Prova scritta di Algebra Lineare con soluzione

Trovare un autovettore e relativo autovalore dell’operatore lineare F 2 − 3G.
6. [15 punti] Trovare un sottospazio vettoriale W di R 4 tale che risulti R 4 = U ⊕ W dove U =
{(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + z = 0, x − t = 0}.
7. [10 punti] Calcolare il determinante della seguente matrice
⎛
1
⎜ 2
⎜
⎜−2
⎝−1
0
−1
3
−1
−1
2
1
−1
5
−1
0
−1
⎞
−3
2 ⎟
0 ⎟
1 ⎠
0 1 3 2 0
SOLUZIONI
1. Trasformo la matrice assegnata in una matrice a gradini mediante operazioni elementari sulle righe.
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
2
1
3
6
3
−2
−4
−2
1
2
−1
⎞
2
5 ⎟
5 ⎠
0 3 9 −6 3 0
Sottraggo il doppio della prima riga dalla seconda riga; poi sottraggo la prima riga dalla terza riga;
infine sottraggo il triplo della prima riga dalla quarta riga:
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
3
0
0
−2
0
0
1
0
−2
2
1
3
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0 0 −6
Scambio la seconda riga con la terza:
⎛
⎜
⎝
0 1 3 −2 1 2
0 0 0 0 −2 3
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 −6
Sommo alla quarta riga la terza riga moltiplicata per 6:
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
3
0
0
−2
0
0
1
−2
0
⎞
2
3 ⎟
1 ⎠
0 0 0 0 0 0
Abbiamo ottenuto una matrice a gradini con tre righe non nulle, pertanto il rango della matrice è
uguale a 3.
2. Il sistema si presenta come un sistema di tre quazioni lineari in tre incognite. La matrice incompleta
del sistema è
⎛
m −1
⎞
2m
A = ⎝ 1 −m 1 ⎠
1 1 −1
Calcolo il determinante di A:
det(A) =
m −1 2m
1 −m 1
1 1 −1
⎞
⎟
⎠