CAPITOLO 7 FUNZIONI - DEFINIZIONE DI LIMITE - TEOREMI SUI ...

FUNZIONI
CAPITOLO 7
FUNZIONI - DEFINIZIONE DI LIMITE - TEOREMI SUI LIMITI
Riprendiamo ora lo studio delle funzioni che rappresentiamo con il simbolo f : A → B che
indica una legge che ad ogni elemento dell’insieme A (detto anche dominio e indicato con Df)
associa o fa corrispondere un solo elemento dell’insieme B. Chiamiamo codominio l’insieme
C f = { y ∈ B : ∃ x ∈ A : f ( x)
= y } . Ricordiamo pure le seguenti definizioni:
f iniettiva se x1 ≠ x2 equivale a f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
f suriettiva se C f = B
f biunivoca (o biiettiva) se iniettiva e suriettiva
f monotona crescente se
f monotona non decrescente se
f monotona decrescente se
x 1 < x2
⇒ f ( x1
) < f ( x2
)
x1 < x2
⇒ f ( x1
) ≤ f ( x2
)
x 1 < x2
⇒ f ( x1
) > f ( x2
)
f monotona non crescente se x < x ⇒ f x ) ≥ f ( x ) .
f monotona crescente o decrescente ⇒ f iniettiva
f simmetrica (o pari ) se f ( x ) = f ( - x )
f dispari se f ( x ) = - f ( - x )
f periodica di periodo T se f ( x ) = f ( x + T ).
Restrizioni e Prolungamenti
1
2
( 1
2
Dati una funzione f : A → R ed un insieme A ⊆ A , si dice restrizione della funzione
f all’insieme A1
(e si indica con il simbolo f A1
) la funzione f A1
: A1
→ R tale che
f A1
( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ A1
.
Dati una funzione f : A → R ed un insieme A ⊇ A , si dice prolungamento della
funzione f all’insieme A2
ogni funzione g : A → R tale che g A = f .
Composizione di funzioni
Date due funzioni f : A → R , g : B → R si definisce (quando esiste) funzione composta
25
2
1
2

g o f : A → R
A se
C f ⊆
B
Funzione inversa
la funzione tale che ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) ; la funzione g o f esiste in
=
D g .
Data una funzione f : A → R si definisce (quando esiste) funzione inversa quella funzione
−1
f : C f → R
Vale la proprietà :
f
iniettiva
su
1
tale che f Si ha funzione identità.
−
−1
( y ) = x ⇔ f ( x ) = y . f o f =
A
⇒ ∃ f
−1
.
Definizioni di limitatezza superiore (inferiore) e di estremo superiore (inferiore)
La funzione f : A → R si dice superiormente limitata in A se
∃ M ∈ R : f ( x ) ≤ M
, ∀ x ∈ A
.
La funzione f : A → R si dice limitata in A se lo è sia superiormente che inferiormente e ciò
equivale alla proprietà seguente :
∃ M > 0 : f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ A .
La scrittura sup f ( x ) = + ∞ equivale a f non limitata superiormente ossia equivale a
x ∈ A
* *
*
∀ M ∈ R , ∃ x = x ( M ) ∈ A : f ( x ) >
sup
x ∈ A
f ( x )
=
L ∈ R
⇔
• f ( x ) ≤ L , ∀ x ∈ A
•
inf
x ∈ A
* *
*
∀ ε > 0 ∃ x = x ( ε ) ∈ A : f ( x ) > L −
f ( x )
=
l
∈
R
⇔
• f ( x ) ≥ l , ∀ x ∈ A
•
M
inoltre
* *
*
∀ ε > 0 ∃ x = x ( ε ) ∈ A : f ( x ) < l + ε .
Definizione di limite
Siano f : A → R e x ∈ R punto di accumulazione per A, si dice che l ∈ R è limite
0
di f ( x ) per x che si avvicina ( senza raggiungerlo ) ad x0 e si scrive f ( x ) = l sse
ε
lim 0
x → x
∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 : 0 < x − x0
< δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) − l < ε .
Analogamente
lim 0
x → x
f ( x ) =
+
∞
,
∀ M > 0 ∃ δ = δ ( M ) > 0 : 0 < x − x0
< δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) > M
con
x
0
26
∈
R
⇔
;

lim
x → + ∞
f ( x ) =
l ∈ R sse
* *
*
∀ ε > 0 ∃ x = x ( ε ) > 0 : x > x , x ∈ A ⇒ f ( x ) − l < ε
lim f ( x )
x → + ∞
=
+
∞
⇔
∀ M > 0 ∃
*
x =
*
x ( M ) > 0 : x >
*
x , x ∈ A ⇒ f ( x ) > M .
(Completare con le seguenti definizioni f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) =
x
lim
→ x0
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = − ∞
x → − ∞
Limite di restrizioni
x → − ∞
x → + ∞
x → − ∞
Data una funzione f : A → R , preso un insieme A1 ⊆ A , sia
1 A f g = . Se x0 è
~
punto di accumulazione per A1 e g ( x ) = l ∈ R , l è detto limite della restrizione. In
lim
x → x0
base alle definizioni di limite e di restrizione si ha dunque
lim 0
x → x
f
.)
A ( x ) =
∀ ε > ∃ δ = δ ( ε ) > 0 : 0 < x − x < δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) − l < ε .
0 0
1
Vale la proprietà :
∃ lim f ( x ) =
x → x0
accumulazione per A1.
Casi particolari (con
l
~
∈ R
x ∈
{ }
0
⇒
R
)
∃
lim
x → x0
f
A
1
(
x )
1. A 1 = x : x > x0
allora lim f A1
( x ) = l
x → x
0
=
l
,
∀
A
1
1
⊆
A
l
sse
l
∈
R
purchè x0 sia di
è detto limite destro e si indica con il
simbolo f ( x ) = l (sempre se x0
è di accumulazione per A1). Ad esempio si ha la
lim +
0
x → x
seguente definizione
x
lim +
→ x0
f ( x )
∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 : x0
< x < x0
+ δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) − l < ε .
2. Se A 1 = { x : x < x0
} si ottiene il limite sinistro che si indica con f ( x ) .
x
lim −
→ x0
(Completare con le seguenti definizioni : f ( x ) = + ∞ , f ( x ) = − ∞ ,
x
lim −
→ x0
f ( x ) =
l
∈
R
,
x
lim −
→ x0
x
lim +
→ x0
f ( x ) =
Vale la seguente proprietà:
~
Se f ( x ) = l ∈ R ed
allora
l ≠ l
l
1
1
=
∃ +
0
l
2
2
lim 1
x → x
⇒
⇒
non
∃
esiste
lim
x0
x →
lim f ( x ) = l1
x → x
0
f
(
x
.
)
;
+
∞
,
∃
x →
−
x0
27
x
lim −
→ x0
x
f ( x )
lim +
→ x0
=
lim f ( x ) = l2
− ∞ .)
∈
~
R
=
l
∈
R
;
⇔

Caratterizzazione del limite
Vale la proprietà
~
lim f ( x ) = l ∈ R ( con x0
x → x0
∈
~
R
)
⇔
comunque si prenda una successione { x tale che , si ha
x =
lim ( x ) = l
n
f n
.
n
} n
lim 0 xn n
Per la proprietà precedente, i Teoremi validi per le successioni sussistono anche per le funzioni.
Teoremi sui limiti di funzioni 1 (caso x ∈ R )
Teorema 18 (di limitatezza locale)
Se
∃
lim 0
x → x
f
(
x
)
=
l
∈
∃ M > 0 , ∃ r > 0 : f
Teorema 19 (limite del valore assoluto)
Se
∃
lim 0
x → x
f
(
x
)
=
Teorema 20 (della permanenza del segno)
Se
∃
x
lim
→ x0
f
(
x
)
=
l
l
∈
∈
R
R
R
0
( x ) ≤ M , ∀ x ∈ ] x0
− r , x0
+ r [ .
allora ∃ f ( x ) = l .
−
{ 0 }
x
lim
→ x0
allora
∃ r > 0 : f ( x ) l > 0 , ∀ x ∈ ] x0
. − r , x0
+ r [ −
Teorema 21
Se
∃
lim
x → x
0
f
(
x
)
=
l
1
∈
R
,
∃
lim
x → x
0
0
g ( x ) =
0
l
2
∈ R
∃ r > 0 : f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀ x ∈ ] x − r , x + r [ −
Teorema 22 (limite di somma e prodotto)
Se
∃
∃
lim
x → x
0
f
(
x
)
=
l
1
∈
R
,
∃
lim
x → x
0
g ( x ) =
l
2
∈ R
{ 0 } .
inoltre
{ }
0
x allora l ≤ l .
allora
lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = l1
+ l2
e ∃ lim f ( x ) g ( x ) = l1
l2
x → x
0
x → x
0
1 Si sottintende sempre che x appartenga al dominio della funzione o delle funzioni considerate
28
.
1
2
allora

Teorema 23
Se
∃
lim f ( x ) = 0 e ∃ M > 0 , ∃ r > 0 : g ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ ] x0
− r , x0
+ r [
x → x
allora ∃
0
lim
→ x0
x
f ( x )
g ( x )
Teorema 24 (limite del reciproco)
~
Se ∃ f ( x ) = l ∈ R , allora
∃
x → x
lim 0
lim
x → x0
1
f ( x )
=
=
⎧ 1
⎪
se l ∈ R −
l
⎪
⎨ 0 se l = ± ∞
⎪ + ∞ ( − ∞ ) se l = 0
⎪
⎩
Teorema 25 (limite del quoziente)
Se
∃
∃ lim
x → x
lim
x → x
0
f
(
g ( x )
f ( x )
x
=
)
0 l
l
2
1
=
.
l
1
∈ R −
Teorema 26
Se ∃ f ( x ) = + ∞ ( − ∞ ) ed
lim
→ x0
x
0
.
{ 0 }
e
∃ r > 0 :
{ 0 } , ∃ lim g ( x ) = l ∈ R
x → x
0
( 0
0
f ( x ) > 0 ( < 0 )
2
allora
∃ M > 0 , ∃ r > 0 : g ( x ) > − M ( g x ) < M ) in ] x − r , x + r [
∃
x →
lim
x0
[
f ( x ) + g ( x ) ] = + ∞ ( − ∞ ) .
Teorema 27
Se ∃ f ( x ) = + ∞ ed
lim
x → x0
∃ M > 0 , ∃ r > 0 : g ( x ) > M g ( x ) < − M ) in ] x − r , x + r [
∃
x →
lim
x0
[
f ( x )
g ( x ) ] = + ∞ ( − ∞ ) .
( 0
0
allora
in
allora
Completare il Teorema precedente con il caso : f ( x ) = − ∞ e tutti i Teoremi
enunciati nel caso
x
0
=
±
∞
.
lim
x → x0
Teoremi di confronto (caso x0 ∈ R )
Teorema 28
Se ∃ r > 0 : f ( x ) ≤ g ( x ) in ] x − r , x + r [ − x } , allora
1)
lim
x → x
0
f ( x ) = + ∞
⇒
lim
x → x
0
0
g ( x ) = + ∞ ;
0
29
{ 0
] x
0
− r , x
0
+ r[
−
{ x }
0

2)
lim
x → x
0
g ( x ) = − ∞
⇒
lim
x → x
0
f ( x ) = − ∞ .
Teorema 29
Se ∃ r > 0 : f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) in ] x − r , x + r [ − x
1
ed ∃ ( x ) = l ∈ R per i = 1 , 2 allora
lim
→ x0
x
f i
Completare considerando i casi
x
0
2
= ± ∞ .
0
0
∃
x →
lim
x0
{ }
g ( x ) = l .
Teorema 30 (limiti di funzioni monotone)
Se f è monotona e x0 è punto di accumulazione per il suo dominio allora
∃
→
=
⎧
⎪ >
⎨
⎪
⎩ >
+ lim
x x0
inoltre
f ( x )
inf
x x0
sup
x x0
f ( x )
f ( x )
,
,
se
se
f
f
è non decrescente
è non crescente
∃
→
=
⎧
⎪ <
⎨
⎪
⎩ <
− lim
x x0
f ( x )
inf
x x0
sup
x x0
f ( x )
f ( x )
,
,
se
se
f
f
è non crescente
è non decrescente
Infinitesimi e infiniti
~
Una funzione f si dice infinitesima per x → x x ∈ R ) se f ( x ) = 0 .
Se f e g sono infinitesime per x che tende allo stesso punto x0 , si dicono infinitesimi
0
( 0
x
lim
→ x0
contemporanei. Per tali funzioni si dà la seguente definizione
⎧ 0 ⇔ f inf initesimo di ordine sup eriore a g
lim
x → x0
f ( x )
g ( x )
=
⎪
± ∞ ⇔ f inf initesimo di ordine inf eriore o g
⎨
⎪ l ∈ R − { 0 } ⇔ f e g inf initesimi dello stesso ordine
⎪
⎩ non esiste ⇔ f e g non confrontabili
Esempi:
preso x0 = 0 , si ha che
f(x) = x 2 è di ordine superiore a g ( x ) = x ;
f ( x ) = x è di ordine inferiore a g ( x ) = x 2 ;
f ( x ) = x è dello stesso ordine di g ( x ) = sin x ;
1
f ( x ) = x sin e g ( x ) = x sono non confrontabili.
x
Per tali funzioni vale il seguente Principio di sostituzione degli infinitesimi :
nello studio di quozienti di infinitesimi contemporanei si possono trascurare a numeratore e/o a
denominatore (ma separatamente) quegli infinitesimi che sono di ordine superiore rispetto ai
rimanenti.
Il simbolo o
30
0

f ( x )
Se lim = 0 ,
x → x0
g ( x )
f ( x ) = o ( 1 ) indica che f è un infinitesimo.
scriviamo f ( x ) = o ( g ( x )) per x → x , quindi la scrittura
Come già detto per le successioni, diremo che una funzione f è un infinito per
~
x → x x ∈ R ) se f ( x ) = ± ∞ .
0
( 0
x
lim
→ x0
Se f e g sono infiniti per x che tende allo stesso punto x0 , si dicono infiniti contemporanei.
Per tali funzioni si dà la seguente definizione
⎧ 0 ⇔ f inf inito di ordine inf eriore a g
lim
x → x0
f ( x )
g ( x )
=
⎪
± ∞ ⇔ f inf inito di ordine sup eriore o g
⎨
⎪ l ∈ R − { 0 } ⇔ f e g inf initi dello stesso ordine
⎪
⎩ non esiste ⇔ f e g non confrontabili
Esempi:
preso x0 = + ∞ , si ha che
f(x) = x 2 è di ordine superiore a g ( x ) = x ;
f ( x ) = x è di ordine inferiore a g ( x ) = x 2 ;
f ( x ) = x è dello stesso ordine di g ( x ) = 2 x ;
f ( x ) = x sin x e g ( x ) = x sono non confrontabili.
Per tali funzioni vale il seguente Principio di sostituzione degli infiniti :
nello studio di quozienti di infiniti contemporanei si possono trascurare a numeratore e/o a
denominatore (ma separatamente) quegli infiniti che sono di ordine inferiore rispetto ai rimanenti.
CONTINUITA’
CAPITOLO 8
CONTINUITA’
Sia f : A → R (con A intervallo, semiretta, unione di intervalli e semirette o tutto R), e
x0 ∈ A ( ⇒ x0
f si dice continua in x 0 se
di accumulazione per A),
lim
x → x0
f si dice continua a destra in x 0 se
f si dice continua a sinistra in x 0 se
Teorema 31
( ) ( 0 ) ; x f x f =
lim
+
x → x
0
lim
−
x → x0
( ) ( 0 ) ; x f x f =
( ) ( 0 ) . x f x f =
31
0

f continua in x ⇔ f continua a destra e a sinistra in
0
f si dice discontinua se non vale la precedente proprietà’.
Tipi di discontinuità’ :
1) primo tipo (o a salto) se ∃ lim+ x x
f ( x)
= l1
∈ R ed ∃ lim− x x
e l
1
≠
l
2
;
→ 0
x 0
.
→ 0
f ( x)
l ∈ R
2) secondo tipo se almeno uno dei limiti precedenti non esiste oppure non è finito.
Ricordando i Teoremi sui limiti, valgono le seguenti proprietà’ delle funzioni continue in un punto :
f continua in x 0 ⇒
1) f localmente limitata in x 0 ,
= 2
2) se f( x ) 0 allora ∃ r > 0 : > 0 in ) ( ) x f x f ] x − r x + r [ I A ,
0 ≠
3) | f | continua in x 0 ,
4) se f( ) 0 allora
x
0 ≠
Se f e g sono continue in x0
, allora:
5) f + g è continua in x 0 ,
6) f g è continua in x 0 ,
( 0
1
è continua in x 0 .
f
7) g / f è continua in x , se f( x ) 0 .
Vale poi il seguente
0
0 ≠
Teorema 32 (composizione di funzioni continue)
Se f e’ continua in x0 e g e’ continua in y0 = f(x0 ) allora g o f è continua in x0
.
Ponendo x = x0 + h si ottiene la seguente definizione equivalente di continuità’ in x0 :
f ( x + h ) = f ( x ) .
lim 0
0
h → 0
Funzioni continue fondamentali (nel rispettivo dominio)
n
x ;
α
x con α ∈ R ; sin x ;
x
cos x ; tg x ; a con a > 0 ; log x con a > 0 e a ≠ 1 .
32
0
, 0
a

Proprietà’ delle funzioni continue in intervalli chiusi
Sia f : [ a,
b]
→ R , essa si dice continua in [ a , b ] se è continua in ogni punto di [ a , b ] .
Per queste funzioni valgono i seguenti Teoremi:
Teorema 33 (di Weierstrass):
f : [ a,
b]
→ R , continua in [ a, b]
⇒ f ⇒ limitata inoltre f ha massimo e minimo
ossia
∃ x x ∈ [ a , b ] : f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) , ∀ x ∈ [ a , b ] ,
1 , 2
1
2
( x1 è detto punto di minimo assoluto per f e x2 punto di massimo assoluto per f).
Teorema 34 (zeri di funzioni continue)
f : [ a,
b]
→ R , continua in [ a , b ] e f ( a ) f ( b ) < 0 ⇒
∃ x ∈ ] a , b [ : f ( x0
) = 0 .
0
Teorema 35 (proprietà dei valori intermedi)
f : [ a,
b]
→ R , continua in [ a , b ], presi y1
, y2 in C f con y1 < y2 allora
∀ y ∈ y , y [ si ha che ∃ x ∈ [ a , b ] : f ( x ) = y .
] 1 2
Dai Teoremi precedenti, se f : [ a,
b]
→ R è continua in [ a , b ] , allora il suo
codominio è costituito dall’intervallo [ m , M ] dove
m = f ( x ) ; M = f ( x ) .
min
x ∈ [ a , b ]
max
x ∈ [ a , b ]
Teorema 36 (continuità della funzione inversa)
Se f : [ a,
b ] → R è continua in [ a , b ] e crescente o decrescente in [ a , b ] allora
− 1
∃ f continua in [ m , M ].
CAPITOLO 9
DERIVATE
DERIVATA
Sia f : A → R (con A come per la continuità), presi x0
in A e
h ∈ R 0 : x + ∈ A , si chiama rapporto incrementale della funzione f nel punto x0
{ } h
− 0
f ( x0
+ h ) − f ( x0
)
la quantità .
h
Diremo che f è derivabile in x0
⇔
∃
lim
h → 0
f ( x + h ) − f ( x
33
0
h
0
)
=
l
∈ R ,

il numero l si chiama derivata di f in x0 e si indica con
f ' ( x0
) , D ( f ) ( x0
) ,
d f
d x
.
x = x
Con il cambiamento di variabile x0 + h = x si ha
f è derivabile in x0 ⇔
Si ha che
∃ lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0
x − x0
)
= l ∈ R .
f è derivabile a destra in x0 ⇔ ∃ lim+
h → 0
f ( x0
+ h ) −
h
f ( x0
)
la derivata destra si indica con ( x ) , f ' ( x ) .
0
f '+ 0
d 0
Teorema 37
Se ∃ ( ) allora f è continua in x
x f 0 .
' 0
Regole di derivazione
Teorema 38 (derivata di somma e prodotto)
Se ∃ ( ) ed allora f + g e f g sono derivabili in x
x f ) ( x g ∃ 0 e
=
l
∈ R ,
' 0 ' 0
( f + g ) ( x0
) = f ' ( x0
) + g'
( x 0 ) ; D ( f g ) ( x0
) = f ( x0
) g'
( x0
) f ' ( x0
) g ( x0
D +
Teorema 39 (derivata del reciproco)
Se ∃ ' ( 0 ) e f ( x x f 1
0 ) ≠ 0 allora
f
1
D ( ) ( x0
) = −
f
f ' ( x
f
2
0
( x
Dai due Teoremi precedenti si ottiene il seguente
Se ∃ ( ) , f ( x x f 0 ) ≠ 0 e ( ) allora x g ∃
D
(
f
g
' 0
) ( x
0
)
=
f ' ( x
0
)
0
)
)
.
g ( x
)
0
2
g
−
( x
' 0
f ( x
0
)
è derivabile in x0 e
0
)
g ' ( x
0
f
è derivabile in x0 e
g
)
.
Teorema 40 (derivata di funzioni composte)
Se ∃ ( ) , ∃ con y
x f ) ( y g 0 = f ( x0 ) allora g o f è derivabile in x0
e
' 0
' 0
D ( g o f ) ( x0
) = g ' ( y0
) f ' ( x0
) = g ' ( f ( x0
) ) f ' ( x0
Teorema 41 (derivata della funzione inversa)
Se ∃ ( ) ≠ 0 e allora è derivabile in y
x f
− 1
−1
∃ f
f 0 = f ( x0 ) e
' 0
−1
D ( f ) ( y ) =
0
1
f ' ( x
0
)
.
34
)
.
) .

Significato geometrico della derivata
Il numero f ’ ( x0 ) è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione
y = f ( x ) nel punto P0 ≡ ( x0 , f ( x0 ) ) dunque tale retta ha equazione
y = f ( x0 ) + f ’ ( x0 ) ( x - x0 ).
Se ∃ lim
h → 0
f ( x0
+ h ) −
h
f ( x0
)
= ± ∞ ,
Esempio : ( ) , 0 0 . =
= x x x f
35
f si dice derivabile in senso generalizzato in x0.