Prova scritta di Algebra Lineare con soluzione
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Sottraggo la se<strong>con</strong>da riga dalla prima:<br />
⎛<br />
⎝<br />
0 0 0 | −5/3<br />
0 −5/3 2 | 8/3<br />
1 1 −1 | 0<br />
La prima riga mostra che il sistema è incompatibile.<br />
3. i) verifico se i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente in<strong>di</strong>pendenti. Questi vettori appartengono<br />
tutti al sottospazio vettoriale Z <strong>di</strong> W generato da z1, z2, z3, z4. Costruisco la matrice le cui colonne<br />
esprimono le componenti <strong>di</strong> questi vettori rispetto alla base <strong>di</strong> Z formata dai vettori z1, z2, z3, z4.<br />
M =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 1 1<br />
−1 −1 −1 0<br />
0 −1 −1 0<br />
0 0 −1 0<br />
Calcolo il determinante <strong>di</strong> M, sviluppando se<strong>con</strong>do la regola <strong>di</strong> Laplace rispetto alla quarta colonna.<br />
Si ottiene<br />
<br />
<br />
−1<br />
det(M) = − <br />
0<br />
0<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
<br />
−1 <br />
<br />
−1 <br />
<br />
−1 = −(−1)3 = 1 = 0<br />
Pertanto i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente in<strong>di</strong>pendenti.<br />
ii) Se α1, α2, α3, α4 sono numeri reali tali che risulti α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = 0, allora risulta<br />
anche<br />
F (α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4) = F (0)<br />
Per la linearità <strong>di</strong> F e sapendo che F (0) = 0 otteniamo<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
α1F (v1) + α2F (v2) + α3F (v3) + α4F (v4) = 0<br />
α1W1 + α2W2 + α3W3 + α4W4 = 0<br />
Avendo già visto al punto i) che i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente in<strong>di</strong>pendenti, dalla relazione<br />
precedente segue necessariamente α1 = α2 = α3 = α4 = 0. Pertanto anche i vettori v1, v2, v3, v4<br />
risultano linearmente in<strong>di</strong>pendenti.<br />
4. Abbiamo<br />
Σ0 = {λ(0, 1, 0, 0, 1) + µ(0, 0, 1, 2, 0) : λ, µ ∈ R} = {(0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ ∈ R}<br />
Dunque (0, λ, µ, 2µ, λ) è la <strong>soluzione</strong> generale del sistema omogeneo associato. Da un teorema sappiamo<br />
che la <strong>soluzione</strong> generale del sistema non omogeneo (compatibile) si ottiene sommando a una <strong>soluzione</strong><br />
particolare — che nel nostro caso è (1, 1, 2, 1, 1) — la <strong>soluzione</strong> generale del sistema omogeneo associato.<br />
Abbiamo pertanto<br />
Σ = {(1, 1, 2, 1, 1) + (0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ ∈ R} = {(1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ) : λ, µ ∈ R}<br />
Ve<strong>di</strong>amo se (1, 2, 3, 3, 2) ∈ Σ imponendo<br />
(1, 2, 3, 3, 2) = (1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ)<br />
e ottenendo il seguente sistema <strong>di</strong> equazioni lineari nelle incognite λ e µ.<br />
⎧<br />
1<br />
⎪⎨ 2<br />
=<br />
=<br />
1<br />
1 + λ<br />
3<br />
⎪⎩<br />
3<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2 + µ<br />
1 + 2µ<br />
1 + λ