Trovare:
a) le equazioni dei lati del parallelogramma;
b) il quarto vertice P4;
c) le equazioni delle diagonali e il loro punto di intersezione.
28) Data la retta r di equazione x + 2y + 3 = 0, trovare,
a) la retta s perpendicolare a r e passante per P ≡ (0, 1);
b) la retta t parallela a r e passante per Q ≡ (1, 0);
c) il punto B appartenente a r tale che l’area del triangolo ABC sia 28, con A ≡
(−3, 0) e C = s ∩ t.
29) Nel piano euclideo E2 si considerino le rette
r) x + 3y + 1 = 0, r ′ ) 3x + 4y − 2 = 0.
Nel fascio di rette da esse individuato determinare:
a) le equazioni delle rette parallele agli assi coordinati;
b) l’equazione della retta parallela alla retta t) 3x − y + 3 = 0;
c) l’equazione della retta perpendicolare alla retta p) 4x − 3y + 1 = 0;
d) le equazioni delle rette aventi distanza 1 dall’origine O del riferimento.
30) Trovare le equazioni cartesiane della retta dello spazio euclideo E3
a) contenente i punti A ≡ (1, 0, 1) e B ≡ (1, 2, 3);
x + y + 2 = 0
b) contenente il punto A ≡ (1, 0, 1) e parallela alla retta r
x − y − z + 3 = 0 ;
c) contenente il punto A ≡ (1, 0, 1) e perpendicolare al piano σ) x + 2y −3z +5 = 0.
31) Trovare il piano dello spazio euclideo E3
a) contenente i punti A ≡ (1, 2, 0), B ≡ (0, 0, −3) e C ≡ (2, 0, −1);
b) contenente il punto A ≡ (1, 2, 0) e parallelo al piano σ) 2x − 3y + 7z − 3 = 0;
5

6
x − y + 7 = 0
c) contenente il punto A ≡ (1, 2, 0) e perpendicolare alla retta r
x + y + z − 3 = 0 ;
x + y − z + 3 = 0
d) contenente il punto A ≡ (1, 2, 0) e la retta s
.
2x − z − 5 = 0
32) Nello spazio euclideo E3 si considerino le due rette
2x + y − z = 2
r
x + 2z = 1
2x + 2y = 2
s
y − 2z = 2.
a) Stabilire la posizione di r e s.
b) Calcolare la distanza tra r e s.
c) Scrivere le equazioni della retta t passante per P ≡ (1, 0, 0) e ortogonale a r e a
s.
33) È data, nello spazio euclideo E3, la retta s passante per il punto A ≡ (−1, 3, 0)
ed avente coefficienti direttori (1, 2, 2).
a) Stabilire, al variare del parametro reale λ, la mutua posizione tra s e la retta
rλ :
λx − 2y + (λ − 1)z + 7 = 0
2x − y + (λ − 2)z − 2 = 0
b) Determinare, se esistono, i valori del parametro λ tali che s ed rλ siano tra loro
ortogonali.
34) Nello spazio euclideo E3 si considerino le rette r(α) e s(α) al variare di α ∈ R
(3 − α)x − 3y + 5z = 3 − α 3y + 2z = α
r(α)
s(α)
x + y + 3z = 1
(1 − α)x − 2y + (1 + α)z = 1 − α
a) Studiare la posizione delle due rette al variare di α.
b) Nei casi in cui r(α) e s(α) sono distinte e complanari, scrivere l’equazione del
piano che le contiene.
35) Studiare, al variare del parametro reale λ la mutua posizione della retta
3(λ − 2)x + 3y + λz = λ
r(λ)
x + 2y + 2z = λ − 1
e del piano π(λ) di equazione x + (λ − 2)y + (λ − 2)z = 1 dello spazio euclideo E 3 .
Posto λ = 4, determinare
a) il piano contenente r e ortogonale a π;
b) il piano contenente r e parallelo a π.
36) Nello spazio euclideo E3, si considerino i piani
π1) x + y − z = 0 π2) x − y − 2z = −1
a) Si determini il piano π3, parallelo al piano α) 4x − 6z − 3 = 0 ed appartenente
al fascio F individuato da π1 e π2.

) Si calcoli la distanza dall’origine del riferimento dalla retta r, asse del fascio F.
37) Nello spazio euclideo E3 si considerino i punti A ≡ (1, 0, 0) e B ≡ (1, 0, −1) e
la retta r) x + 2 = y = z − 1.
a) Scrivere l’equazione del piano α passante per A e per B e parallelo ad r.
b) Determinare i punti C della retta r che formano con A e B un triangolo di area
3/2.
38) Nello spazio euclideo E3 si considerino le rette
x + y = 2
r :
x − y = 2z
y = z + 2
s :
x − y = z
a) Stabilire la posizione di r e s.
b) Detti R e S i punti di intersezione di r e s rispettivamente con i piani coordinati
xz e xy, determinare il volume del tetraedro OP RS, con O ≡ (0, 0, 0).
7

8
Soluzioni
1) c /∈ Span({a, b}); d ∈ Span({a, b}).
2) dim(Span(A)) = 2; una base è
B = {a, b}.
−2 −4 0 0
3) dim W1 = 2, una base di W1 è
, ; dim W2 = 2, una base
0 1 1 0
2 4 1 1
di W2 è
, .
0 −1 1 3
4) dim W1 = 3, una base di W1 è {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, −1)}. W2 non è un
sottospazio vettoriale.
5) dim W = 2.
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ⎬
6) dim W = 3; una base è ⎝ −1 0 0 ⎠ , ⎝ 0 0 0 ⎠ , ⎝ 0 0 1 ⎠
⎩
⎭
0 0 0 −1 0 0 0 −1 0
.
6 −1
7)
−5/2 1/2
⎛
⎞
0 0 1
8) X = ⎝ −1 0 0 ⎠
0 1 −1
9) A2 ⎛ ⎞
0 0 0
− A − 2I3 = ⎝ 0 0 0 ⎠
0 0 0
⎧ ⎛ ⎞ ⎫
⎨ a b c
⎬
10) W = A = ⎝ 0 a b ⎠ : a, b, c ∈ R ; dim W = 3
⎩ ⎭
0 0 a
11) (1, −1, 2, 2) ; ∞2 soluzioni; (1, 0, 1, 0).
12) Ker f = {(0, 0, 0)}, Im f = R3 ⎛ ⎞
2 1 0
, quindi f è iniettiva e suriettiva; A = ⎝ 1 2 0 ⎠.
0 0 1
1 0 0 1
13) dim Ker ϕ = 2; una base di Ker ϕ è
,
; dim Im ϕ = 2 e
0 1 −1 0
Im ϕ = R2
−1/2 0 −5/2 −3/2
, quindi ϕ è suriettiva e non iniettiva. A =
.
1/2 1 1/2 3/2
−34x + 2y
14) f(x, y) =
,
14
−47x + 11y
,
14
−2x − 4y
,
14
73x + 41y
14
15) ν(p) = 3, sgn(p) = −1.
16) det(A) = −11, det(B) = −15, det(C) = 38, det(D) = 12.
17) det(A) = −4.
18) vedi libro esercizi, p.154
19) Esiste l’inversa per ogni λ ∈ R \ {1}.
20) (-14/5,13/5,54/25,46/25); (0,0,0,0); (1/2,-1/6,-1/3) (vedi libro esercizi p. 155)
21) ν(A) = 3
22) ν(A) = 3 per ogni k ∈ R
23) dim Uk = 3 se k = 1; dim Uk = 4 per ogni k ∈ R \ {1}. Il vettore u appartiene
a Uk per ogni k ∈ R.

24) Primo sistema: impossibile ∀a ∈ R \ {0}; sistema determinato (di Cramer) per
a = 0 con soluzione (1, −2, −1). Secondo sistema: determinato ∀a ∈ R\{1, −19/4};
possibile con ∞2 soluzioni per a = 1; impossibile per a = −19/4. Terzo sistema:
determinato ∀a ∈ R \ {3, 4}; impossibile per a = 3 e per a = 4.
25) A e C non sono diagonalizzabili per similitudine. B è simile alla matrice
⎛
⎞
0 0 0 0
⎜ 0 1 0 0 ⎟
diagonale D = ⎝
⎠ (si veda libro esercizi, pp. 295, 298, 300)
0 0 1 0
0 0 0 15
26) La base canonica non è ortogonale (e quindi neanche ortonormale) rispetto al
prodotto scalare considerato. I vettori a e b formano una base ortogonale per il
sottospazio U.
27) (a)P1P2 : x − 2y + 1 = 0; P2P3 : x + 2y − 3 = 0; P1P4 : x + 2y − 7 = 0;
P3P4 : x − 2y − 7 = 0. (b) P4 ≡ (7, 0). (c) 3x + 2y − 13 = 0; x + 6y − 7 = 0; (4,1/2).
28) (a) 2x − y + 1 = 0. (b) x + 2y − 1 = 0. (c) B1 ≡ (−31, 14), B2 ≡ (25, −14).
29) (a) y + 1 = 0; x − 2 = 0. (b) 3x − y − 7 = 0. (c) 3x + 4y − 2 = 0. (d) y + 1 = 0;
4x + 3y− 5 = 0.
x − 1 = 0
x + y − 1 = 0 2x − y − 2 = 0
30) (a)
. (b)
. (c)
y − z + 1 = 0 x − y − z = 0 3x + z − 4 = 0 .
31) (a) x + y − z − 3 = 0. (b) 2x − 3y + 7z + 4 = 0. (c) x + y − 2z − 3 = 0. (d)
5x + y − 3z − 7 = 0.
32) (a) rette sghembe. (b) d = 2
2x − z − 2 = 0
√ . (c) t)
.
5 y = 0
33) (a) rette sghembe ∀λ ∈ R \ {2, 23/2}, parallele e distinte per λ = 2, incidenti
per λ = 23/2. (b) 7/2, -1.
34) (a) rette sghembe ∀α ∈ R \ {0, 13}, coincidenti per α = 0, incidenti per α = 13.
(b) 6x + y − 7z − 6 = 0.
35) La retta e il piano sono incidenti in un punto ∀λ ∈ R\{3, 4}, la retta è contenuta
nel piano per λ = 3, la retta e il piano sono paralleli e disgiunti per λ = 4. (a)
34x − 13y − 4z + 24 = 0. (b) x + 2y + 2z − 3 = 0.
36) (a) 2x − 3z + 1 = 0. (b) 21/98.
37) (a) x − y = 1. (b) C1 ≡ (−2, 0, 1); C2 ≡ (1, 3, 4).
38) (a) rette sghembe. (b) Volume=2/3.
9