ESEMPIO DI PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

Geometria e Algebra Lineare – (Curriculum Ambientale) – Prova scritta del 1
COGNOME: NOME:
TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda.
Risposte
Domande 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 In E 2 , la retta parallela alla retta di equazione ax + by + c = 0, passante per il punto P ≡ (x0, y0), ha equazione
[1] a(x − x0) + b(y − y0) + d = 0
[2] a ′ (x − x0) + b ′ (y − y0) = 0, con aa ′ + bb ′ = 0
[3] b(x − x0) − a(y − y0) = 0
[4] a(x − x0) + b(y − y0) = 0
2 Il determinante di una matrice è sempre zero se
[1] una riga è combinazione lineare di altre righe
[2] è uguale al determinante della matrice trasposta
[3] si somma ad una riga una combinazione lineare di altre righe
[4] si scambiano due colonne
3 La retta di equazione
5x + λ 2 z = 0
x + 2y − 25z = λ
ed il piano di equazione 6x + 2y = 5 sono:
[1] incidenti in un punto ∀λ ∈ R − {5, −5}, paralleli disgiunti per λ ∈ {5, −5}.
[2] contenuti l’una nell’altro per λ = 5, paralleli disgiunti per λ = −5, incidenti in un punto ∀λ ∈ R − {5, −5}.
[3] incidenti in un punto per λ ∈ {5, −5}, paralleli disgiunti ∀λ ∈ R − {5, −5}.
[4] incidenti in un punto per λ = 5, paralleli disgiunti per λ = −5, contenuti l’una nell’altro ∀λ ∈ R − {5, −5}.
4 La trasformazione lineare f : R3 → R2
2 0 −1
avente come matrice associata A =
rispetto alla base B =
0 −1 1
((1, −1, 0), (0, 1, 0), , (0, 0, 2)) di R3 e alla base B ′ = ((0, 2), (−1, 0)) di R2 è
[1] f((x, y, z)) = (2x − z
z
2 , −x − y + 2 )
[2] f((x, y, z)) = (y − z, 4x − 2z)
[3] f((x, y, z)) = (2x − z, −y + z)
[4] f((x, y, z)) = (x + y − z
2 , 4x − z)
⎛
⎞
0 1 −1 0
⎜
5 Il rango della matrice A = ⎜1
0 −1 −1 ⎟
⎝3
0 −1 −1⎠
3 1 −2 −1
è
[1] 3
[2] 1
[3] 4
[4] 2
6 La retta di E3 passante per il punto P ≡ (1, −1, 0) ed ortogonale al piano x + 2y − 2z − 5 = 0 ha equazioni
[1]
⎧
non esiste
⎪⎨ x = 1 + 2t
[2] y = −1
⎪⎩
z = t
2x + z − 1 = 0
[3]
4x + y + 3z − 3 = 0
⎧
⎪⎨ x = 1 + t
[4] y = −1 + 2t
⎪⎩
z = −2t
7 Il sistema lineare
⎧
⎪⎨ 2x + 2z + 6t − 5 = 0
x + 3y + 4z + 3t = 1
⎪⎩
−x + y − 3t = 2
1.1

[1] ha una sola soluzione
[2] è impossibile
[3] ha ∞ 1 soluzioni
[4] ha ∞ 2 soluzioni
8 Una n-pla (v1, . . . , vn) di vettori dello spazio vettoriale V é linearmente dipendente:
[1] se esiste una n-pla (λ 1 , . . . , λ n ) di scalari non tutti nulli, tale che λ 1 v1 + · · · + λ n vn = 0.
[2] se esiste una n-pla (λ 1 , . . . , λ n ) di scalari, tutti non nulli, tale che λ 1 v1 + · · · + λ n vn = 0.
[3] se esiste una n-pla (λ 1 , . . . , λ n ) di scalari non tutti nulli, tale che λ 1 v1 = λ 2 v2 = · · · = λ n vn = 0.
[4] se esiste una n-pla (λ 1 , . . . , λ n ) di scalari tale che λ 1 v1 + · · · + λ n vn = 0.
9 La trasformazione lineare T : R 3 → R 3 definita da T (x, y, z) = (2x − 3y + z, y − x, z − 3y) è
[1] suriettiva e non iniettiva
[2] iniettiva e suriettiva
[3] iniettiva e non suriettiva
[4] nè iniettiva nè suriettiva
10 L’area del triangolo del piano euclideo di vertici A ≡ (1, 0), B ≡ (2, 1), C ≡ (−1, −4)
[1] 2
[2] 1
[3] √ √
2
2
[4]
2
⎛
3
11 La matrice A = ⎝1
−4
−1
⎞
4
−8⎠
0 0
⎛
−2
−2 0
[1] è simile alla matrice ⎝ 0 1
⎞
0
0⎠
⎛
0
0
[2] è simile alla matrice ⎝0
0
0
1
1
⎞
0
0 ⎠
⎛
0 0 −2
⎞
−2 0 0
[3] è simile alla matrice ⎝ 0 −2 0⎠
0 0 1
[4] non è diagonalizzabile per similitudine
Stringa delle risposte corrette
4 1 2 4 1 4 2 1 2 2 4
1.2