Prova scritta di Algebra Lineare con soluzione

Università di Modena e Reggio Emilia
Facoltà di Scienze MM.FF.NN.
PROVA DI ALGEBRA LINEARE (esercitazione del 18 gennaio 2011)
ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO.
• Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra su ciascuno dei fogli allegati e anche
su eventuali fogli aggiuntivi che verranno utilizzati
• Il tempo a disposizione per lo svolgimento è di centoventi minuti dal via.
• Il punteggio totale a disposizione è di 100 punti. Il punteggio di ciascun quesito/esercizio è indicato
a fianco dello stesso.
• Scrivere esplicitamente i calcoli o comunque motivare le risposte: utilizzare eventualmente fogli
aggiuntivi
1. [10 punti] Calcolare il rango della seguente matrice:
⎛
0
⎜
⎜0
⎝0
1
2
1
3
6
3
−2
−4
−2
1
2
−1
⎞
2
5 ⎟
5⎠
0 3 9 −6 3 0
2. [20 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale m:
⎧
⎨
⎩
mX −Y +2mZ = 1
X −mY +Z = m + 2
X +Y −Z = 0
3. [15 punti] Siano V , W spazi vettoriali sul campo K e sia F : V → W una funzione lineare. Siano
z1, z2, z3, z4 vettori linearmente indipendenti di F (V ). Siano
w1 = z1 − z2, w2 = z1 − z2 − z3, w3 = z1 − z2 − z3 − z4, w4 = z1
Siano v1, v2, v3, v4 vettori di V tali che risulti
F (v1) = w1, F (v2) = w2, F (v3) = w3, F (v4) = w4.
i) Stabilire se i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente dipendenti o indipendenti.
ii) Stabilire se i vettori v1, v2, v3, v4 sono linearmente dipendenti o indipendenti.
4. [15 punti] Sia AX = b un sistema compatibile di equazioni lineari in cinque incognite a coefficienti
reali. Sia (1, 1, 2, 1, 1) una soluzione del sistema. Sia {(0, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 2, 0)} una base per l’insieme
Σ0 delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX = 0. Trovare l’insieme Σ di tutte le soluzioni
del sistema. Stabilire, inoltre, se (1, 2, 3, 3, 2) ∈ Σ
5. [15 punti] Siano F, G : V → V operatori lineari dello spazio vettoriale V . Supponiamo esista un
vettore u di V tale che
• u è autovettore di F relativo all’autovalore λ = 4;
• u è autovettore di G relativo all’autovalore λ = 6.

Trovare un autovettore e relativo autovalore dell’operatore lineare F 2 − 3G.
6. [15 punti] Trovare un sottospazio vettoriale W di R 4 tale che risulti R 4 = U ⊕ W dove U =
{(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + z = 0, x − t = 0}.
7. [10 punti] Calcolare il determinante della seguente matrice
⎛
1
⎜ 2
⎜
⎜−2
⎝−1
0
−1
3
−1
−1
2
1
−1
5
−1
0
−1
⎞
−3
2 ⎟
0 ⎟
1 ⎠
0 1 3 2 0
SOLUZIONI
1. Trasformo la matrice assegnata in una matrice a gradini mediante operazioni elementari sulle righe.
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
2
1
3
6
3
−2
−4
−2
1
2
−1
⎞
2
5 ⎟
5 ⎠
0 3 9 −6 3 0
Sottraggo il doppio della prima riga dalla seconda riga; poi sottraggo la prima riga dalla terza riga;
infine sottraggo il triplo della prima riga dalla quarta riga:
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
3
0
0
−2
0
0
1
0
−2
2
1
3
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0 0 −6
Scambio la seconda riga con la terza:
⎛
⎜
⎝
0 1 3 −2 1 2
0 0 0 0 −2 3
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 −6
Sommo alla quarta riga la terza riga moltiplicata per 6:
⎛
0
⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
3
0
0
−2
0
0
1
−2
0
⎞
2
3 ⎟
1 ⎠
0 0 0 0 0 0
Abbiamo ottenuto una matrice a gradini con tre righe non nulle, pertanto il rango della matrice è
uguale a 3.
2. Il sistema si presenta come un sistema di tre quazioni lineari in tre incognite. La matrice incompleta
del sistema è
⎛
m −1
⎞
2m
A = ⎝ 1 −m 1 ⎠
1 1 −1
Calcolo il determinante di A:
det(A) =
m −1 2m
1 −m 1
1 1 −1
⎞
⎟
⎠

Sommo la terza colonna alla prima, poi sommo la terza colonna alla seconda:
3m
det(A) =
2
0
2m − 1
1 − m
0
2m
1
−1
Sviluppo questo determinante secondo la regola di Laplace rispetto alla terza riga:
det(A) = (−1) 3m 2m − 1
2 1 − m = −[3m(1 − m) − 2(2m − 1)] = 3m2 + m − 2
Le radici del polinomio 3m2 + m − 2 sono m = 2/3 e m = −1. Pertanto per m = −1, 2/3 il sistema è
di Cramer con unica soluzione data da:
1 −1 2m
m + 2 −m 1
0 1 −1
X =
3m2
m 1 2m
1 m + 2 1
1 0 −1
, Y =
+ m − 2
3m2
m −1 1
1 −m m + 2
1 1 0
, Z =
+ m − 2
3m2 .
+ m − 2
Sviluppando i determinanti otteniamo
X = 2m2 + 4m − 3
3m2 + m − 2 , Y = −3m2 − 6m + 2
3m2 −(m + 1)2
, Z =
+ m − 2 3m2 + m − 2 .
m = −1 La matrice completa diventa:
⎛
⎝
−1 −1 −2 | 1
1 1 1 | 1
1 1 −1 | 0
Sommo la prima riga alla seconda, poi sommo la prima riga alla terza:
⎛
−1 −1 −2 |
⎞
1
⎝ 0 0 −1 | 2 ⎠
0 0 −3 | 1
Sommo alla terza riga la seconda riga moltiplicata per −3:
⎛
−1 −1 −2 | 1
⎞
⎝ 0 0 −1 | 2 ⎠
0 0 0 | −5
L’ultima riga mostra che il sistema è incompatibile.
m = 2/3 La matrice completa diventa:
⎛
2/3 −1 4/3 | 1
⎝ 1 −2/3 1 | 8/3
1 1 −1 | 0
Sottraggo la terza riga dalla seconda, poi sommo alla prima riga la terza riga moltiplicata per −2/3:
⎛
0 −5/3 2 | 1
⎞
⎝ 0 −5/3 2 | 8/3 ⎠
1 1 −1 | 0
⎞
⎠
⎞
⎠

Sottraggo la seconda riga dalla prima:
⎛
⎝
0 0 0 | −5/3
0 −5/3 2 | 8/3
1 1 −1 | 0
La prima riga mostra che il sistema è incompatibile.
3. i) verifico se i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente indipendenti. Questi vettori appartengono
tutti al sottospazio vettoriale Z di W generato da z1, z2, z3, z4. Costruisco la matrice le cui colonne
esprimono le componenti di questi vettori rispetto alla base di Z formata dai vettori z1, z2, z3, z4.
M =
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1
−1 −1 −1 0
0 −1 −1 0
0 0 −1 0
Calcolo il determinante di M, sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla quarta colonna.
Si ottiene
−1
det(M) = −
0
0
−1
−1
0
−1
−1
−1 = −(−1)3 = 1 = 0
Pertanto i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente indipendenti.
ii) Se α1, α2, α3, α4 sono numeri reali tali che risulti α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = 0, allora risulta
anche
F (α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4) = F (0)
Per la linearità di F e sapendo che F (0) = 0 otteniamo
⎞
⎠
⎞
⎟
⎠
α1F (v1) + α2F (v2) + α3F (v3) + α4F (v4) = 0
α1W1 + α2W2 + α3W3 + α4W4 = 0
Avendo già visto al punto i) che i vettori w1, w2, w3, w4 sono linearmente indipendenti, dalla relazione
precedente segue necessariamente α1 = α2 = α3 = α4 = 0. Pertanto anche i vettori v1, v2, v3, v4
risultano linearmente indipendenti.
4. Abbiamo
Σ0 = {λ(0, 1, 0, 0, 1) + µ(0, 0, 1, 2, 0) : λ, µ ∈ R} = {(0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ ∈ R}
Dunque (0, λ, µ, 2µ, λ) è la soluzione generale del sistema omogeneo associato. Da un teorema sappiamo
che la soluzione generale del sistema non omogeneo (compatibile) si ottiene sommando a una soluzione
particolare — che nel nostro caso è (1, 1, 2, 1, 1) — la soluzione generale del sistema omogeneo associato.
Abbiamo pertanto
Σ = {(1, 1, 2, 1, 1) + (0, λ, µ, 2µ, λ) : λ, µ ∈ R} = {(1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ) : λ, µ ∈ R}
Vediamo se (1, 2, 3, 3, 2) ∈ Σ imponendo
(1, 2, 3, 3, 2) = (1, 1 + λ, 2 + µ, 1 + 2µ, 1 + λ)
e ottenendo il seguente sistema di equazioni lineari nelle incognite λ e µ.
⎧
1
⎪⎨ 2
=
=
1
1 + λ
3
⎪⎩
3
2
=
=
=
2 + µ
1 + 2µ
1 + λ

Questo sistema risulta compatibile, ammettendo la soluzione λ = 1, µ = 1. Pertanto risulta (1, 2, 3, 3, 2) ∈
Σ
5. Abbiamo F (u) = 4u, G(u) = 6u. Calcoliamo
F 2 (u) = F (F (u)) = F (4u) = 4F (u) = 4(4u) = 16u
3G(u) = 3(6u) = 18u
(F 2 − 3G)(u) = F 2 (u) − 3G(u) = 16u − 18u = −2u
Otteniamo dunque che u è un autovettore dell’operatore lineare F 2 − 3G relativo all’autovalore −2.
6. Il sottospazio vettoriale U risulta essere l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di equazioni
lineari x +z = 0
x −t = 0
che è compatibile di rango 2. Scelte y e t come variabili libere abbiamo
U = {(x, y, −x, x) : x, y ∈ R}
quindi dim(U) = 2 e otteniamo una base di U ponendo nell’ordine x = 1, y = 0 ottenendo il vettore
u1 = (1, 0, −1, 1), x = 0, y = 1 ottenendo il vettore u2 = (0, 1, 0, 0). Posto u3 = (0, 0, 1, 0), u4 =
(0, 0, 0, 1) e considerando la matrice L avente per righe i vettori u1, u2, u3, u4, abbiamo
L =
⎛
⎜
⎝
1 0 −1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Pertanto L, essendo una matrice a gradini con quattro righe non nulle, ha rango 4; i vettori u1, u2,
u3, u4 formano una base di R 4 e quindi risulta anche
⎞
⎟
⎠
R 4 = 〈u1, u2〉 ⊕ 〈u3, u4〉
Ponendo W = 〈u3, u4〉 abbiamo dunque R 4 = U ⊕ W .
7. Calcoliamo
1 0 −1 5 −3
2 −1 2 −1 2
−2 3 1 0 0
−1 −1 −1 −1 1
0 1 3 2 0
Sommo la quinta colonna a ciascuna delle prime quattro colonne:
−2
4
−2
0
0
−3
1
3
0
1
−4
4
1
0
3
2
1
0
0
2
−3
2
0
1
0
Sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla quarta riga si ottiene:
−2
(−1) 4
−2
0
−3
1
3
1
−4
4
1
3
2
−1
1
0 = (−1)2 2
−1
2 0
−3
1
3
1
−4
4
1
3
2
1
0
2

Alla seconda riga sommo la prima moltiplicata per 2. Poi dalla terza riga sottraggo la prima:
−1
−2 0
0
0
−3
−5
6
1
−4
−4
5
3
2
5
−2
2
Sviluppando secondo la regola di Laplace rispetto alla prima colonna abbiamo:
−5
(−2)(−1)
6
1
−4
5
3
5
−5
−2
= 2
6
2 1
−4
5
3
0
4
3 = 2
−5 5
3
4
3 + 4 6
1
4
3 = 2(−15 + 56).
Pertanto il determinante risulta uguale a 82.