MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI(Corso A - K ... - Economia

MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI (Corso A - K) Pavia 17/ 11/2003
COGNOME e NOME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CODICE ESAME . . . . . . . . . . . .
Iscritto al I anno, nell’a.acc. . . . . . n. di matricola: . . . . . . . . . . . Laurea in . . . . . . . . . . . . .
Esercizio n. 1
(Come noto, il risultato finale dell’importo dei capitali, espressi in euro,
deve essere arrotondato al centesimo più prossimo)
Si consideri la funzione M(t) = C(1 + i) t , con i ¸ 0, t ¸ 0.
1.a) Dimostrare che la funzione M(t) può essere assunta come caratterizzante il montante di un regime R
di capitalizzazione. Individuato tale regime R scriverne le proprietà.
1.b) Scrivere le proprietà lineari di cui può godere un generico regime di capitalizzazione precisando se il
regime R gode di tali proprietà.
1.c) Studiare analiticamente la funzione M(t), al variare della variabile t, e rappresentarla gra…camente.
1.d) Individuare il tasso istantaneo di interesse associato alla funzione M(t) di cui sopra.
1.e) Dopo aver scritto la de…nizione di regime scindibile dimostrare la scindibilità o meno del regime R.
Assunto t = t ¤ = 2 anni e 6 mesi e C = C= 1.000, 00, calcolare il montante M(t ¤ ), e¤ettuando le valutazioni
nel regime R, nei seguenti casi:
1.f) sia i = 10% annuo;
1.g) sia i il tasso semestrale equivalente a quello del 10% annuo;
1.h) sia i il tasso semestrale equivalente a quello del 10% annuo, nominale convertibile semestralmente.
Esercizio n. 2
Considerata la seguente rendita:
epoche t0 = 0 t1 = 1 anno t2 = 2 anni e 3 mesi t3 = 4 anni
capitali in euro 0, 00 10.000, 00 20.000, 00 15.000, 00
operando al tasso del 5% annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, calcolare
quanto segue:
2.a1) il valore W(t0) della rendita al tempo t0 = 0 anni ;
2.a2) il valore W(t2) della rendita al tempo t2 = 2 anni e 3 mesi;
2.a3) il valore W(t3) della rendita al tempo t3 = 4 anni;
2.b) la scadenza media …nanziaria tF dopo averne scritta la de…nizione e speci…cato l’importo F della
somma esigibile a tale scadenza (esprime tF in anni, mesi e giorni, facendo riferimento all’anno commerciale).
2.c) Precisare motivatamente, senza eseguire calcoli, se le relazioni che seguono sono vere nel caso in esame:
W(t0) ¢ (1 + i) t3 = W(t3)
W(t0) ¢ (1 + it3) = W (t3).
Nell’ipotesi le rate della rendita sopra descritta siano versamenti per ammortizzare un capitale S ottenuto
a prestito, all’epoca t0 = 0, al tasso del 5% annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione
esponenziale, determinare quanto segue:
2.d1) l’importo S del prestito e l’ammontare delle seguenti grandezze del piano d’ammortamento:
D2, E2, I3, C3 .
2.d2) Scrivere motivatamente se l’operazione di ammortamento del prestito è equa al tempo t0 = 0 e, nel
caso lo sia, se lo è per qualunque altro valore di t appartenente all’intervallo t0, t3 .
Esercizi n. 3 e n. 4
SUL RETRO DEL FOGLIO

Esercizio n. 3
Oggi è stato emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni:
² durata del prestito 10 anni, con estrazione a sorte delle obbligazioni alla …ne di ogni anno: 20.000, per
i primi 6 anni, e 25.000, per i successivi anni;
² valore nominale, vn, di ogni obbligazione, con vn = C= 50, 00;
² prezzo di emissione E, con E = C= 49, 50 e rimborso alla pari;
² cedola annua, posticipata, calcolata al tasso del 4% annuo, con ritenuta …scale del 12, 50%.
Relativamente a tale prestito calcolare quanto segue:
3.a1) il numero N0 di obbligazioni emesse;
di obbligazioni estinte e il numero N5 di obbligazioni viventi alla …ne del quinto
3.a2) il numero Nestinte 5
anno (subito dopo aver e¤ettuata la relativa estrazione);
3.b) l’ammontare Cn della cedola netta, annua;
3.c) la perdita di emissione Pe .
Relativamente a una obbligazione, vivente appena e¤ettuata la quinta estrazione, calcolare quanto
segue:
3.d) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile (scrivere anche la de…nizione di tali grandezze);
3.e) la probabilità di essere estratta al settimo anno, entro il settimo anno e dopo il settimo anno.
3.f) De…nire ed evidenziare le proprietà di una collettività di obbligazioni.
Esercizio n. 4
In data 1/7/1999, è stato sottoscritto un titolo (BTP) con le seguenti caratteristiche:
valore nominale, vn, con vn = C= 10.000, 00;
prezzo d’acquisto al corso tel quel di 99,30 su 100 di vn;
cedole semestrali, calcolate al tasso del 4%, annuo, nominale convertibile semestralmente;
ritenuta …scale del 12,50%;
commissione bancaria dello 0,20% sul vn e spese …sse pari a C= 5,00.
Calcolare quanto segue:
4.a) l’importo A pagato per l’acquisto del titolo;
4.b) l’importo B della cedola netta semestrale.
In data 28/3/2003 il titolo è stato venduto al corso secco di 100,50, aumentato del rateo di interessi
maturati, sostenendo spese di commissione pari allo 0,20% del vn.
4.c) Calcolare l’importo V incassato dalla vendita;
4.d) scrivere l’espressione che permette di calcolare il tasso x e¤ettivo, annuo composto, dell’intera operazione
sapendo che le cedole, man mano percepite, sono state investite al tasso del 3% annuo composto,
convenzione esponenziale (si considerino tutti i mesi di 30 giorni).
4.e) Precisare motivatamente se l’intera operazione …nanziaria descritta può essere considerata un progetto
economico …nanziario e, in caso a¤ermativo, indicarne la tipologia.

MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI (Corso A - K)
17/11/ 2003
RISOLUZIONE
Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato.
Risoluzione esercizio n. 1
1.a) la funzione M(t) = C(1 + i) t caratterizza il montante di un capitale C in regime R di capitalizzazione
composta, convenzione esponenziale.
0
M (t)
1.d) L’intensità istantanea di interesse ϕ(t) : ϕ(t) =
M(t) = C(1 + i)t ln(1 + i)
C(1 + i) t = ln(1 + i);
1.e) il regime R è scindibile: M(t) = C(1 + i) t = C(1 + i) t0(1
+ i) t¡t0,
con 0 · t0 · t.
Il montante M(t ¤ ), nei diversi casi, è ottenuto come segue:
1.f) M(t ¤ ) = 1.000, 00 ¢ 1, 1 2,5 = 1.269, 058706 ' 1.269, 06;
1.g) (1 + i) 2 = 1 + 0, 1 ! i = p 1, 1 ¡ 1 = 0, 04880884817 semestrale,
M(t ¤ ) = 1.000, 00(1 + 0, 04880884817) 5 = 1.269, 058706 ' 1.269, 06
0, 1
1.h) i = = 5% semestrale,
2
M(t ¤ ) = 1.000, 00(1 + 0, 05) 5 = 1.276, 281563 ' 1.276, 28.
Risoluzione esercizio n. 2
2.a) Il valore W (tk), alle diverse scadenze, è ottenuto come segue:
W(t0) = 10.000, 00 ¢ 1, 05 ¡1 + 20.000, 00 ¢ 1, 05 ¡2,25 + 15.000, 00 ¢ 1, 05 ¡4 = 39.785, 00964 ' 39.785, 01;
W(t2) = 10.000, 00 ¢ 1, 05 1,25 + 20.000, 00 + 15.000, 00 ¢ 1, 05 ¡1,75 = 44.401, 26981 ' 44.401, 27;
W(t3) = 10.000, 00 ¢ 1, 05 3 + 20.000, 00 ¢ 1, 05 1,75 + 15.000, 00 = 48.358, 92787 ' 48.358, 93;
2.b) la scadenza media …nanziaria tF :
45.000, 00 ¢ 1, 05 ¡tF = W (t0) ! 1, 05tF 45.000, 00
= = 1, 131079268 !
W(t0)
t = 2, 524530987 anni ' 2 anni, 6 mesi e 9 giorni;
F = 45.000, 00;
2.c) la relazione W (t0)¢(1+i) t3 = W(t3) è vera in quanto il regime di capitalizzazione composta, convenzione
esponenziale, è scindibile;
la relazione W(t0) ¢ (1 + it3) = W (t3) in generale, non è vera in quanto il regime di capitalizzazione
semplice non è scindibile; nel presente caso, inoltre, i valori W (tk) sono calcolati in regime di capitalizzazione
composta, convenzione esponenziale;
2.d1) le grandezze S, D2, E2, I3, C3 del piano d’ammortamento assumono i seguenti valori:
S = W (t0) = 39.785, 01;
D2 = S ¢ 1, 05 2,25 ¡ 10.000, 00 ¢ 1, 05 1,25 = 15.000, 00 ¢ 1, 05 ¡1,75 = 13.772, 41133 ' 13.772, 41;
E2 = S ¡ D2 = 26.012, 60;
I3 = D2 (1, 05 1,75 ¡ 1) = 1.227, 588527 ' 1.227, 59;
C3 = R3 ¡ I3 = 15.000, 00 ¡ 1.227, 59 = 13.772, 41 = D2 ;
2.d2) l’operazione di ammortamento in esame è equa e¤ettuando le valutazioni all’epoca t, con t0 · t · t3 ,
per la scindibilità del regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.

Risoluzione esercizio n. 3
Noto il numero N estr delle obbligazioni estratte, ogni anno, la funzione di sopravvivenza lx assume
i seguenti valori espressi in migliaia di unità:
N estr 20 20 20 20 20 20 25 25 25 25
lx 220 200 180 160 140 120 100 75 50 25 0
anni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.a) il numero N0 di obbligazioni emesse, il numero Nestinte 5 di obbligazioni estinte e il numero N5 di
obbligazioni viventi alla …ne del quinto anno (subito dopo aver e¤ettuata la relativa estrazione) è il seguente:
N0 = 220.000 ; N estinte
5 = 5 ¢ 20.000 = 100.000 ; N viventi
5 = 120.000 ;
3.b) la cedola, annua, lorda C : C = 50, 00 ¢ 0, 04 = 2, 00;
il tasso annuo netto in : in = i(1 ¡ 0, 125) = 0, 04(1 ¡ 0, 125) = 0, 035;
la cedola annua netta Cn : Cn = 50, 00 ¢ 0, 035 = 1, 75;
3.c) la perdita di emissione Pe : Pe = 50 ¡ 49, 50 = 0, 50.
3.d) La variabile casuale vita residua A5 :
8
>< 1 2 3 4 5
la vita media residua e5 :
A5 =
>:
1q5 1/1q5 2/1q5 3/1q5 4/1q5
20
120
25
120
25
120
e5 = 1 20 25 25 25 25 370
120 + 2 120 + 3120 + 4 120 + 5120 = 120 = 3, 083 anni ' 3 anni e 1 mese;
la vita mediana residua (vita probabile) ν5: l5+ν5 · 1
2l5 ! l5+ν5 · 1
2120 ! ν5
3.e)
= 3 anni;
la probabilità 1/1q5 di essere estratta il settimo anno: 1/1q5 = 100¡75
120
5
= = 0, 2083;
24
la probabilità 2q5 di essere estratta entro il settimo anno: 2q5 = 120¡75
120
la probabilità 2/3q5 di essere estratta dopo il settimo anno: 2/3q5 = 75¡0
120
Risoluzione esercizio n. 4
4.a) ) L’importo A pagato per l’acquisto del titolo è ottenuto come segue:
A = 10.000, 00(0, 993 + 0, 002) + 5 = 9.955, 00;
25
120
4.b) l’importo B della cedola netta è ottenuto come segue:
i2 = j2
25
120
3 = = 0, 375 ;
= 5
8
8
= 0, 625 .
= 0, 02 semestrale lordo ! inetto 2 = 0, 02(1 ¡ 0, 125) = 0, 0175 semestrale,
2
B = 10.000, 00 ¢ 0, 0175 = 175, 00 semestrale.
4.c) Il corso tel quel, tq, all’epoca della vendita del titolo, può essere ottenuto come segue:
tq = 100, 50 + 100, 00 ¢ 0, 0175 88
180 = 101, 35;
il capitale V, incassato a seguito della vendita del titolo:
V = 10.000, 00(1, 0135 ¡ 0, 002) = 10.115, 5 ' 10.115, 56;
4.d) il tasso di rendimento x annuo, composto, dell’intera operazione …nanziaria, relativa a quel titolo, è
ottenuto come segue:
con i = 3% annuo ! i2 = 0, 01488915651 ' 0, 0149 semestrale, si ottiene:
3+ 268
360 9.955, 00 ¢ (1 + x) = 10.115, 56 + 175, 00 ¢ s7e0,0149 ¢ 1, 0149
(x = 0, 037005886 ' 3, 70% annuo composto).
4.e) L’intera operazione …nanziaria costituisce un investimento semplice (¡ : +).
88
180