esercizi di analisi matematica

y =
Accademia Militare - CdL Scienze Strategiche
Esercizi di ANALISI MATEMATICA
Esercizio 1. Si studino in modo completo le seguenti funzioni:
1 − x2
x 2 − 4 ; y = x2 + x
2 − x2 ; y = x3 + x2 − 2
x2 − 1
y = x2 − 1 4x2
; y = ; y =
4 − x2 2x − 1
y = 2x3
1 + x 2 ; y = x3 + 3x 2 + 4
; y =
1 + 2x
x2 2x2
; y =
− 3 x2 − 9 ;
1 + x
x
; y = ln (3x − 1); y =
x − 1 ln x ;
2x 2 + 3
x 3 + 5x 2 + 6x ;
x2 ; y = x + ln x; y =
y = x2 + 8x
3 − 2x2 ; y = x2 √
3x2 + 8x 2x + 5
+ 3; y =
; y = √ ;
2 − x
x2 + 3
y = 2x
2x − 1 ; y = x2 + 9
x − 4 ; y = ln(x + x2 3 − 2x
+ 1); y =
e3x π
2
0
Esercizio 2. Calcolare i seguenti integrali:
2
1
6x
x 2 + 1 dx
1
1
2
(3x 2 +1)sin (x 3 +x) dx
cos x e sinx dx
1
x ln x dx
cos x
1 + sin 2 x dx
π
2
x + 1
x dx
3
2 π
1
0
sin 2x
1 + sin 2 x dx
cos x √ 1 + sin x dx
x 2 5 (x 3 − 1) 4 dx
1
dx
9 + x2
5 + x
x 2 + 1 dx
1
0
x2 + 1
x − 1 dx
2
−2
1
sin(ln x) dx
x
1
x + x ln 2 x dx
4
(x + 1) 3 dx
x
√ x 2 + 1 dx
.
e tg x
e x cos e x dx
2x
dx
1 + x4 Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali applicando, anche ripetutamente,
la regola di integrazione per parti:
3x 2 ln x dx
1
x
−1
2 e x dx
1
π
2
π
4
cos 2 x dx
cos2x dx
1
cos2x tg x dx

ln x
dx
x3 π
0
sin x
dx
ex
x arctg x dx
Esercizio 4. Calcolare i seguenti integrali utilizzando le sostituzioni
suggerite:
2
0
1
1 + e x dx [ex = t];
√
9 + x
dx [
x
√
9 + x = t];
x √ 3x + 1 dx [ √ 3x + 1 = t];
√ 2x − 1
2x + 3 dx [√ 2x − 1 = t];
1
√ e x − 1 dx [ √ e x − 1 = t];
e x sin 2 e x dx [e x = t].
5. Calcolare i determinanti e, quando possibile, le inverse delle seguenti
matrici:
⎛
1 4
⎞
1
⎛
1 −1
⎞
1
A = ⎝2
2 1 ⎠ B = ⎝2
1 −1⎠
0 1 −1
3 0 0
⎛
1 6 0
⎞
0
⎛
1 2 4
⎞
6
⎜
C = ⎜−1
⎝ 0
1
1
2
0
1 ⎟
1⎠
⎜
D = ⎜ 3
⎝ 1
4
2
0
2
7 ⎟
1 ⎠
2 3 −1 1
−5 4 −1 −5
[Risultati: det A = 7, det B = 0, det C = −14, det D = 442.]
6. Risolvere, quando possibile, i seguenti sistemi lineari:
⎧
13x − 5y − 3z − t = 12 ⎧
⎪⎨
⎪⎨ 2x − 3y + 5z = 1
2x − y + t = 3
(a)
(b) x + y − z = 2
3x − y − z − t = 2
⎪⎩
⎪⎩
x − 4y + 6z = 1
5x − 2y − z = 5
⎧
⎪⎨ x − 5y + 6z = 0
(c) x − 3y = 4
⎪⎩
y − 3z = 2
⎧
−2x + y − z + t = 2
⎪⎨
2x + 2y + z + 2t = 0
(d)
−4x + 7y − z + 5t = 6
⎪⎩
−8x + 2y − 4z + 2t = 3
2

[Soluzioni: (a) il sistema è possibile con ∞ 2 soluzioni; (b) il sistema è
impossibile; (c) il sistema è possibile con ∞ 1 soluzioni; (d) il sistema è
determinato.]
7. Discutere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro λ ∈ R:
⎧
⎧
λx + λy + z + t = λ
3x + y + z = 1
⎪⎨
⎪⎨
x − λy + z = 3λ
(1 − λ)x − 2y + z = 1
(a)
(b)
2x + 2z + λt = 4
2x + 3y = λ
⎪⎩
⎪⎩
(1 − λ)x + 2y + t = −2λ
4x − y + (2 − λ)z = 2
⎧
⎪⎨ (1 − λ)x + y + z + t = 2
(c) x + λy = 2
⎪⎩
x + y + 3z − t = 4
⎧
x + αy − 3z + 4t = −1
⎪⎨
2x − y + 2z − 2t = 4
(e)
3x + y − z + αt = 3
⎪⎩
4x + 3y − 4z + 6t = 2
⎧
⎪⎨ 3x + 3y + 3z = α
(d) 3x + αy + z = 0
⎪⎩
y + αz = 2
[Soluzioni: (a) Per λ = 0, 1 il sistema è di Cramer, per λ = 0 è impossibile,
per λ = 1 è possibile con ∞ 2 soluzioni; (b) per λ = 0, 13 il sistema è
impossibile, per λ = 0 è possibile con ∞ 1 soluzioni, per λ = 13 ha una
soluzione; (c) per ogni λ ∈ R il sistema è possibile con ∞ 1 soluzioni. (d) il
sistema è possibile per ogni α = 1, è impossibile per α = 1. (e) il sistema è
possibile per ogni α ∈ R.]
8. Discutere il seguente sistema lineare, al variare del parametro α ∈ R:
⎧
⎪⎨ x + 2y − 3z = 1
x + y + z = 3
⎪⎩
αx + 3y − 2z = 2α
[Soluzioni: Sistema possibile e determinato per α = 2, la soluzione é
(2, 2 3
5 , 5 ); sistema possibile con ∞1 soluzioni per α = 2.]
3

9. Discutere il seguente sistema lineare, al variare del parametro k ∈ R:
⎧
x + ky − z = 0
⎪⎨
x − y = k − 1
3x − 6y − kz + 1 = 0
⎪⎩
= 0
x − 2y − kz + 1
3
[Soluzioni: sistema impossibile per k ∈ R − {−5, 0, 1}; possibile e determinato
per k = −5, 0, 1.]
10. Date le matrici
⎛
1
A = ⎝3
0
0
1
1
⎞
0
2⎠
0
⎛
0
⎜
B = ⎜1
⎝0
2
0
−2
0
2
1
⎞
1
0 ⎟
−1⎠
0
2 0 4
3
calcolare, se possibile, gli elementi dalla seconda colonna della matrice inversa
di A e di B.
[Soluzioni: la seconda colonna di A−1 é (0, 0, 1
2 ); B non é invertibile.]
4