Prova scritta di Algebra Lineare con soluzione
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Trovare un autovettore e relativo autovalore dell’operatore lineare F 2 − 3G.<br />
6. [15 punti] Trovare un sottospazio vettoriale W <strong>di</strong> R 4 tale che risulti R 4 = U ⊕ W dove U =<br />
{(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + z = 0, x − t = 0}.<br />
7. [10 punti] Calcolare il determinante della seguente matrice<br />
⎛<br />
1<br />
⎜ 2<br />
⎜<br />
⎜−2<br />
⎝−1<br />
0<br />
−1<br />
3<br />
−1<br />
−1<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
5<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
⎞<br />
−3<br />
2 ⎟<br />
0 ⎟<br />
1 ⎠<br />
0 1 3 2 0<br />
SOLUZIONI<br />
1. Trasformo la matrice assegnata in una matrice a gra<strong>di</strong>ni me<strong>di</strong>ante operazioni elementari sulle righe.<br />
⎛<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
6<br />
3<br />
−2<br />
−4<br />
−2<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
⎞<br />
2<br />
5 ⎟<br />
5 ⎠<br />
0 3 9 −6 3 0<br />
Sottraggo il doppio della prima riga dalla se<strong>con</strong>da riga; poi sottraggo la prima riga dalla terza riga;<br />
infine sottraggo il triplo della prima riga dalla quarta riga:<br />
⎛<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
−2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 0 −6<br />
Scambio la se<strong>con</strong>da riga <strong>con</strong> la terza:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 3 −2 1 2<br />
0 0 0 0 −2 3<br />
0 0 0 0 0 1<br />
0 0 0 0 0 −6<br />
Sommo alla quarta riga la terza riga moltiplicata per 6:<br />
⎛<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−2<br />
0<br />
⎞<br />
2<br />
3 ⎟<br />
1 ⎠<br />
0 0 0 0 0 0<br />
Abbiamo ottenuto una matrice a gra<strong>di</strong>ni <strong>con</strong> tre righe non nulle, pertanto il rango della matrice è<br />
uguale a 3.<br />
2. Il sistema si presenta come un sistema <strong>di</strong> tre quazioni lineari in tre incognite. La matrice incompleta<br />
del sistema è<br />
⎛<br />
m −1<br />
⎞<br />
2m<br />
A = ⎝ 1 −m 1 ⎠<br />
1 1 −1<br />
Calcolo il determinante <strong>di</strong> A:<br />
<br />
<br />
<br />
det(A) = <br />
<br />
<br />
m −1 2m<br />
1 −m 1<br />
1 1 −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠