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52 CAPITOLO 5. LA COMPENSAZIONE DI MOTO
Sistemi di coordinate omogenee
Nell’ambito della Computer Graphics, é usuale rappresentare un punto dell’immagine, individuato nel piano da
n = 2 coordinate (x, y), mediante un vettore a n +1 = 3 componenti: (x, y) ⇒ (x, y, 1). L’adozione di
tali coordinate, dette omogenee, consente ad esempio di rappresentare la trasformazione affine definita in (5.2.2)
mediante un operatore matriciale 3 × 3: (x, y, 1) = (u, v, 1) ·T
⎛
⎞
A
⎜
T = ⎜
⎝ B
D
E
0
0
⎟
⎠
C F 1
Si supponga poi di voler estendere la trasformazione T considerando la forma 3 × 3 piú generale:
⎛
⎞
⎜
T = ⎜
⎝
A
B
D
E
g
⎟
h ⎟
⎠
C F k
Essa consente di associare ad un punto di coordinate (u, v), ovvero di coordinate omogenee (u, v, 1), un nuovo
punto (x, y, w). A partire da tali coordinate, é possibile ottenere ancora un punto di coordinate omogenee dividendo
tutte le componenti per w: (x/w, y/w, 1). Tale operazione ammette un’interpretazione geometrica: il punto (u, v, 1)
puó essere interpretato come un punto dello spazio tri-dimensionale, appartenente al piano a profonditá 1. Il punto
trasformato (x, y, w) rappresenta un punto dello spazio tri-dimensionale, appartenente al piano a profonditá w. La
divisione per w associa a (x, y, w) il punto (x/w, y/w, 1): esso é il punto in cui il piano a profonditá 1 interseca
la retta passante per l’origine degli assi e per (x, y, w); in altri termini, (x/w, y/w, 1) é la proiezione di (x, y, w)
sul piano a profonditá 1.
Con queste posizioni, la trasformazione prospettica (5.2.3) é descritta dalla seguente trasformazione lineare a
⎛
⎞
⎜
T = ⎜
⎝
A
B
D
E
G
H
⎟
⎠
C F 1
aSi osservi che nella modalitá di rappresentazione che impiega le coordinate omogenee, i punti che differiscono per un fattore di scala comune
alle tre coordinate definiscono una classe di equivalenza, ed identificano lo stesso punto del piano a profonditá 1.