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2.1 Introduzione 

2 

Sintesi di circuiti a tempo-discreto 

Nell’elaborazione numerica del segnale la scelta del tipo di filtro e il suo progetto è di centrale importanza 

praticamente in tutte le applicazioni DSP. 

La scelta di usare un filtro FIR o IIR è in genere legata, oltre alle caratteristiche della risposta in frequenza 

e fase desiderate, anche a considerazioni di tipo computazionale, al ritardo di gruppo ammissibile, ecc. Avere 

una fase lineare, per esempio, può risultare vantaggioso in molte situazioni e, laddove è compatibile con il 

tipo di applicazione, risulta preferibile l’uso di filtri FIR. 

Il progetto accurato di filtri FIR o IIR, è un argomento molto esteso ed esula dagli scopi di questa nota. Di 

seguito si introducono solo alcune metodologie rimandando ai riferimenti bibliografici approfondimenti su 

tale tematica. 

Progetto dei filtri FIR 

Nel caso in cui con un filtro FIR si voglia approssimare una certa risposta in frequenza, dalle precedenti 

proprietà è possibile derivare alcune tecniche di progetto molto efficaci tra le quali 

• la tecniche della finestratura (windowing design); 

• la tecnica del campionamento in frequenza; 

• il metodo ottimo equiripple o min-max error. 

La prima di queste tecniche consiste nel ricavare, in forma chiusa, la risposta impulsiva ideale hid[n] di 

lunghezza infinita che viene, successivamente, moltiplicata con una finestra w[n] di forma opportuna e 

lunghezza limitata; ovvero 

h[n]= hid[n] w[n] n=0, 1, …, N – 1. 

Nella tecnica del campionamento in frequenza la h[n] è determinata partendo dalla risposta in ampiezza 

desiderata. Si procede, quindi, a un’approssimazione di questa (solo sui punti di campionamento) con una 

tecnica di ottimizzazione (per esempio minimi quadrati). 

La tecnica min-max, una delle più usate, è basata sulla approssimazione polinomiale della risposta in 

frequenza. Il procedimento di ottimizzazione minimizza l’errore massimo tra la risposta in frequenza 

desiderata e quella raggiungibile dal filtro. L’errore (ripple) è pressoché identico per tutte le frequenze e per 

questa proprietà il filtro si dice anche equiripple. 

Progetto dei filtri IIR 

In letteratura esiste una grande varietà di procedimenti per il progetto di filtri IIR. Alcune tecniche, 

analogamente ai filtri FIR, sono basate sulla approssimazione di una certa maschera (passabasso, passaalto, 

ecc) e sono derivate dai metodi di progetto di filtri analogici. I metodi generalmente usati sono quelli tipici dei 

filtri analogici basati su rappresentazioni polinomiali della risposta in frequenza quali: 

• Butterworth (maxflat); 

• Bessel (ritardo di gruppo maxflat); 

• Chebyshev (equiripple); 

• ellittico (equiripple);

50 Capitolo 2 

• mappatura (mapping) da prototipo analogico. 

2.2 Generalità sul progetto filtri numerici 

I filtri sono dei circuiti in grado di lasciare passare alcune frequenze presenti nel segnale d’ingresso e di 

attenuarne delle altre. Nell’elaborazione numerica del segnale la scelta del tipo di filtro e il suo progetto è di 

centrale importanza praticamente in tutte le applicazioni reali del DSP. 

In termini generali, il progetto di un filtro può essere ricondotto ai seguenti punti: 

• convertire le richieste di progetto in precise specifiche sulla risposta in ampiezza e fase; 

• approssimare le specifiche di progetto del passo 1 con un filtro FIR o IIR fisicamente implementabile 

che sia ottimo, secondo qualche criterio, rispetto alle specifiche date; 

• realizzare il filtro secondo la tecnologia digitale più opportuna rispetto all’applicazione richiesta. 

2.2.1 Filtri ideali 

Sono detti ideali quei filtri che, invece di attenuarle, eliminano completamente le frequenze indesiderate. 

La classificazione dei filtri lineari viene in genere fatta in relazione alla gamma di frequenze mantenute nel 

segnale di uscita dei filtri stessi. Viene usato l’appellativo passabasso nel caso in cui il segnale in uscita 

presenta non attenuate le componenti al di sotto di una certa frequenza detta frequenza di taglio. Altre 

tipologie di filtro, con caratteristiche facilmente intuibili dal lettore, sono il passaalto, il passabanda e 

l’arrestabanda. Le risposte in frequenza e le rispettive DTFT ideali di tali filtri ideali sono riportate in Figura 

1.1. 

2.2.1.1 Filtro ideale passabasso 

La risposta in frequenza di un filtro passabasso ideale non causale può essere definita come 

H (e LP j! " 

$ 1 ! < ! c 

) = # 

0 ! < ! ! " 

%$ c 

Figura 1.1 Risposta in frequenza o ‘maschera’ e definizione di filtri ideali. 

(2.1) 

j 1 

c 

HLP ( e ) 

0 c 

ω j 

HLP( e ) 

1 

⎧ ω < ω 

= ⎨ 

⎩ ω < ω ≤ π 

ω 

- Low pass filter 

−2 π −π −ω 

0 ω π 2 π ω 

c c 

j 0 

c 

HHP ( e ) 

1 c 

ω j 

HHP ( e ) 

1 

⎧ ω < ω 

= ⎨ 

⎩ ω < ω ≤ π 

ω 

- High pass filter 

−2 π −π −ω 

0 ω π 2 π ω 

Pass - band filter 

1 

j 

H ( e ) 

ω 

PB 

−2 π −π0 

ω ω 2 π ω 

Stop - band filter 

c c 

1 

a b 

j 

H ( e ) 

ω 

SB 

−2 π −π0 

ω ω 2 π ω 

a b 

j 1 a b 

HPB ( e ) 

0 altrove 

ω ⎧ ω ≤ ω ≤ ω 

= ⎨ 

⎩ 

j 0 a b 

HSB ( e ) 

1 altrove 

ω ⎧ ω ≤ ω ≤ω 

= ⎨ 

⎩

Sintesi di circuiti a tempo-discreto 51 

La risposta impulsiva del filtro ideale può essere calcolata antitrasformando la precedente espressione come 

h [n] = LPi 1 

2! 

= 1 

2! 

" 

" 

!" 

H (e LP j! )e j!n 

d! = 

e j"n 

" c 

!" c 

" 

= e j! c n ! e ! j! c n 

j2!n 

= sin(! cn) . 

!n 

d" = 

= 

Definendo la funzione sinc(! c n) ! sin(! c n) ! c n , per ! c = 2! f c , la precedente viene riscritta come 

(2.2) 

h id [n] = 2 f c sinc(! c n) ! " < n < " . (2.3) 

Si osservi che tale filtro ha durata infinita ed è non causale in quanto la risposta impulsiva è definita anche per 

n negativi. 

hn [ ] 

hn [ ] 

f = 0.25 N = 21 

Figura 1.2 Andamento nel tempo della risposta impulsiva e della risposta in frequenza di un filtro ideale non 

causale con h[n] troncata. 

In Figura 1.2 è riportato un esempio di risposta impulsiva di un filtro passabasso, con ωc= 2π0.25, ottenuta 

troncando la risposta impulsiva del filtro ideale (2.2). Dalla figura si può osservare che la risposta del filtro 

troncato presenta un certo ripple (fenomeno di Gibbs), intorno alla risposta ideale la cui ampiezza non 

dipende dalla lunghezza. Data la non causalità la risposta in fase, non riportata in figura, è nulla. 

Nelle implementazioni di filtraggio la risposta impulsiva del filtro viene “causalizzata” traslandola di una 

quantità tale che la h[n] sia definita per 0≤n≤N − 1. 

Ciò introduce un contribuito di fase non nullo e, nel 

caso di risposta impulsiva simmetrica, di tipo lineare (ovvero con ritardo di gruppo costante per tutte le 

frequenze). 

2.2.1.2 Filtro ideale passaalto, passabanda e arrestabanda 

La risposta in frequenza di un filtro passaalto ideale non causale può essere definita come completare rispetto 

ad un filtro passabasso. Per cui risulta 

H HP (e j! ) = 1! H LP (e j! ) (2.4) 

per cui, dalla (2.2), la risposta impulsiva risulta pari a 

0.5 

0.5 

h [n] = ![n] ! HPi sin(! cn) . (2.5) 

!n 

La risposta in frequenza di un filtro passabanda ideale risulta essere 

c 

f = 0.25 N = 51 

c 

Ripple (fenomeno di Gibbs) 

n 

n 

Filtro ideale 

−0.5 −0.25 

0 0.25 0.5 f 

−0.5 −0.25 

0 0.25 0.5 f

52 Capitolo 2 

H (e PB j! " 

$ 1 ! ! ! ! ! a b 

) = # 

%$ 0 altrove 

e procedendo come nel caso passabasso, la risposta impulsiva risulta pari a 

h [n] = PBi 1 

H (e BP 

2! 

j! )e j!n 

! 

" 

d! = 

!! 

= 1 

e 

2" 

j!n 

!! b 

" d! + e 

!! a 

j!n 

! # 

b 

" d! 

% 

$ 

! a & = 

= e j! b n ! e ! j! b n 

j2!n 

! e j! a n ! e ! j! a n 

j2!n 

= sin(! bn) ! sin(! an) . 

!n 

Infine, per l’arresta banda è facile verificare che 

= 

(2.6) 

(2.7) 

h [n] = ![n] ! SBi sin(! bn) ! sin(! an) . (2.8) 

!n 

Osservazione 

Dalle precedenti definizioni, considerando identiche frequenze di taglio, un filtro passaalto è complementare 

al filtro passabasso e il filtro arrestabanda è complementare al filtro passabanda. 

2.2.1.3 Filtri differenziatori e di Hilbert ideali 

Il differenziatore è un filtro con risposta in frequenza ideale pari a 

H D (e j! ) = j! ! " " ! " " (2.9) 

la risposta impulsiva 

h [n] = Di 1 

j!e 

2! 

j!n 

! 

" d! = 

!! 

$ 

& 

= % 

& 

' 

cos("n) 

n 

0 

n # 0 

n = 0. 

Il filtro di Hilbert è caratterizzato dal una risposta in frequenza ideale pari a 

H (e H j! # % j !! " " < 0 

) = $ 

&% ! j 0 " ! < " 

la risposta impulsiva risulta 

h [n] = Hi 1 

je 

2! 

j!n 

0 

" d! ! je 

!! 

j!n 

! 

# 

" d! 

% 

$ 

0 & = 

= 

2 sin2 ( 

* 

) 

* 

+ 

(" n 2) 

!n 

0 

n ' 0 

n = 0 

(2.10) 

(2.11) 

(2.12)

Differenziator filter 

Hilbert filter 

Figura 1.3 Risposta in frequenza del filtro differenziatore e di Hilbert ideali. 


Il differenziatore e il filtro di Hilbert sono filtri antisimmetrici per cui le risposte impulsive sono a simmetria 

dispari h[n] = h[!n]. 

2.2.2 Specifiche del filtro 

Le specifiche del filtro sono generalmente espresse con delle maschere definite nel dominio della frequenza, 

in termini di risposta in ampiezza e/o risposta in fase. 

Con riferimento alla Figura 1.4, nel caso di filtri passa-basso la risposta in ampiezza desiderata è indicata 

come 

D(e j! " 

$ 1 per ! ![0,! ] p 

) = # 

0 per ! ![! ,! ] 

%$ 

s 

(2.13) 

dove ω∈ [0, ω ] indica regione di frequenze passabanda, mentre ω ∈ [ ω , π ] indica la regione stopband (o 

p 

banda oscura). Si osservi che l’intervallo ω ∈ [ ω , ω ] è definito come banda di transizione o transition band 

p s 

ed è usuale non fornire alcuna specifica per tale regione di frequenze. 

L’ampiezza del ripple ammissibile nella passband è definito come 

A p = 20log 10 

mentre il ripple nella stopband è 

A s = !20log 10 ! s 

jω 

H ( e ) j 

−π 

0 

π 

D 

jω 

H ( e ) j 

−π 

0 

π 

H 

jω 

H ( e ) = jω 

−π ≤ ω ≤ π 

" 1+ ! % 

p 

$ ' [dB] (2.14) 

# 1! ! p & 

( ) [dB] (2.15) 

D 

jω 

⎧− 

j −π ≤ ω < 0 

HH( e ) = ⎨ 

⎩ 

j 0 ≥ ω > π 

s

54 Capitolo 2 

j 

He ( ) 

ω 

1+ δ p 

1 

1− δ p 

δ s 

Figura 1.4 Generiche specifiche nel dominio della frequenza di un filtro numerico . 

In alcune applicazioni è necessario preservare la forma del segnale d’ingresso. Tale specifica può essere 

raggiunta se la risposta in fase del filtro, indicata come !(" ) ! "H(e i! ) , ha una un andamento lineare nella 

regione passabanda ω∈ [0, ω ] 

p 

!(" ) = #" + $ (2.16) 

dove α e β sono scelti arbitrariamente. In tal caso il criterio associato alla fase è generalmente fornito in 

termini di ritardo di gruppo definito come 

"#(" ) 

! (" ) = ! g 

"" (2.17) 

o ritardo di fase definito come 

Passband 

Transition 

band 

ω p 

ωc 

ωs 

Maschera 

j 

H ( e ) 

ω 

Stopband 

ω∈[0, ω ] Passband 

ω ∈[ 

ω , ω ] Transition band 

ω ∈[ 

ω , π ] Stopband 

#(" ) 

! (" ) = ! p 

" . (2.18) 

id 

Osservazione 

Le specifiche di filtro possono essere definite in più di regioni d’interesse come, per esempio, illustrato in 

Figura 1.5. 

s 

s p 

p 

π 

ω


Figura 1.5 Specifiche di un filtro definito su più regioni passband e stopband. Per ogni regione può essere 

definito un differente margine di scostamento della risposta ideale definito dalla maschere del 

filtro. 

2.2.3 Criteri di approssimazione per il progetto di filtri 

j 

Il criterio di approssimazione consiste in una misura di distanza tra la risposta del filtro He ( ) 

ω e quella 

j 

desiderata De ( ) 

ω definita secondo una certa maschera. 

2.2.3.1 Norma di un vettore 

Prima di proseguire, ricordiamo al lettore che nel caso di uno spazio di ordine p, detto spazio Lp, la norma di 

un vettore x !! N Lp 

, di elementi xi, è indicata come x o come x , ed è definita come 

p 

N " 

x ! x 

p $ ! i 

# i=1 

p 

% 

' 

& 

1 p 

. (2.19) 

La precedente espressione è valida anche quando 0

il risultato, in questo caso, non è esattamente una 

norma. 

Norma L0 

Per p = 0, 

la (2.19) diventa 

N 

0 

x = lim x = x 

0 p!0 p " (2.20) 

i 

i=1 

che, in pratica, rappresenta il numero di elementi non nulli del vettore x. 

Norma L1 

La norma L1 definita dalla (2.19) per p=1, è pari a 

N 

x = x 

1 ! (2.21) 

i 

i=1 

j 

He ( ) 

ω 

j 

H ( e ) risposta ideale desiderata 

ω 

e rappresenta, in pratica, la somma dei moduli del vettore x. 

21 

id 

ω 11 = 0 ω ω 

ω22 

ω31 ω32 

ω41 

12 

ω42 = π 

Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 4 

Specifiche del filtro 

ω ∈ ω , ω A( 

ω) 

= 1.0 

11 21 

ω ∈ ω , ω A( 

ω) 

= 0.0 

21 22 

ω ∈ ω , ω A( 

ω) 

= 0.7 

31 31 

ω ∈ ω , ω A( 

ω) 

= 

0.0 

41 42 

ω

56 Capitolo 2 

Norma L2 

La norma L2, detta anche norma Euclidea , è definita come 

N 

2 

x = x 

2 ! . (2.22) 

i 

i=1 

A volte è usata la norma quadratica che risulta pari a 

2 

x 

2 

N 

2 

= ! x = x i 

T x (2.23) 

i=1 

o la norma quadratica pesata definita come 

2 

x 

G 

= x T Gx (2.24) 

dove G è una matrice di pesatura diagonale. 

Norma L ∞ 

La norma infinito, detta anche norma del massimo o norma di Chebyshev, dalla (2.19) per p →∞, risulta 

definita dalla seguente espressione 

x ! = max 

{ x 

i=1,...,N 

i } . (2.25) 

La precedente espressione è a volte indicata anche come norma uniforme o norma del massimo. In altri 

termini, con tale norma viene indicato il massimo valore del modulo del vettore x. 

2.3 Progetto filtri FIR ottimi 

Si definisce errore E(e j! ) la differenza tra la risposta del filtro e quella desiderata, ovvero 

E(e j! ) = D(e j! ) ! H(e j! ) ! !" . (2.26) 

Si osservi che con ω ∈Ω, s’intende che l’errore è calcolato su un insieme finito di pulsazioni ω = 2πf o di 

frequenze. Nei metodi numerici per il progetto dei filtri viene usata direttamente la frequenza normalizzata f. 

In pratica, la (2.26) è valutata su un insieme finito di frequenze Nf (in gergo indicato come frequency grid), in 

genere spaziato uniformemente, per f ∈ [0.0,0.5] . 

Indicando con h !(!,!) N il vettore contenente i tappi del filtro, tale che H(e j! ) = DTFT(h) , il progetto 

del filtro può essere effettuato definendo una Funzione Costo (FC) che, in pratica, coincide con la norma 

dell’errore valutato per un insieme di frequenze k∈[0, K − 1] 

J (h) = D(e j! K !1 # 

p 

k j! & 

k 

% " ) ! H(e ) ( 

$ k=0 

' 

1 p 

! k !" (2.27) 

per cui il valore ottimo h , relativamente alla norma scelta, si ottiene minimizzando la FC J(h) stessa 

opt 

h opt !arg min 

!"# 

{ J (h) }. (2.28) 

È noto che il minimo di una funzione si ha quando la sua derivata è nulla, per cui vale 

"J (h) 

h ! # 0 (2.29) 

opt 

"h


si osservi, però, che la derivata !J (h) !h è calcolabile in forma chiusa solo in specifiche situazioni e, il più 

delle volte, per il calcolo dei parametro ottimi del filtro occorre minimizzare la (2.27) in forma espressamente 

numerica. 

Osservazione 

Nel caso di filtri FIR a fase lineare generalizzata (Cfr. §1.5.4), in cui vale l’espressione H(e j! ) = A(e j! j! (" ) 

)e 

risulta che la fase è interamente determinata come φ( ω) = − αω + β . Ne segue che il progetto del filtro è 

interamente determinato dalla sola risposta in ampiezza che è definita dal modulo della risposta in frequenza 

come A(e j! k ) = H(e j! k ) . Per cui la FC è definita interamente da funzioni reali e, in genere, è indicata come 

J (h) = D(e j! K !1 # 

p 

k j! & 

k 

% " ) ! A(e ) ( 

$ k=0 

' 

1 p 

ωk ∈Ω (2.30) 

j 

dove Ae ( ) 

ω j 

e De ( ) 

ω sono funzioni reali. 

Nel seguito del paragrafo viene trattato solo il caso definito da funzioni costo di tipo (2.30), ovvero 

relative a filtri FIR a di tipo I-IV. 

2.3.1 Criterio minimi quadrati o least squares (LS) 

Nel progetto di filtri FIR, in particolari situazioni, è usata la norma quadratica (2.23) che, nel nostro caso può 

essere definita come 

K !1 

" = E(e 

k=0 

j! K !1 

2 

k " ) k 

k=0 

J (h) = D(e j! k ) ! A(e j! k ) 2 

j k 

Esprimendo la Ae ( ) 

ω come indicato della (1.63) (Cfr. §1.5.4), risulta 

A(e j! M !1 

k ) = h[n]trig(! ,n) k 

n=0 

ω ∈Ω. (2.31) 

" per k = 0, 1, ..., K − 1 

(2.32) 

e la FC (2.31) può essere scritta come 

K !1 

M !1 

J (h) = D(e j! k " ) ! " h[n]trig(! ,n) . (2.33) 

k 

k=0 

n=0 

Introducendo il vettore e !! K"1 = $ e[0] e[1] ! e[K #1] 

% 

J (h) = e T e. 

2 

T 

& , con e[k] = E(e 

' 

j! k ) , si potrà scrivere 

(2.34) 

Per esempio, nel caso di filtro FIR di tipo I a fase nulla, esplicitando la funzione trig( k , ) n ω secondo la (1.55) 

(Cfr. §1.5.4.1), la precedente può essere riscritta come 

" 

$ 

$ 

$ 

$ 

# $ 

e[0] 

e[1] 

! 

e[K !1] 

% " 

' $ 

' $ 

' 

= 

$ 

' $ 

&' 

# $ 

d[0] 

d[1] 

! 

d[K !1] 

per cui in forma vettoriale risulta 

% " 1 2cos! 2cos2! ! 2cos! (M !1) % " 

0 0 0 

' $ 

' $ 

' $ 1 2cos! 2cos2! ! 2cos! (M !1) ' 

1 1 1 $ 

' 

! $ 

' $ 

' $ ! ! ! ! " ' $ 

&' 

$ 1 2cos! 2cos2! ! 2cos! (M !1) ' 

# 

K !1 K !1 K !1 & # $ 

h[0] 

h[1] 

! 

h[M !1] 

e = d − Xh (2.36) 

dove la matrice X !! K"M , in termini generali, è definita come 

% 

' 

' (2.35) 

' 

' 

&'

58 Capitolo 2 

" 

$ 

$ 

X = $ 

$ 

$ 

# 

trig(! 0 ,0) trig(! 0 ,1) ! trig(! 0 ,M !1) 

trig(! 1 ,0) trig(! 1 ,1) ! trig(! 1 ,M !1) 

! ! " ! 

trig(! K !1 ,0) trig(! K !1 ,1) ! trig(! K !1 ,M !1) 

% 

' 

' 

' 

' 

' 

& 

(2.37) 

e dove il vettore d !! K"1 = $ d[0] d[1] ! d[K #1] & , con d[k] = D(e 

% 

' 

j! k ) , contiene i valori della 

risposta in frequenza desiderata nell’insieme dei K punti di misura. 

Con le precedenti posizioni la FC (2.34), mediante la (2.36), diventa 

J (h) = e T e 

= (d T ! h T X T )(d ! Xh) 

= d T d ! d T Xh ! h T X T d + h T X T Xh. 

T 

(2.38) 

La soluzione ottima si minimizzando l’espressione precedente. Derivando la precedente (vettorialmente) ed 

eguagliando a zero si trova 

!J (h) 

!h = "2XT d + 2X T Xh # 0 . (2.39) 

La precedente espressione descrive un sistema di M equazioni in M incognite (i termini del vettore h) dette 

equazioni normali 

X T Xh = X T d (2.40) 

Il numero delle incognite M è, in genere, minore rispetto al numero di equazioni K della (2.36) per cui il 

sistema è di tipo sovradeterminato. La minimizzazione dell’errore conduce all’espressione della soluzione 

h opt = (X T X) !1 X T d . (2.41) 

La matrice (X T X) !1 X T è nota come pseudo inversa della matrice rettangolare X. 

Esempio 

In Figura 1.6 sono riportate le risposte in ampiezza di tre filtri FIR di lunghezza pari N = 21. Considerando la 

frequenza normalizzata, le regioni passband fp e stopband fs 

per i tre filtri sono rispettivamente definite come f = [0.0,0.15] , f = [0.35,0.5] ; f = [0.0,0.2] , 

f = [0.3,0.5] e 

s2 

p3 

p1 

f = [0.0,0.245] , f = [0.255,0.5] . In altri termini, come indicato in figura, i tre filtri sono 

s3 

caratterizzati dalla stessa frequenza di taglio a metà ampiezza pari a fc = 0.25 e bande di transizione a 

Δ f = 0.2, 

Δ f2 

= 0.1 e Δ f3 

= 0.01. 

1 

s1 

p2

Magnitute |H(e jω )| 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Δ f = f − f 

Δ f = 0.2 

Figura 1.6 Progetto di filtri FIR con il metodo dei minimi quadrati. 


0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Normalized Frequency 

Dalla figura si può osservare che: 1) il ripple non è uniforme; 2) diminuendo la banda di transizione il ripple 

aumenta. 

Osservazione 

Una caratteristica specifica nell’uso della norma ai minimi quadrati per il progetto di filtri è che, per 

definizione, questa tende a minimizzare la superficie tra la curve della risposta desiderata e quella effettiva del 

filtro. Tale caratteristica tende a determinare un ripple che non è uniforme in frequenza e con uno scostamento 

massimo intorno alla frequenza di taglio del filtro. Infatti, dalla Figura 1.6 si può osservare che questo assume 

valori più elevati in prossimità della frequenza di taglio. 

Per il progetto dei filtri è stata usata la procedura Matlab firls che implementa l’espressione (2.41). Il 

codice della procedura è di seguito riportato. 

% Filter design by ls method --------------------------------------------- 

Fs = 1; % Sampling Frequency 

Nf = 21; % Filter length 

N = 20; % Filter order 

Wpass = 1; % Passband Weight 

Wstop = 1; % Stopband Weight 

Fpass = 0.15; % Passband Frequency 

Fstop = 0.35; % Stopband Frequency 

b = firls(N, [0 Fpass Fstop Fs/2]/(Fs/2), [1 1 0 0], [Wpass Wstop]) 

[h1,w] = freqz(b,1,512); 




[h2,w] = freqz(b,1,512); 




[h3,w] = freqz(b,1,512); 

figure1 = figure('PaperType','a4letter','PaperSize',[20.98 29.68]); 

axes('Parent',figure1,'YTick',[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2],'YGrid','on',... 

'XTick',[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5],... 

'XGrid','on'); 

box('on'); 

hold('all'); 

xlabel('Normalized Frequency'); 

ylabel('Magnitute |{\it{H}}({\ite^{j\omega}})|'); 

plot(w/(2*pi),abs(h1)); 



% END -------------------------------------------------------------------- 

Esempio 

In Figura 1.7 è disegnata la risposta in ampiezza per un filtro FIR passabasso di lunghezza pari a N = 61, con 

una regione passband f p = [0.0,0.1] e una regione stopband pari a f s = [0.2,0.5] . In termini di pulsazione 

vale perciò 

1 

Δ f = 0.1 

2 

Δ f = 

0.01 

2 

s p

60 Capitolo 2 

D(e j! # % 1.0 per ! ![0,2" "0.1] 

) = $ 

&% 0.0 per ! ![2" "0.2," ] 

(2.42) 

Figura 1.7 Risposta in ampiezza di un filtro passabasso di tipo I di lunghezza pari a N = 61, (ordine 60) con 

banda passante fp = [0, 0.1] e banda oscura fs = [0.2, 0.5] progettato con il metodo dei minimi 

quadrati. Nel riquadro è riportato il ripple nella banda passante. 

2.3.2 Norma pesata 

j 

La norma pesata è definita moltiplicando l’errore per una funzione peso Ge ( ) 

ω , ovvero 

E(e j! ) = G(e j! ) D(e j! ) ! A(e j! ( ) ) . (2.43) 

Utilizzando la norma pesata la funzione di errore può essere definita come 

con 

j 

Magnitude 20log10 He ( ) 

ω 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

( ) p 

J (h) = G(e j! K !1 # 

k j! k j! k 

% " ) D(e ) ! A(e ) 

$ k=0 

h !arg min G(e opt j! * K "1 

, $ 

k j! k j! k 

+ &# 

) D(e ) " A(e ) 

% k=0 

- 

, 

& 

( 

' 

1 p 

( ) p 

' 

) 

( 

ωk ∈Ω (2.44) 

1 p 

. 

, 

/ . (2.45) 

0 

, 

La funzione peso è in genere definita su regioni di frequenze. Per esempio considerando il caso descritto dalle 

specifiche indicate in Figura 1.4, la funzione peso può essere definita come 

G(e j! " 

$ 1.0 per ! ![0,! ] p 

) = # 

! ! per ! ![! ,! ]. 

p s s % 

$ 

0.002 


0 

j 

20log10 He ( ) 

ω 

−0.002 

0.0 0.05 0.1 

(2.46)


j 

Per esempio, se nella regione stopband ω ∈ [ ω , π ] si ha Ge ( ) 10.0 

ω = e nella regione passband si ha 

s 

j 

Ge ( ) 1.0 

ω = , ciò corrisponde a un’attenuazione nella stopband pari 10 volte il ripple della passband. La 

j 

pesatura consente il progetto del filtro in modo più flessibile. In altri termini, per Ge ( ) 

ω = 1.0 su tutte le 

regioni, il filtro è di tipo equiripple. 

A titolo di esempio, è riportato un ipotetico file di specifiche per un filtro FIR passabasso di lunghezza pari 

a N = 61, con le stesse specifiche indicate dalla (2.42) e una funzione peso pari a 

G(e j! # % 1.0 per ! ![0,2" "0.1] 

) = $ 

&% 10.0 per ! ![2" "0.2," ]. 

FIR design specification file  

61 2                  ; nTap, nBand  

0.0  0.1 20 1.0 1.0   ; 1^banda: pass‐band, FreqGrid, obj, weig  

0.2 0.5  32 0.0 10.0  ; 2^banda: stop‐band, FreqGrid, obj, weig  

N61_1.out             ; output file name  

END  

(2.47) 

Nel file, la regione passabanda è valutata su 20 punti, mentre la regione stopband su 32 punti spaziati 

uniformemente. 

2.3.2.1 Criterio minimi quadrati pesato 

La norma quadratica pesata è definita come 

( ) 2 

K !1 

" 

k=0 

k 

J (h) = G(e j! k ) D(e j! k ) ! A(e j! k ) 

ω ∈Ω (2.48) 

In tale caso, detta G la matrice diagonale contenente i valori dei pesi per le varie bande di frequenza, le 

equazioni normali (2.41) sono riscritte nella forma 

X T GXh = X T Gd (2.49) 

Anche in questo caso il numero delle incognite M è minore rispetto al numero di equazioni K per cui il 

sistema è di tipo sovradeterminato. La soluzione che minimizza l’errore è 

h opt = (X T GX) !1 X T Gd . (2.50)

62 Capitolo 2 

j 


ω 

Figura 1.8 Risposta in ampiezza di un filtro passabasso progettato con il metodo dei minimi quadrati 

pesato. N = 61, fp = [0, 0.1] e banda oscura fs = [0.2, 0.5]. Nel riquadro è riportato il ripple nella 

banda passante. 

Osservazione 

Il criterio dei minimi quadrati, imponendo la minimizzazione di una norma quadratica, è indicato anche come 

criterio max-flat in quanto consente di avere una risposta in frequenza massimamente piatta. 

Esempio 

In Figura 1.8, è riportato un ipotetico file di specifiche per un filtro FIR passabasso di lunghezza pari a N = 

61, con specifiche sulla risposta in frequenza definite dalla (2.42) e una funzione pesi definita dalla (2.47). 

Confrontando le risposte in ampiezza riportate in Figura 1.7 e in Figura 1.8, si può osservare come l’effetto 

della pesatura consiste a un aumento del ripple in banda passante e a una diminuzione del ripple in banda 

oscura. 

Osservazione 

I criteri dei minimi quadrati e dei minimi quadrati pesato si prestano a molte possibili modifiche e 

specializzazioni. Queste consentono una notevole flessibilità e filosofie diversificate di progetto. 

2.3.3 Criterio min-max 

Una scelta molto comune nel caso di progetto dei filtri numerici è la norma di Chebyshev, ovvero la norma 

del massimo. Con tale criterio viene minimizzato il massimo scostamento tra la risposta desiderata e quella 

effettiva del filtro. In questo caso il filtro non è ottimo nel senso dei minimi quadrati ma nel senso del 

massimo errore. 

La norma del massimo è tra le più usate nel progetto di filtri numerici (e analogici) in quanto si dimostra 

j 

facilmente che con tale criterio l’errore Ee ( ) 

ω 

Dalla definizione della norma infinito (2.25) e dalla (2.26) risulta 

h opt !arg min max 

D(e 

! k "# 

j! k j! k { { ) $ A(e ) } } 

E nel caso di criterio con pesatura risulta 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

0.002 


0 

j 

20log10 He ( ) 

ω 

−0.002 

0.0 0.05 0.1 

è ‘spalmato’ in modo uniforme su tutte le frequenze. 

. (2.51)

h opt !arg min max 

G(e 

! k "# 

j! ) D(e j! k j! k { { ( ) $ A(e ) ) } } 


. (2.52) 

In virtù del formalismo (2.51) o (2.52), il criterio è noto anche con l’appellativo min-max o equiripple. 

Il progetto di un filtro min-max è più complesso rispetto al criterio dei minimi quadrati. In genere, infatti, 

non è possibile derivare la funzione costo e determinare un sistema di equazioni eguagliando a zero la 

derivata. 

La soluzione del problema della determinazione della risposta impulsiva ottima del filtro è ricondotta a un 

problema di approssimazione in cui, data una certa funzione continua definita su in prefissato intervallo 

chiuso e limitato, occorre determinare il polinomio approssimante considerando la norma del massimo. Si noti 

che la funzione A(e jω ) non è vincolata nelle regioni di transizione. 

2.3.3.1 Risposta in ampiezza nella forma polinomiale di Chebyshev 

Considerando per semplicità il filtro di tipo I, dallo sviluppo in §1.5.4.1 possiamo scrivere 

L 

A(e j! ) = H(e j! n ) = ! a[n]cos! n (2.53) 

n=0 

in cui L= ( N −1) 2 − 1 e il termine a[n] è legato alla risposta impulsiva del filtro come 

a[0] = h[(N !1) 2] 

a[n] = 2h[(N !1) 2 + n] n = 1, 2, ..., (N !1) 2. 

(2.54) 

Per lo sviluppo in seguito, si osservi che il termine cos(ωn) nella (2.53) può essere espresso come somma di 

potenze di cosω nella forma 

cos!n = T n (cos! ) (2.55) 

−1 

in cui con Tk ( x) = cos( k cos x) 

si indica il polinomio di Chebyshev di ordine k che può essere generato con 

la seguente ricorrenza 

T 0 (x) = 1 

T 1 (x) = cos(cos !1 x) = x 

T 2 (x) = cos(2cos !1 x) = 2x 2 !1 

... 

T n (x) = 2xT n!1 (x) ! T n!2 (x). 

(2.56) 

Usando tali equivalenze, cos(ωn) può essere espresso come un polinomio in cosω per cui la risposta in 

ampiezza (2.53) può essere riscritta come 

L 

! 

L 

n = ! a[n]Tn cos! = ![n]cos 

n=0 

n=0 

n L 

! 

n=0 

A(e j! ) = a[n]cos! 

( ) 

! . (2.57) 

La precedente mostra che la risposta in ampiezza di un filtro FIR di tipo I di lunghezza N, può essere 

interamente determinata come un polinomio di ordine L= ( N −1) 2 − 1. 

Tale uguaglianza può essere 

utilmente usata per la definizione di numerosi metodi di progetti di filtri con criterio min-max. 

2.3.3.2 Determinazione delle equazioni 

La soluzione del problema del progetto è formulata considerando la teoria dell’approssimazione di funzioni 

con i polinomi di Chebyshev. In particolare la soluzione proposta da Parks-McClellan [10] è basata sul 

teorema dell’alternanza, che fornisce uno dei metodi più usati per l’approssimazione di funzione continue in 

un intervallo limitato.

64 Capitolo 2 

Teorema dell’alternanza 

Sia Ω un sottoinsieme compatto dell’intervallo [0, π ) . Sia P(x) un polinomio di ordine L 

L 

P(x) = a x n n 

! (2.58) 

n=0 

Sia DP(x) una funzione desiderata di x, continua in Ω . Indicata con WP(x) una funzione peso positiva, continua 

in Ω, sia EP(x) l'errore pesato 

E (x) = W (x) "# D (x) ! P(x) $ P P P % . (2.59) 

Il massimo errore E è definito dalla relazione 

E = max 

x!" 

E P (x) (2.60) 

Una condizione necessaria e sufficiente affinchè P(x) sia l'unico polinomio di ordine L che minimizza E 

è che EP(x) abbia almeno L+2 alternanze, cioè che esistano almeno L+2 valori xi in Ω tali che x1


corrispondente a un sistema di equazioni nelle incognite a[k] e ε che possono essere scritte in forma matriciale 

come 

1 cos! ! cos! L 1 G(e 0 0 j! 0 ) 

1 cos! ! cos! L !1 G(e 1 1 j! 1 ) 

! ! ! " ! 

1 cos! ! cos! L (!1) L L L G(e j! L ) 

1 cos! ! cos! L (!1) L+1 L+1 L+1 G(e j! " 

% 

$ 

' 

" a[0] % D(e 

$ 

' 

$ ' 

$ 

' 

$ a[1] ' 

$ 

' 

$ 

! 

' 

$ 

' 

$ ' 

= 

$ 

' 

$ a[L] ' 

$ 

L+1 ' 

$ ' 

) ! 

# 

$ 

& 

' # $ &' 

j! 0 ) 

D(e j! 1 ) 

! 

D(e j! L ) 

D(e j! " % 

$ ' 

$ ' 

$ ' 

$ ' (2.63) 

$ ' 

$ ' 

$ 

L+1 ) ' 

# $ &' 

Note le frequenze estremali, queste equazioni possono essere risolte per a[0], a[1], …, a[L] e ε. 

Osservazione 

Il precedente sviluppo può essere facilmente esteso al caso più generale in cui (vedi (1.64)) la risposta in 

ampiezza è espressa come 

L 

A(e j! ) = ! h[n]trig(!,n) . (2.64) 

n=0 

Algoritmo di Parks-McClellan 

La determinazione delle frequenze estremali nella (2.63) può essere fatta con il metodo di Parks-McClellan 

(PM) che, indicando con i l’indice di ricorrenza, è implementato con il seguente algoritmo ricorsivo 

(i=0) 

1. Inizializzazione. Scelta iniziale delle frequenze estremali ! . k 

2. Determinazione dell’errore massimo ε con la soluzione delle (2.63) 

! = 

L+1 

! 

b(k)D(e j! (i ) 

k ) 

k=0 

("1) k b(k) G(e j! L+1 

(i ) 

k ) 

! 

k=0 

dove 

b(n) = 

(2.65) 

L+1 

1 

# (2.66) 

(cos! ! cos! ) 

n k 

k=1,k"n 

3. Calcolo della funzione costo E(e j! (i) 

) sull’insieme di frequenze ! !" , interpolando tra i valori 

k 

estremali (usando la formula dell’interpolatore di Lagrange 1 ). 

4. Se per qualche ω risulta E(e j! (i+1) 

) > " , selezionare un nuovo insieme di frequenze estremali ! k 

scegliendo L+2 frequenze per cui la funzione interpolata di errore è quella massima. 

5. Ripetere dal passo 2 finché vengono trovate nuove frequenze. 

1 Data una funzione f(x) e n punti a1,a2... an per cui sono noti i valori f(a1),f(a2)...f(an) si definisce il polinomio interpolatore di 

Lagrange della funzione f il polinomio P(x) = f (a i ) 

n 

$ 

i=1 

# 

j"i 

x ! a j 

a i ! a j

66 Capitolo 2 

j 

He ( ) 

ω 

Figura 1.9 Filtro di tipo I, N = 15 (ordine pari a n=14), banda passante fp = [0, 0.1875] e banda oscura fs = 

[0.25, 0.5]. Con M = 7 il minimo numero di alternanze è pari a 9. Il ripple risultante è pari δp=δs= 

0.08836. 

Esempio 

In Figura 1.9 è riportata la risposta in frequenza di un filtro FIR di tipo I di lunghezza N=15 con specifiche 

! p = [0,2! "0.1.875] e ! s = [0,2! "0.25] . La H(e j! ) è calcolata con la procedura Matlab firpm che 

implementa il metodo di progetto di Parks-McClellan a sua volta basato sull’algoritmo di Remez [7] . 

Esempio 

In Figura 1.10 è riportata la risposta in frequenza di un filtro FIR di tipo I di lunghezza pari a N = 41 con 

specifiche ! p = [0,2! "0.15] e ! s = [0,2! "0.22] . La H(e j! ) è calcolata con la procedura Matlab firpm. 

Magnitute [dB] 20log|H(e jω )| 

10 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−1 

9 Frequenze estremali 

Nf = 15; 

n = Nf - 1; 

f = [0 0.375 0.5 1]; 

a = [1 1 0 0]; 

b = firpm(n,f,a) 

[h,w] = freqz(b,1,512); 

plot(w/(2*pi),abs(h)); 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Frequenza normalizzata 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


Figura 1.10 Filtro di tipo I, N = 41 (ordine pari a n=40), banda passante fp = [0, 0.15] e banda oscura fs = 

[0.22, 0.5].


Esempio 

La Figura 1.11 illustra un esempio di risposta in ampiezza di un filtro differenziatore di lunghezza pari a N = 

101. 

Figura 1.11 Esempio di progetto di un filtro differenziatore di lunghezza N = 101. Le specifiche sono riportate 

in figura. 

2.3.3.3 Regole per il progetto filtri FIR a minima norma di Chebyshev 

j 

L’algoritmo di PM è utilizzabile per approssimare qualunque risposta in ampiezza De ( ) 

ω e il progetto dei 

filtri è effettuato seguendo delle specifiche che, di volta in volta, possono essere diverse. Per esempio, nel 

caso di filtri passabasso i parametri di progetto d’interesse sono cinque: la lunghezza del filtro N, le regioni 

passband e stopband fp e fs e il massimo errore nelle regioni passband e stopband δp e δs. Tali valori non sono 

tra loro indipendenti e la modifica di uno di essi interferisce con gli altri quattro parametri. 

Una formula approssimata per il calcolo della lunghezza del filtro partendo dalle specifiche sul ripple, è la 

seguente 

N = !10log(! p ! ) !13 s 

+1 (2.67) 

14.6"f 

Esempio 

Supponiamo di volere progettare un filtro audio passabasso di tipo equiripple. Le specifiche sono: frequenza 

di campionamento pari a Fs = 48 kHz, attenuazione in banda oscura pari 100 dB con banda passante pari a 

500 Hz e banda di transizione pari a 200 Hz. 

La specifica sul ripple in valori naturali è pari a ! s = 10 !! sdB 20 = 10 !5 , mentre quella sulla banda di 

transizione normalizzata risulta !f = 200 / 48000 = 4.167"10 #3 per cui la lunghezza stimata del filtro risulta 

N = !10log(10!10 ) !13 

+1 = 1431 

!3 

14.6"4.167"10 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

n = 100; % order 

f = [0 0.9 0.95 1]; 

a = [0 1 0 0]; 

b = firpm(n,f,a) 

[h,w] = freqz(b,1,512); 

plot(w/(2*pi), abs(h)); 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Normalized Frequency

68 Capitolo 2 


0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-120 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 

x 10 4 

Frequency Hz 

Figura 1.12 Risposta in frequenza di un filtro FIR equiripple (leggi testo). 


0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-120 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 

x 10 4 

Frequency Hz 

Figura 1.13 Risposta in frequenza di un filtro FIR progettato con metodo LS con le stesse specifiche del filtro 

in Figura 1.12. 

Esempio 

Progetto di un filtro di crossover a due vie per applicazioni audio. La frequenza di campionamento è fs = 44.1 

kHz, la frequenza di taglio fs = 2 kHz, la banda di transizione è pari a Δf = 500 Hz e l’attenuazione della 

stopband pari a 90dB. 

Di seguito è riportato il codice Matlab per il calcolo del filtro di crossover dell’esempio. 

% TWO WAY CROSSOVER --------------------------------------------------- 

Fs = 44100; % Sampling Frequency 

% Low pass ---------------------------------------------------- 

Fc = 2000; % Cut Frequency 

dF1 = 500; % Delta Frequency 

dltdB = 90; % Desired stopband attenuation in [dB] 

dlt = 10^(-dltdB/20) 

N = round(((-10*log10(dlt*dlt))-13)/(14.6*(dF1/Fs))/2); 

N = 2*N; % Estimated filter order (odd length) 

F1 = (Fc - (dF1 /2.0)) / Fs; % Passband Normalized Frequency 

F2 = (Fc + (dF1 /2.0)) / Fs; % Stopband Normalized Frequency 

b1 = firpm(N,[0 2*F1 2*F2 1],[1 1 0 0],[1 1]) 

[h1,w] = freqz(b1,1,1024,Fs); 

% High pass by complementary response of lowpass filter -------- 

M = N/2 + 1; % Group delay


b3 = - b1; 

cntr = 1.0 - b1( M ); 

b3( M ) = cntr; 

[h3,w] = freqz(b3,1,1024,Fs); 

figure1 = figure('PaperSize',[7 11]); 

axes('Parent',figure1,'YMinorTick','on',... 

'XTick',[0 2000 4000 6000 8000 1e+004 1.2e+004 1.4e+004 1.6e+004 1.8e+004 2e+004 2.2e+004 

2.4e+004],... 

'XMinorTick','on'); 

xlim([0 2.4e+004]); 

ylim([-130 10]); 

box('on'); 

hold('all'); 

xlabel('Frequency Hz'); 

ylabel('Magnitute [dB] 20log|{\it{H}}({\ite^{j\omega}})|'); 

plot(w, 20*log10(abs(h1))); 

plot(w, 20*log10(abs(h3))); 

xn [ ] 

digital audio input 

M 

z − 

HLP() z 

Figura 1.14 Esempio di un filtro di crossover numerico a due vie. 

La Figura 1.14 mostra uno schema implementativo del filtro a due vie. Si osservi che la banda in alta 

frequenza è ottenuta sottraendo al segnale d’ingresso, opportunamente ritardato, la componente in bassa 

frequenza in uscita dal filtro. Si dimostra facilmente, infatti, che per la funzione di trasferimento del filtro 

passaalto complementare rispetto al passabasso vale 

jω jω 

H ( e ) = 1 − H ( e ) 

(2.68) 

HP LP 

− 

+ 

DAC Ampli 

DAC 

In Figura 1.15 sono riportate le risposte in frequenza in decibel e in valori naturali del filtro di crossover con 

le specifiche dell’esempio. 

Magnitute |H(e jω )| 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 

x 10 4 

0 

Frequency Hz 


Figura 1.15 Risposte in ampiezza di un filtro di crossover a due vie con frequenza di incrocio pari a f = 2kHz. 

Ampli 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

Tweeter 

Twetter 

Woofer 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 

x 10 4 

-120 

Frequency Hz

70 Capitolo 2 

2.3.4 Metodo della finestratura della risposta impulsiva ideale 

Il metodo della finestratura della risposta impulsiva ideale consiste nella moltiplicazione della risposta 

impulsiva ideale di un filtro numerico ideale di durata infinita hid[n], con una finestra di durata finita w[n]. In 

altri termini la risposta impulsiva del filtro è determinata come 

h[n] =w[n]! h id [n] . (2.69) 

La finestra w[n], che può essere scelte tra numerose alternative, consente di attenuare il fenomeno di Gibbs 

dovuto al troncamento della hid[n], eliminando o attenuando le discontinuità. 

Filtri FIR molto importanti nelle elaborazioni numeriche dei segnali, come già indicato in precedenza nel 

filtro passabasso ideale, sono quelli caratterizzati da risposte impulsive di tipo sinc(x). 

Nel caso di circuiti TD la risposta h[n] di un filtro passabasso con frequenza di taglio ωc ideale può essere 

calcolata con la seguente espressione 

h id [n] = 2 f c sinc(! c n) ! " < n < " . (2.70) 

Il troncamento della (2.70) è equivalente alla moltiplicazione della risposta impulsiva ideale con una 

sequenza finestra w[n] definita come: 

" $ 1 per -L ! n ! L 

w[n] = # 

%$ 0 altrove 

. (2.71) 

Il brusco troncamento della (2.70) ha come effetto la presenza di un ripple intorno alla maschera del filtro 

ideale. Il ripple può essere interpretato come effetto della convoluzione tra la risposta in frequenza ideale del 

filtro e la DTFT della finestra. La risposta in frequenza del filtro è quindi H(e j! ) = W (e j! )! H id (e j! ) . È 

ovvio, allora, che la forma della finestra w[n] può essere scelta in modo da diminuire tale effetto: per attenuare 

il ripple il troncamento è eseguito, in maniera meno brusca, moltiplicando la risposta ideale per una certa 

sequenza w[n] di lunghezza limitata, detta funzione finestra. 

Ne segue che la risposta impulsiva del filtro passabasso reale, di tipo causale (ovvero traslata a destra in 

modo che sia nulla per n

2n 

N !1 

0 " n " 

N !1 2 

w[n] = 2 ! 2n 

# 

% 

% 

% 

N !1 

$ 

< n " N !1 

% N !1 2 

% 0 altrove 

% 

& 


Di seguito è riportato un esempio di codice in linguaggio C per la creazione della finestra di Hamming e di 

Blackman. 

void SqWindow(double *w, long SqLength, char tyWindow) 

{ 

register int i; 

double Arg, a,b,c; 

Arg= 6.28318530717959/(SqLength-1); 

switch (toupper(tyWindow)) 

{ 

case 'H' : 

a=0.54; b=0.46; c=0; 

break ;/* Hamming */ 

case 'B' : 

a=0.42; b=0.5; c=0.08; 

break ;/* Blackman */ 

default : 

a=1; b=0; c=0; 

break; 

} 

for(i=0;i

72 Capitolo 2 

pari alla convoluzione tra le DTFT del filtro ideale e della funzione finestra. A titolo di esempio, in Figura 

1.18 sono riportate le curve caratteristiche di un filtro passabasso realizzato con l’espressione (2.72) con 

finestra di Hamming per N=51. 

Figura 1.17 Risposta in ampiezza, valutata in decibel e normalizzata a 0dB, di alcune finestre di lunghezza N 

= 99. Le finestre sono: a) rettangolare; b) triangolare o di Bartlett; c) Hamming; d) Blackman. 

Tabella 1.1 Caratteristiche Δω vs. lunghezza N di alcune funzioni finestra [3]. 

Tipo di 

finestra 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

j 


ω 

Larghezza 

lobo Δω 

−13 

dB 

a) b) 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


j 


ω 

−41 

dB 

c) d) 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


Picco del lobo 

secondario 

[dB] 

Attenuazione 

minima [dB] 

Banda di 

transizione Δω 

Rettangolare 4π N – 13.3 – 20.9 1.84 π ( N − 1) 

Bartlett 8π N 

–26.5 –26.5 2.37! (N !1) 

Hanning 8π N – 31.5 – 43.9 5.01! (N !1) 

Hamming 8π N – 42.7 – 54.5 6.64 π ( N − 1) 

Blackman 12π N – 58.1 – 75.3 11.13 π ( N − 1) 

In termini del tutto generici, la forma della finestra determina: 

• l’andamento del ripple intorno alla banda di transizione; 

• l’attenuazione e la forma dello spettro in banda oscura. 

In generale, detta Δω la larghezza della banda di transizione del filtro, questa sarà tanto più larga quanto più 

elevata risulta l’attenuazione della banda oscura. 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

j 


ω 

−25dB 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


j 


ω 

−57dB 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Normalized Frequency

Amplitude 

Magnitude (dB) 

Continuous Phase (radians) 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

Impulse Response 

-0.2 

0 5 10 15 20 25 

Time (secs) 

30 35 40 45 50 

0 

-20 

-40 

-60 

Magnitude Response in dB 

-80 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 

Frequency (Hz) 

Continuous Phase Response 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 


Magnitude 

Imaginary Part 


0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 


Figura 1.18 Curve caratteristiche di un filtro FIR passabasso con finestra di Hamming, detta anche a coseno 

rialzato, per N=51, fc=0.25. 

La Figura 1.19 mostra un confronto delle risposte in frequenza di un filtro passabasso progettato con 

alcune tipi di finestre. 

Si noti che tutte le finestre definite sono simmetriche rispetto al punto centrale. Nell’ipotesi che la risposta 

desiderata sia anch’essa simmetrica, anche la risposta impulsiva “finestrata” sarà simmetrica e sarà quindi 

caratterizzata da una fase lineare generalizzata. Naturalmente la stessa condizione si può ottenere nell’ipotesi 

di antisimmetria della finestra e antisimmetria della risposta impulsiva desiderata. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

Magnitude Response 

Pole/Zero Plot 

50 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

Real Part

74 Capitolo 2 

Figura 1.19 Filtro FIR passabasso N = 51, f1 = 0.1 e f2 = 0.2 

2.3.4.1 Finestre parametriche 

La scelta di forma e durata della finestra determina le proprietà del filtro FIR risultante nelle tecniche di 

progetto considerate. In molti casi tuttavia la scelta di finestre differenti e la procedura di ottimizzazione per 

approssimazioni successive non risulta molto efficiente. Al fine di avere una maggiore flessibilità di progetto, 

per alcuni tipi di finestra è definita una certa modalità di controllo parametrico. In altri termini, la funzione 

finestra è regolata da uno o più parametri che consentono di fissare a priori la larghezza della banda di 

transizione e l’attenuazione della banda oscura. In questo caso la lunghezza della finestra necessaria per il 

raggiungimento delle specifiche risulta essere determinata indirettamente. 

Finestra di Kaiser 

Tre le più usate nelle applicazioni di filtraggio e di analisi spettrale, la finestra di Kaiser, regolata dal 

parametro β, è definita per N dispari ( N = 2M + 1) 

come 

( ) 

I 0 ! 

I ! n(2M ! n) M 

0 

w[n] = 

( ) 

n = 0, 1 , … , N – 1 

dove I0(x) è la funzione di Bessel modificata di ordine zero del primo tipo definita come 

I 0 (x) = 1+ 

' 

( 

k=1 

j 


ω 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

−100 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

( x 2) 

k 

2 

! $ 

# & . 

# k! & 

" % 

Rettangolare Bartlett 

Hamming 


Blackman 

A differenza delle altre finestre, la finestra di Kaiser ha due parametri: la lunghezza N e il parametro di forma 

β. Scegliendoli opportunamente è possibile determinare l'ampiezza dei lobi laterali e la larghezza del lobo 

principale conseguenti.


Figura 1.20 Andamento della finestra di Kaiser in funzione del parametro di controllo beta. 

Indicando con A il minimo valore, calcolato in decibel, del ripple desiderato tra la banda oscura e la banda 

passante 

" 

# 

A = !20log 10 min(! p ,! s ) 

$ 

% 

(2.74) 

la finestra di Kaiser consente di ottenere un trade-off tra le varie specifiche del filtro regolate dal valore di β 

che può essere determinato con le seguenti formule 

0.1102(A ! 8.7) if A > 50 

! = 0.5842(A ! 21) 0.4 # 

% 

$ 

+ 0.07886(A ! 21) if 21" A " 50 

% 

0 if A < 21 

&% 

(2.75) 

La lunghezza del filtro è determinata in funzione della larghezza della banda di transizione desiderata 

come Δ f 

N = D ! f s 

"f 

wn [ ] 

1 

Kaiser window 

β = 5 

β = 2 

N −1 

0 N −1 

n 

2 

n = 0, 1 , … , N – 1 (2.76) 

dove fs rappresenta la frequenza di campionamento e il parametro D è calcolato come 

# % (A ! 7.95) 14.36 if A > 21 

D = $ 

&% 0.922 if A " 21 

(2.77) 

Esempio 

Progetto di un filtro di crossover a tre vie con frequenze d’incrocio f1 = 2kHz e f2 = 5kHz con Δf1 = 1kHz e 

Δf2 = 2.5kHz. La frequenza di campionamento è fs = 44.1 kHz e l’attenuazione richiesta nelle stopband è pari 

a 80 dB. 

Soluzione 

Indicando hLP[n], hMP[n] e hHP[n], rispettivamente le riposte impulsive del filtro passabasso, passabanda e 

passaalto, procediamo con la tecnica della finestratura e imponiamo la condizione che la risposta complessiva 

dei tre filtri sia un impulso ritardato. Vale quindi la relazione 

h LP [n] + h MP [n] + h HP [n] = ![n ! M ] 

β = 10 

in cui l’indice M indica il ritardo di gruppo dei tre filtri supposti di identica lunghezza.

76 Capitolo 2 

Il calcolo dei parametri della finestra di Kaiser è effettuato per mezzo delle espressioni (2.74)-(2.77). Per la 

(2.74) vale A =− 80 . Il parametro β, per la (2.75) vale β =7.63. Per la (2.76) e la (2.77) il filtro ha una 

lunghezza N = 223. In figura 1.22 sono riportate le risposte in ampiezza dei filtri. 

xn [ ] 

digital audio input 

M 

z − 

Figura 1.21 Schema del filtro di crossover a tre vie. 

Tutti i parametri della finestra di Kaiser, le risposte impulsive e gli andamenti della risposta in frequenza sono 

valutati con la seguente procedura Matlab. 

% Design of three way audio crossover filter 

% Kaiser window methdo 

Fs = 44100; % Sampling frequency 

F1 = 2000 ; % Crossover f1 

DF1 = 1000; % Transition band 1 

F2 = 5000 ; % Crossover f2 

DF2 = 2500; % Transition band 2 

Rs = 80; % Ripple in dB 

% Lowpass section 

DEV = [ 10^(-Rs/20), 10^(-Rs/20) ]; 

[n,Wn,bta,filtype] = kaiserord( [F1-DF1/2 F1+DF1/2], [1 0],DEV, Fs); 

n = 2*floor(n/2); % force even order (odd length) 

N = n + 1; 

hlp = fir1(n, Wn, filtype, kaiser(N,bta), 'noscale'); 

% Bandpass section 

DEV = [ 10^(-Rs/20), 10^(-Rs/20) , 10^(-Rs/20) ]; 

F = [F1-DF1/2 F1+DF1/2 F2-DF2/2 F2+DF2/2 ]; 

[n1,Wn,bta1,filtype] = kaiserord( F, [0 1 0],DEV, Fs) 

hbp = fir1(n, Wn, 'bandpass', kaiser(N,bta), 'noscale'); 

%High pass by complementary response of bandpass & lowpass filters 

M = n/2 + 1 % Group delay 

hhp = - (hlp + hbp); 

cntr = 1.0 - (hlp(M) + hbp(M)); 

hhp( M ) = cntr; 

[HHP,w] = freqz(hhp,1,1024,Fs); 

% DTFT computation 

[HLP,w] = freqz(hlp,1,1024,Fs); 

[HBP,w] = freqz(hbp,1,1024,Fs); 

[HHP,w] = freqz(hhp,1,1024,Fs); 

+ 

− 

DAC Ampli 

HBP() z DAC Ampli 

HLP() z 

− 

DAC 

Ampli 

% Plot Frequency Response 

ylim([-110 10]); 

box('on'); 

hold('all'); 

plot(w,20*log10(abs(HBP)), w,20*log10(abs(HLP)), w,20*log10(abs(HHP))); 

box('on'); 

hold('all'); 

xlabel('Frequency Hz'); 

ylabel('Magnitute [dB] 20log|{\it{H}}({\ite^{j\omega}})|'); 

% Copyright (2011) A. Uncini - University of Rome "La Sapienza"- Italy 

Twetter 

Tweeter 

Mid − Range 

Woofer


0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 

x 10 4 

-120 

Frequency Hz 

Figura 1.22 Risposte in frequenza del filtro di crossover a tre vie progettato con il metodo della finestratura di 

Kaiser.

78 Capitolo 2 

2.4 Progetto di filtri IIR 

2.4.1 Progetto di filtri analogici 

Data una funzione di trasferimento (FdT) analogica H(s) del tipo 

H(s) = b 0 + b 1 s +!+ b q sq 

a 0 + a 1 s +!+ a p s p 

per progetto del filtro si intende la determinazione dei coefficienti ak e bk tali che siano soddisfatte le 

specifiche di progetto del filtro stesso. 

Tipicamente le specifiche del filtro vengono fornite con una maschera passabasso di tipo già visto nel caso 

TD. In questo caso la FdT analogica è a solo poli 

1 

H(s) = 

a + a s +!+ a s 0 1 p p 

per cui la risposta in frequenza è determinata dalla posizione dei poli nel piano s. 

2.4.1.1 Specifiche di un filtro analogico 

Le specifiche di progetto per un filtro analogico sono, in genere, fornite con due tipi di convenzioni diverse. 

Come illustrato in Figura 1.23, è possibile usare i parametri relativi al ripple, simili a quelli definiti nel caso di 

filtri numerici, indicati come δp, δs , oppure attraverso i parametri ε e A. 

Figura 1.23 Possibili modalità di fornire le specifiche per un filtro analogico. 

In figura, Ωc indica la frequenza di taglio a –3 dB (in genere si pone Ωc = 1 per una normalizzazione in 

frequenza), Ωp indica la massima frequenza passabanda o passband-edge, Ωs indica la frequenza di stop e il 

termine 

1 

1− δ p 

δ s 

H( jΩ) 

Passband 

c Ωs 

2 

1 1+ ε indica lo scostamento dalla risposta ideale. 

2.4.1.2 Filtri max-flat e equiripple del I e del II ordine 

Ω p 

Ω 

Stopband 

Ω 

Un filtro passabasso max-flat (massimamente piatto) con frequenza di taglio a –3 dB pari a Ωc, è 

caratterizzato da una distribuzione dei poli simmetrica nel semipiano negativo s intorno ad un cerchio di 

raggio Ωc , come illustrato in Figura 1.24-a). In figura 1.24-b) è riportata invece la distribuzione dei poli in un 

filtro ellittico o equiripple. 

Nel caso del primo ordine, in cui la FdT è caratterizzata da un solo polo, si ha 

1 

2 

1 1+ ε 

1 A 

H( jΩ) 

Passband 

Ω 

p 

Ω 

c Ωs 

Stopband 

Ω

1 

Hs () = 

1+ 

τ s 

per cui in questo caso max-flat e equiripple coincidono. 


Figura 1.24 Posizione dei poli sul piano complesso per un tipico filtro passabasso analogico. a) filtro maxflat; 

b) filtro ellittico o equiripple 

Consideriamo ora una FdT del II ordine con poli s1 e s2 

1 

H(s) = 

1! 1 

1 

= 

" % " 1 % 

$ s 

# s ' $ 1! s 

1 & # s ' 

1+ 

2 & 

s s2 

+ 2 

( Q ( c c 

(2.78) 

caratterizzata da una risposta in frequenza 2 del tipo illustrato in Figura 1.25. Q è il cosiddetto fattore di bontà 

del filtro. 

Ponendo nella precedente, per semplicità, Ω c = 1, 

ovvero considerando una FdT normalizzata in frequenza, è 

possibile dimostrare che la condizione max-flat si ha quando i poli della FdT sono a ± π 4 nel semipiano 

negativo, ovvero quando i poli sono 

1 1 1 1 

s1 = − + j , s2 = − − j . 

2 2 2 2 

La FdT risulta pari a 

" 1 1 % " 1 1 % 

! j 

# 

$ 

2 2 & 

' + j 

# 

$ 

2 2 & 

' 

H(s) = 

s + 1 

1 

= 

" 1 % " 1 1 % s 

! j 

# 

$ 

2 2 & 

' s + + j 

# 

$ 

2 2 & 

' 

2 + 2s +1 . 

Dalla precedente e dalla (2.78) risulta che la condizione max-flat si ha quando il fattore di bontà Q risulta 

1 

Q = . 

2 

2 Si ricorda al lettore che per indicare la frequenza analogica si usa il simbolo Ω, mentre per la frequenza numerica si usa 

il simbolo ω. 

piano s 

jΩ 

s= σ + jΩ 

a) b) 

σ 

jΩ 

σ

80 Capitolo 2 

Figura 1.25 Diagramma di Bode di un filtro passabasso del II ordine al variare del fattore di bontà Q. 

Il diagramma di Bode della FdT max-flat illustrato in Figura 1.25 dista, alla frequenza di taglio, –3dB rispetto 

alla maschera del filtro ideale. Si può inoltre osservare che per la risposta in ampiezza vale 

2 4 

H( jΩ ) = 1 (1 + ( Ω Ω c ) ) . 

Seguendo lo stesso ragionamento è possibile dimostrare che un filtro ellittico equiripple o min-max 

(minimo errore massimo) si ha quando Q = 1, 

ovvero quando la FdT risulta pari a 

Hs () = 

1 

+ + 1 

2 

s s 


Phase (deg) 

-12 

-18 

-24 

0 

In questo caso la posizione dei poli risulta essere 

24 

18 

12 

-6 

s = ! 1 1 3 

+ j 

2 2 , s 1 3 

= ! ! j 1 

2 2 

6 

0 

−3dB 

-45 

-90 

-135 

-180 

10 -1 

Q = 0.707 

Q = 0.5 

Bode Diagram 

ovvero i poli sono disposti sul semipiano dei numeri complessi a parte reale negativa con angoli pari a ± π 6 . 

10 0 

Frequency (rad/sec) 

Q = 12 

Q = 8 

Q = 4 

Q = 1 

pendenza 

−12dB 

ott 

Ω 

Ω 

c 

10 1


Figura 1.26 Posizione dei poli sul piano s per filtri analogici del II ordine max-flat (in blu) e equiripple (in 

rosso). 

2.4.1.3 Filtro di Butterworth 

Nella trattazione che segue si fa riferimento per semplicità al filtro passabasso. La generalizzazione ad 

ogni tipo di filtro è immediata. 

I filtri di Butterworth sono filtri a soli poli. Il filtro di Butterworth di ordine N e frequenza di taglio a –3 dB 

pari a Ωc è caratterizzato da una risposta in frequenza del tipo 

H( j!) 2 1 

= 

1+ ! " % 

$ ' 

# & 

! c 

2N 

. (2.79) 

Usando il parametro ε (che definisce la specifica sul ripple) e la frequenza stopband Ωp, la precedente 

relazione può essere riscritta come 

H( j!) 2 1 

= 

1+ ! 2 

2N 

" ! % 

$ ' 

# & 

(2.80) 

dove il parametro ε vale 

! p 

! = ( ! ! p c ) N 

. (2.81) 

Dato che vale la proprietà H( j!) 2 

= H(s)H("s) dalla (2.79) si ricava 

s= j! 

H(s)H(!s) = 

# 

1+ % 

$ 

1 

s 

j" c 

& 

( 

' 

2N 

1 

− 

2 

1 

− 

2 

. (2.82) 

I 2N poli di H(s)H(!s) giacciono su un cerchio di raggio Ωc e sono disposti in modo equispaziato a una 

distanza angolare pari a ! / N l'uno dall'altro. In particolare i poli della H(s) giacciono sul semipiano dei reali 

negativi mentre quelli della H(–s) su quello dei reali positivi. Infatti, dalla (2.82) abbiamo che i poli sono 

jω 

piano s 

σ

82 Capitolo 2 

s k = (!1) 1 (2N ) ( j" c ) = (!1) 1 (2N ) e j! 2 " c = " c e j(2k+1+N )! 2N k = 0, 1 , … , 2N – 1 (2.83) 

Figura 1.27 Andamento della risposta in ampiezza quadratica 

ordine. 

2 

H( jΩ ) per filtri di Butterworth di vario 

Come esempio, in Figura 1.28 è riportata la posizione dei poli per filtri di Butterworth per N = 3 e N = 4. 

Figura 1.28 Per i filtri di Butterworth i poli si ottengono dividendo il cerchio di raggio Ωc in 2N spicchi identici e 

distanti ! / N . a) poli per N=3; b) poli per N = 4. 

La FdT può essere espressa in termini di poli come 

H(s) = 

N 

) 

k=1 

1 

1! s " # & 

c 

% ( 

$ ' 

s k 

2 

H( jΩ) 

in cui il denominatore è un polinomio di Butterworth definito dalla formula 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

1 

2 

1+ ε 

2π 

π 

φ k = + k 5π 

π 

jω 

φ jω 

3 p 

k = + 

k 

8 p 

Hs () 

H( −s) 

a) 

2π 

φ 0 = 

3 

π 

3 

p = 3 

σ 

p = 5 

Ωc 

p = 3 

p = 4 

p = 2 

b) 

p = 1 

Hs () 

H( −s) 

5π 

φ 0 = 

8 

π 

4 

p = 4 

(2.84) 

σ

s 

B (s) = N 2 " 2k + N !1% 

! 2scos 

# 

$ 2N & 

' +1 

N 2 ( 

+ 

. * 

- 

k=1 ) 

, 

(s +1) s 2 " 2k + N !1% 

! 2scos 

# 

$ 2N & 

' +1 

/ 

1 

1 

0 

( N !1) 2 

1 

( 

+ 

1 . * 

- 

k=1 

2 

) 

, 

N pari 

N dispari 


(2.85) 

Calcolando la (2.85) per N = 1, 2, …, 8 si ottengono i seguenti polinomi di Butterworth normalizzati 

1 (s +1) 

2 (s 2 +1.4142s +1) 

3 (s +1)(s 2 + 2s +1) 

4 (s 2 + 0.7654s +1)(s 2 +1.8478s +1) 

5 (s +1)(s 2 + 0.6180s +1)(s 2 +1.6180s +1) 

6 (s 2 + 0.5176s +1)(s 2 +1.4142s +1)(s 2 +1.9319s +1) 

7 (s +1)(s 2 + 0.4450s +1)(s 2 +1.2470s +1)(s 2 +1.8019s +1) 

8 (s 2 + 0.3902s +1)(s 2 +1.1111s +1)(s 2 +1.6629s +1)(s 2 +1.9616s +1) 

Criteri di progetto 

2 

La H( jΩ ) è monotona decrescente sia nella banda passante che in quella oscura. Se consideriamo i 

diagrammi di Bode dei polinomi in precedenza indicati, sappiamo che la risposta in ampiezza 

20log dB H( jΩ ) decresce con un andamento (roll-off) pari a N ! 6 dB/ottava (o N ! 20 dB/decade). Per 

esempio, un filtro con N = 3 e fc = 1kHz, a f = 2kHz presenterà un’attenuazione di circa 18 dB e a f = 10 kHz 

di circa 60 dB. 

Nel caso si abbia una stopband Ωs con una specifica attenuazione richiesta δ2, per il calcolo dell’ordine si 

può usare la seguente la seguente relazione derivata dalla (2.79) 

" 

1 

2N 

% 

$ ' 

# ! p & 

= ! 2 

2 

(2.86) 

! 2 ! s 

Risolvendo rispetto a N si trova 

N = log[(1 ! 2 

) !1] 2 log(! ") 

= 

2log(" " ) log(" " ) s c s p (2.87) 

dove per definizione ! 2 = 1 1+ ! 2 . Il filtro di Butterworth è quindi completamente caratterizzato dai 

parametri N, δ2, ε e dal rapporto (! s ! p ) . 

Esempio 

Determinare l’ordine e i poli di un filtro passabasso di Butterworth con frequenza di taglio a –3 dB fc = 1000 

Hz e un’attenuazione di 40 dB a fs = 2000 Hz.

84 Capitolo 2 

Figura 1.29 Diagramma di Bode del filtro di Butterworth (vedi testo) di ordine p = 7 con Ωc = 2000π e Ωs = 

4000π . 

Soluzione 

Essendo la specifica definita su un’ottava (fs = 2fc), approssimativamente possiamo dire che l’ordine del 

polinomio dovrà essere p > 40/6 (p = 7). Procedendo con la (2.87), le frequenze critiche sono Ωc = 2000π e Ωs 

40 20 

= 4000π. Per un’attenuazione di 40dB risulta 2 10 0.01 

δ 

− 

= = per cui dalla (2.87) otteniamo 

N = log[(1 10!4 ) !1] 

2log(2) 

= 6.64 (2.88) 

Quindi, per soddisfare le specifiche si conferma la scelta di un ordine N = 7. I poli della FdT sono 

s = 2000! !e k j! [1+(2k+1) 7] 

2 

2.4.1.4 Filtri di Chebyshev 

k = 0, 1, … , 6. (2.89) 

Vi sono due tipi di filtri di Chebyshev: i filtri di tipo 1 a soli poli, che hanno un comportamento equiripple 

nella regione passabanda e un roll-off monotono decrescente nella stopband, e i filtri di tipo 2 con poli e zeri, 

che hanno un andamento monotono nella passband e equiripple nella stopband. Gli zeri per questa classe di 

filtri giacciono sull’asse immaginario del piano s. 

Il filtro di Chebyshev di tipo 1 è caratterizzato da una risposta in ampiezza quadratica del tipo 

H( j!) 2 

= 


Phase (deg) 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

0 

-90 

-180 

-270 

-360 

-450 

-540 

10 2 

-630 

1 

( ) 

1+ ! 2 2 

T ! ! N p 

TN(x) è il polinomio di Chebyshev di ordine N definito come 

10 3 

Bode Diagram 


. (2.90) 

cos(N cos 

T (x) = N !1 x) x " 1 

cosh(N cosh !1 # 

% 

$ 

. (2.91) 

x) x > 1 

& 

% 

mentre ε è un parametro relativo al ripple in banda passante. I polinomi di Chebyshev possono essere generati 

ricorsivamente utilizzando le relazioni 

ω 

c 

10 4 

ω 

s 

ω 

10 5

T 0 (x) = 1 

T 1 (x) = x 

! 

T N +1 (x) = 2xT N (x) ! T N !1 (x) N = 1,2, ... 

Per esempio T 2 (x) = 2x 2 !1, T 3 (x) = 4x 3 ! 3x , …. . 

Alcune proprietà di questi polinomi sono: 

1. T N (x) ! 1 " x ! 1 

2. T N (1) = 1 !N 

3. Le radici di T N (x) giacciono nell’intervallo !1" x " 1. 


(2.92) 

Il parametro ε è legato al ripple nella regione passabanda, come illustrato in figura. Per N dispari T N (0) = 0 e 

quindi H(0) 2 

= 1. Per N pari T (0) = 1 e H(0) N 2 

= 1 (1+ ! 2 ) . In corrispondenza del limite della banda 

passante ! = ! risulta T (1) = 1 e quindi 

p 

N 

ovvero 

1 

1+ ! 2 = 1! " 1 

! 2 1 

= 

( 1! " 1) 

2 !1 

essendo ! 1 il ripple nella banda passante. 

Figura 1.30 Risposta in ampiezza quadratica di un filtro di Chebyshev del I tipo. 

I poli giacciono su un'ellisse nel piano s avente come asse minore 

r 1 = ! p 

e asse maggiore 

! 2 "1 

2!

86 Capitolo 2 

r 2 = ! p 

in cui β è dato da 

! 

! = # 

" 

! 2 +1 

2! 

1+" 2 $ 

+1 

& 

" & 

% 

1 N 

. 

La posizione dei poli per un filtro di Chebyshev di ordine N può essere determinata dalla posizione dei poli di 

un filtro equivalente di Butterworth di ordine N che appartengono a circonferenze di raggio r1 o r2. Indicando 

con φk le posizioni angolari dei poli del filtro di Butterworth 

! = k ! (2k +1)! 

+ 

2 2N 

k = 0,1,2,..., N !1 

allora i poli del filtro di Chebyshev appartengono all'ellisse con coordinate (xk, yk) (si veda la Fig. 1.31) in cui 

x k = r 1 cos! k k = 0,1,2,..., N !1 

y k = r 2 sin! k k = 0,1,2,..., N !1 

Figura 1.31 Determinazione del luogo dei poli per un filtro di Chebyshev. 

Un filtro di Chebyshev di tipo II contiene sia zeri che poli. La risposta in ampiezza quadratica in questo 

caso vale 

H( j!) 2 

= 

1 

1+ ! 2 2 2 

[T (!s ! ) / T (!s !)] 

N 

p N 

in cui ! s è la frequenza della banda di stop (si veda figura). 

jω 

r1 

r2 

σ


Figura 1.32 Risposta in ampiezza quadratica di un filtro di Chebyshev del II tipo. 

Gli zeri del filtro appartengono all'asse immaginario e sono dati da 

s k = j ! s 

sin! k 

k = 0,1,..., N "1 

I poli sono posizionati nei punti (vk, wk), dati da 

v = k ! sxk 2 2 

x + yk 

k 

e wk = ! s yk 2 2 

x + yk 

k 

k = 0,1,..., N "1 

in cui i punti (xk, yk) sono definiti come nelle equazioni precedenti e β stavolta è legato al ripple nella 

banda di stop dalla relazione 

! = 1+ 1! " " 

2 % 

2 

$ ' 

# 

$ " 2 & 

' 

1 N 

. 

Da questa descrizione si deduce che i filtri di Chebyshev sono caratterizzati dai parametri N, ε, δ2 e dal 

rapporto Ω s/Ωp. L'ordine del filtro può essere ricavato dalle specifiche su ε, δ2 e Ω s/Ωp dalla relazione 

N = 

2 2 2 

log ( 1! ! + 1! ! (1+ " ) 

2 

2 ) !" " 

2 

#$ 

" 

#$ 

log (( s / ( p ) + (( s / ( p ) 2 !1 

in cui per definizione ! 2 = 

1 

. 

2 

1+ ! 

% 

&' 

% 

&' 

= cosh!1 (! / ") 

cosh !1 (( s / ( p ) 

Esempio 

Si determinino ordine e poli di un filtro passabasso di Chebyshev del primo tipo con un ripple in banda 

base di 1dB, una frequenza di cutoff ! p =1000! , una frequenza di stop di 2000π e una attenuazione di 

almeno 40dB per ! " ! s . 

Innanzitutto si può determinare l'ordine del filtro. Si ha 

Inoltre 

10log 10 (1+ ! 2 ) = 1! ! = 0.5088

88 Capitolo 2 

20log 10 ! 2 = !40 " ! 2 = 0.01 

Di conseguenza 

N = log10196.54 = 4.0 

log (2 + 3) 10 

e un filtro con quattro poli verifica dunque le specifiche. Per determinare la posizione dei poli si possono 

calcolare innanzitutto i parametri β, r1 e r2 . Risulta 

! = 1.429, r 1 = 1.06! p , r 2 = 0.365! p 

Gli angoli φk risultano 

! = k ! (2k +1)! 

+ 

2 8 

mentre i poli sono 

k = 0,1,2,3 

x 1 + jy 1 = !0.1397" p ± j0.979" p 

x 2 + jy 2 = !0.337" p ± j0.4056" p 

Si noti che in generale un filtro di Chebyshev soddisfa le specifiche con un numero di poli inferiore a quello 

richiesto da un filtro di Butterworth corrispondente. In alternativa, si può dire che confrontando un filtro di 

Butterworth e uno di Chebyshev con lo stesso numero di poli e le stesse specifiche in termini di banda 

passante e banda di stop, il filtro di Chebyshev avrà una banda di transizione più piccola. 

2.4.1.5 Filtri ellittici 

I filtri ellittici (o di Cauer) hanno un comportamento equiripple sia nella banda passante che in quella 

oscura (si veda la figura per i casi di lunghezza pari e dispari). 

Figura 1.33 Risposta in ampiezza quadratica di un filtro ellittico. 

Questi filtri hanno sia zeri che poli e hanno la risposta in ampiezza quadratica 

H( j!) 2 

= 

1 

1+ ! 2 U N (! / ! p ) 

in cui UN(x) è la funzione Jacobiana ellittica di ordine N e ε è un parametro relativo al ripple in banda 

passante. Gli zeri appartengono all'asse immaginario.


Si ricorda che il progetto più efficiente si ha quando l'errore di approssimazione è distribuito sia in banda 

passante che in banda oscura. I filtri ellittici raggiungono questo obiettivo e di conseguenza sono i più 

efficienti, nel senso che forniscono il filtro di ordine minimo per un dato insieme di specifiche. In modo 

equivalente si può dire che a parità di ordine e di specifiche, un filtro ellittico ha la banda di transizione più 

piccola possibile. 

L'ordine del filtro necessario per raggiungere un dato insieme di specifiche in termini di ripple in banda 

passante δ1, ripple in banda oscura δ2 e rapporto di transizione Ωp/Ωs è dato da 

( ) 

( ) 

K(! / ! )K p s 

N = 

1" (! 2 / ! 2 ) 

K(! / ! )K 1" (! / ! ) p s 2 

in cui K(x) è l'integrale ellittico completo del primo tipo, definito da 

K(x) = 

" 2 

" 

0 

d! 

1! x 2 sin 2 ! 

e ! 2 = 1 1+ ! 2 . I valori di questo integrale sono stati tabulati in diversi testi. Il ripple nella banda 

passante è 10log 10 (1+ ! 2 ) . 

Naturalmente sono disponibili numerosi programmi per il progetto di filtri ellittici a partire dalle specifiche 

in frequenza fornite. Si noti che tali filtri, pur essendo ottimi dal punto di vista della complessità, non risultano 

soddisfacenti dal punto di vista ad esempio della risposta in fase, che risulta più non lineare nella banda 

passante rispetto a quello che accade in un filtro di Butterworh o in un filtro di Chebyshev, specialmente in 

prossimità del limite della banda. 

2.4.1.6 Filtri di Bessel 

I filtri di Bessel sono una classe di filtri a soli poli con la seguente funzione di rete 

H(s) = 

1 

B N (s) 

in cui BN(s) è il polinomio di Bessel di ordine N. Questi polinomi possono essere espressi nella forma 

N 

! 

B N (s) = a k s k 

k=0 

in cui i coefficienti ak hanno la seguente espressione 

a k = 

(2N ! k)! 

2 N !k k!(N ! k)! 

k = 0,1,..., N 

In alternativa i polinomi di Bessel possono essere generati in maniera ricorsiva dalla relazione 

B N (s) = (2N !1)B N !1 (s) + s 2 B N !2 (s) 

in cui B0(s) = 1 e B1(s) = s+1. 

Una caratteristica importante dei filtri di Bessel è la risposta in fase lineare nella banda passante. In figura 

è riportato il confronto tra la risposta in ampiezza e la risposta in fase di un filtro di Bessel e un filtro di 

Butterworth di ordine N=4. Si noti che il filtro di Bessel ha una regione di transizione più ampia, ma la sua 

risposta in fase è lineare nella banda passante. Naturalmente bisogna tenere conto della trasformazione del 

filtro nel dominio discreto e di come tale trasformazione modifichi la risposta in fase.

90 Capitolo 2 

Figura 1.34 Risposta in ampiezza e risposta in fase dei filtri di Butterworth e Bessel di ordine N=4. 

2.4.2 Progetto di filtri IIR a partire da filtri analogici 

Il progetto di un filtro numerico IIR caratterizzato da un FdT del tipo 

H(z) = b0 + b1z!1 +…+ bM z !M 

a0 + a1z !1 (2.93) 

!N 

+…+ aNz eseguito direttamente nel dominio numerico, può risultare difficile. Nel caso si voglia procedere 

minimizzando una certa funzione costo definita dalla distanza tra la maschera e la risposta del filtro, secondo 

una certa metrica, la presenza del numeratore e del denominatore porta generalmente ad un sistema di 

equazioni non lineari. Molto spesso, quindi, per aggirare tale difficoltà si preferisce progettare un filtro 

analogico e successivamente trasformare la FdT H(s) analogica in una corrispondente H(z) che la realizza il 

filtro nel dominio numerico.


Il passaggio dal dominio s al dominio z, in pratica, coincide con il problema della simulazione di un 

sistema fisico a TC lineare con un suo modello nel TD. Come vedremo è proprio la linearità che ci consente di 

definire delle modalità alternative per effettuare il passaggio. 

Nel caso in cui il sistema fisico analogico fosse determinato da un’equazione differenziale lineare a 

coefficienti costanti del tipo 

( M) ( N) 

dy( t) d y( t) dx( t) d y( t) 

0 ( ) + 1 + + M = ( ) 0 ( ) + M 1 + + N ( N) 

d y t d L d c x t c L c 

(2.94) 

dt dt dt dt 

In termini generali potremo procedere discretizzando direttamente la precedente equazione con un periodo di 

a , b dell’equazione alle differenze in funzione dei 

campionamento T cercando di esprimere i coefficienti { k k} 

corrispondenti coefficienti dell’equazione differenziale { , } 

d c e del tempo di campionamento T. 

Nel caso in cui avessimo calcolato la risposta impulsiva per h(t) del sistema fisico (2.94) è la risposta 

impulsiva stessa che potrebbe essere campionata e usata per modellare il sistema fisico. 

Un’altra modalità di simulazione potrebbe essere basata sulla conoscenza delle soluzioni della (2.94). In 

questo caso piuttosto che discretizzare direttamente l’equazione differenziale, potremo discretizzarne una sua 

soluzione integrale. 

In generale, quindi, è possibile ottenere un circuito TD mediante una trasformazione opportuna di un 

circuito TC, a partire da una sua particolare rappresentazione. Questa trasformazione deve mantenere le 

proprietà principali del filtro analogico di partenza. 

1. l’asse immaginario del piano s deve trasformarsi nella circonferenza unitaria del piano z; 

2. un filtro analogico stabile deve fornire un circuito numerico stabile. 

Nel seguito del paragrafo considereremo solo le seguenti tre tecniche: 

• invarianza della risposta impulsiva 

• soluzione numerica dell’equazione differenziale 

• trasformazione bilineare. 

La Tabella 1.2 stabilisce una corrispondenza tra le rappresentazioni matematiche di circuiti analogici (TC) 

e circuiti numerici (TD) 

k k 

Tabella 1.2 Rappresentazioni e corrispondenze per circuiti TC e TD. 

Funzione di 

rete 

Integrale o 

somma di 

convoluzione 

Equazione 

differenziale o 

alle differenze 

( ) 

H z 

M 

∑ 

k = 0 

TC TD 

−k 

bz k 

k = 0 Y() z 

= = 

N 

−k 

X() z 

az 

+∞ 

∑ 

k 

H s 

M 

∑ 

k 

ds k 

k Ya() s 

= = 

k Xa() s 

cs 

= 0 ( ) 

a N 

∑ 

k 

k = 0 

( ) = ∫ ( τ ) ( −τ 

) τ y[ n] = x[ k] h[ n − k] 

y t x h t d 

a a a 

−∞ 

N 

∑ k 

( k) a 

M 

= ∑ k 

( k) 

a 

k= 0 k= 

0 

c y ( t) d x ( t) 

2.4.2.1 Invarianza della risposta impulsiva 

+∞ 

∑ 

k =−∞ 

N M 

∑ ∑ 

a y[ n − k] = b x[ n − k] 

k k 

k= 0 k= 

0 

Si impone che la risposta impulsiva del circuito TD coincida con quella del circuito analogico ha() t 

campionata indicata come 

h[ n] = h ( nT) 

. (2.95) 

Per cui in frequenza vale 

a

92 Capitolo 2 

jω jΩT H ( z) = H( e ) = H ( e ) 

jω 

z= e 

+∞ 1 

= ∑ H jΩ − kjΩ 

T 

k =−∞ 

( ) 

a s 

+∞ 1 ⎛ 2π⎞ 

= ∑ Ha ⎜ jΩ − kj ⎟ 

T k =−∞ ⎝ T ⎠ 

che può essere generalizzata come 

(2.96) 

+∞ 1 ⎛ 2π⎞ 

H () z sT = H z e 

a s kj 

= ∑ ⎜ − ⎟. 

(2.97) 

T k =−∞ ⎝ T ⎠ 

In base alla relazione z = e sT , si ha che strisce di larghezza 2π/T del piano s si mappano nell’intero piano z, 

sovrapponendosi. 

In particolare: 

• la parte a sinistra dell’asse immaginario si mappa nella parte interna alla circonferenza unitaria; 

• la parte a destra dell’asse immaginario si mappa nella parte esterna alla circonferenza unitaria; 

• ogni segmento di lunghezza 2π/T sull’asse immaginario si mappa nell’intera circonferenza unitaria 

(aliasing). 

Figura 1.35 Mappatura del piano s sul piano z per il metodo basato sulla invarianza della risposta impulsiva. 

In base al teorema del campionamento la tecnica dell’invarianza all’impulso può essere usata se e solo se 

allora 

π 

Ha( jΩ 

) = 0 per Ω > (2.98) 

T 

+∞ 

jω 

1 ⎛ ω ⎞ 

H ( e ) = ∑ Ha ⎜ j ⎟ per ω ≤ π 

(2.99) 

T k =−∞ ⎝ T ⎠ 

Poiché in generale il filtro analogico non mai è strettamente limitato in banda, come illustrato in Figura 1.36, 

la tecnica dell’invarianza della risposta impulsiva dà luogo ad aliasing. 

Per quanto riguarda la corrispondenza tra le funzioni di rete si ha nell’ipotesi di poli semplici del tipo 

a 

( ) 

H s 

= 

A 

con risposta impulsiva 

jΩ 

3π T 

π T 

−π 

T 

σ 

−3π 

T 

Im{ z} 

N 

k 

∑ (2.100) 

k = 1 s−sk 1 

ω 

Re{ z}

N 

st k ( ) −1 

h t = ∑ A e u () t . (2.101) 

a k 

k = 1 

La corrispondente FdT nel dominio z risula 

N A 

k e z − ∑ (2.102) 

− 

k 

( ) = 

sT 1 

H z 

k = 1 1 

con risposta all’impulso 

N 

sk nT 

h[ n] = ∑ A e u[ n] 

(2.103) 

k = 1 

k 

Figura 1.36 Effetto dell’aliasing nella tecnica di progetto dell’invarianza all’impulso. 

Quindi se il filtro analogico è stabile, lo è anche quello numerico: 

{ } 

sT k 

Re s < 0 ⇒ z = e < 1 

(2.104) 

k k 

Infine, nel caso di T piccolo (frequenze di campionamento elevate), la relazione: 

jω 

1 ⎛ ω ⎞ 

H ( e ) ≈ Ha ⎜ j ⎟ per ω ≤π 

T ⎝ T ⎠ 


(2.105) 

potrebbe richiedere dei guadagni troppo elevati. Per questo motivo in generale si preferisce usare la relazione 

h[ n] = T ⋅ h ( nT) 

(2.106) 

a 

In conclusione, la tecnica dell’invarianza della risposta impulsiva è adatta solo nei casi di filtri analogici 

limitati in banda (no passa-alto o elimina-banda), e in tal caso sostanzialmente si conserva la forma della 

risposta in frequenza del filtro analogico. 

2.4.2.2 Soluzione numerica dell’equazione differenziale 

In questa tecnica, l’equazione differenziale del tipo 

N 

k 

( k) a 

M 

= k 

( k) 

a 

k= 0 k= 

0 

Ha( jΩ) 

j 

He ( ) 

ω 

π 2π 

T T 

∑cy( t) ∑ d x ( t) 

(2.107) 

che consente di analizzare un circuito analogico, viene risolta ricorrendo alle differenze finite 

π 

2π 

Ω 

ω

94 Capitolo 2 

N 

( k) k∇ M 

= 

( k) 

k∇ 

k= 0 k= 

0 

∑cy[ n] ∑ d x[ n] 

(2.108) 

( k ) 

dove il simbolo ∇ rappresenta la differenza finita (all’indietro) di ordine k, che approssima la derivata di 

ordine k mediante il rapporto incrementale 

(0) 

∇ = 

y[ n] y[ n] 

(1) 

∇ yn [ ] = 

y[ n] − y[ n −1] 

T 

{ } 

(2) (1) (1) 

∇ y[ n] = ∇ ∇ y[ n] 

...... 

L’operatore 

( k ) 

∇ è LTI e passando al dominio di z 

−1 

(1) ⎧y[ n] − y[ n −1] ⎫ 1− 

z 

Ζ{ ∇ y[ n] } = Ζ ⎨ ⎬= 

⋅Y 

( z) 

⎩ T ⎭ T 

−1 

k 

⎛ ⎞ 

( k) 

1− 

z 

Ζ{ ∇ y[ n] } = ⎜ ⎟ ⋅Y 

( z) 

⎝ T ⎠ 

e quindi dalla (2.108) si ottiene 

1 

k 

1 

k 

N − M 

− 

⎛1−z ⎞ ⎛1−z ⎞ 

c ⎜ ⎟ ⋅ Y( z) = d ⎜ ⎟ ⋅ X ( z) 

⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ 

k k 

k= 0 k= 

0 

(2.109) 

(2.110) 

(2.111) 

∑ ∑ (2.112) 

M 

k 

∑ds 

k 

k= 0 

a 

a ( ) = = 

N 

k a ∑cs 

k 

k = 0 

H s 

Y () s 

X () s 

−1 

k 

⎛1−z⎞ k 

d ⎜ ⎟ 

Y( z) 

k = 0 T 

H( z) 

= = 

⎝ ⎠ 

X( z) 1 z 

M 

∑ 

1 

k 

N 

− 

⎛ − ⎞ 

∑ck 

⎜ ⎟ 

k = 0 T 

⎝ ⎠ 

cioè la funzione di rete TD si ottiene con la trasformazione 

(2.113) 

(2.114) 

−1 

1− z 

s = . (2.115) 

T 

Invertendo questa relazione si trova: 

1 1 1 ⎡ 1+ jΩT⎤ 1 

−1 j2tan ( ΩT) 

z = = = 1+ = ⎡1+ e ⎤ 

1− sT s= jΩ 

1− jΩT 2 

⎢ 

1 j T 

⎥ 

⎣ − Ω ⎦ 2 ⎣ ⎦ 

che corrisponde ad una circonferenza di raggio 0.5 con centro in z = 0.5 

(2.116)


Figura 1.37 Mappatura del piano s sul piano z per il metodo basato sulla soluzione numerica dell’equazione 

differenziale. 

Si ha quindi che: 

• l’asse immaginario si mappa nella circonferenza di raggio 0.5 con centro in z = 0.5; 

• tutto il piano Re{s}

96 Capitolo 2 

Le espressioni delle derivate nell’espressione precedente si possono ricavare dalla (**). Ponendo y[n]=ya(nT) 

e x[n]=x(nT), si ottiene: 

T ⎡ c d 

⎤ 

y n y n y n y n x n x n 

[ ] [ ] 

0 0 

[ ] − [ − 1] = ⎢− [ ] + [ − 1] + [ ] + [ −1] 

⎥ 

2 ⎣ c1 c1 

⎦ 

Facendo la trasformata z e ricavando H(z) si ottiene: 

Y( z) 

d0 

H( z) 

= = 

−1 

X( z) 

21− 

z 

c + c 

T 1+ 

z 

1 −1 

0 

(2.122) 

(2.123) 

Confrontando l’espressione trovata con la (***) si ricava la trasformazione dal piano s al piano z cercata 

(trasf. bilineare): 

−1 

2 1− z 1 + sT / 2 

−1 

T 1+ z 1 − sT / 2 

s = ⇔ z = 

Ponendo z = e jω 

− jω 

2 1− e 2 jsin( 

ω / 2) 2 

s = = = j tan( ω/ 2) = σ + jΩ 

− jω 

T 1+ e T cos( ω / 2) T 

cioè s risulta puramente immaginaria (σ = 0). Inoltre: 

(2.124) 

(2.125) 

TΩ 

tan( ω / 2) = (2.126) 

2 

ω 

−π 

π 

Figura 1.38 Trasformazione nonlineare delle frequenza continua Ω nella frequenza TD ω. 

Dalla figura precedente si ricava che l’asse immaginario positivo e quello negativo sono mappati 

rispettivamente nella metà superiore e nella metà inferiore della circonferenza unitaria nel piano z. noltre il 

semipiano sinistro del piano s si mappa nel cerchio unitario, garantendo quindi la stabilità del circuito TD. 

Osservazione 

Siccome l’intero asse immaginario viene mappato nella circonferenza unitaria, si evita il problema 

dell’aliasing che si ha nel metodo dell’invarianza della risposta impulsiva. Si introduce tuttavia una 

distorsione della risposta in frequenza. 

ω 

Ω 

⎛ΩT⎞ ⎝ 2 ⎠ 

−1 

= 2 tan ⎜ ⎟

Figura 1.39 Mappatura del piano s sul piano z per la trasformazione bilineare. 


In particolare la trasformazione bilineare genera anche una distorsione della risposta in fase, per cui non è 

possibile ottenere un circuito numerico a fase lineare da un circuito analogico a fase lineare. 

j 

He ( ) 

ω 

Ha( jΩ) 

Figura 1.40 Distorsione di frequenza-ampiezza della trasformazione bilineare. 

Figura 1.41 Distorsione di frequenza-fase della trasformazione bilineare. 

ω 

π 

ωs 

ω p 

jΩ 

σ 

ω 

Ω p s Ω 

( T ) 

ω = 2arctan Ω 2 

2 ⎛ωp⎞ Ω p = arctan ⎜ ⎟ 

T ⎝ 2 ⎠ 

2 ⎛ωs⎞ Ω s = arctan ⎜ ⎟ 

T ⎝ 2 ⎠ 

Im{ z} 

1 

ω 

Re{ z} 

Ω 

Ω

98 Capitolo 2 

2.4.2.4 Procedure Matlab per il progetto di filtri numerici da prototipi analogici 

Filtri di Butterworth 

Procedura BUTTER 

BUTTER Butterworth digital and analog filter design. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digital 

Butterworth filter and returns the filter coefficients in length 

N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). The coefficients 

are listed in descending powers of z. The cutoff frequency 

Wn must be 0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to 

half the sample rate. 

If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an 

order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn,'low') designs a lowpass filter. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2]. 

When used with three left-hand arguments, as in 

[Z,P,K] = BUTTER(...), the zeros and poles are returned in 

length N column vectors Z and P, and the gain in scalar K. 

When used with four left-hand arguments, as in 

[A,B,C,D] = BUTTER(...), state-space matrices are returned. 

BUTTER(N,Wn,'s'), BUTTER(N,Wn,'high','s') and BUTTER(N,Wn,'stop','s') 

design analog Butterworth filters. In this case, Wn is in [rad/s] 

and it can be greater than 1.0. 

Esempio 

Progetto di filtro analogico di Butterworth con ordine pari N = 2 e una fc = 1kHz 

% esempio di progetto di filtri di Butterworth 

N = 2; % Ordine del filtro 

Fc = 1000 ; % Frequenza di taglio a -3dB 

[b,a] = butter(N,6.283185*Fc,'s') 

bode(b,a); 

La FdT del filtro risulta 

b3 

Hs () = 

a + a s + a s 

3 2 1 

2 

Esempio 

Nel caso si voglia un filtro analogico nella forma spazio di stato 

dw() t 

= Aw( t) + Bx( t) 

dt 

y( t) = Cw( t) + Dx( t) 

dove w(t) rappresenta il vettore di stato, si può usare la forma 

[B,A,C,D] = butter(N,6.283185*Fc,'s'); 

che, in pratica, ritorna le matrici A, B, C e D.


Phase (deg) 

0 

-20 

-40 

-60 

-80 

0 

-45 

-90 

-135 

10 2 

-180 

Figura 1.42 Diagramma di Bode dell’esempio. 

10 3 

Bode Diagram 

10 4 



Esempio 

Progetto di filtro numerico di Butterworth con ordine pari N = 2 e una fc = 1000 (frequenza normalizzata per 

una Frequenza di campionamento = Fs). 

% esempio di progetto di filtri di Butterworth numerici 


Fs = 10000 % Frequenza di campionamento 

Fc = 1000; % Frequenza di taglio a -3dB 

[b,a] = butter(N,Fc/(Fs/2)); % Filtro di Butterwoth numerico 

fvtool(b,a); 

I vettori dei coefficienti del filtro b e a sono 

b = [0.0675 0.1349 0.0675] 

a = [1.0000 -1.1430 0.4128] 

per cui la FdT del filtro risulta essere 

0.0675 + 0.1349z + 0.0675z 

H() z = 

−1 −2 

1− 1.1430z + 0.4128z 

−1 −2 

La funzione fvtool(b,a) consente la visualizzazione delle caratteristiche del filtro progettato (risposta in 

frequenza e in fase, risposta all’impulso al gradino, diagramma poli-zeri ecc). In Figura 1.43, è sono riportati 

alcuni grafici realizzati con la procedura fvtool(b,a). 

10 5 

10 6

100 Capitolo 2 


Phase (radians) 

Group delay (in samples) 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

-2.5 

-3 

Magnitude Response (dB) 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Normalized Frequency (×π rad/sample) 

0 

2.5 

Phase Response 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


2 

1.5 

1 

0.5 

Group Delay 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


Figura 1.43 Caratteristiche del filtro di Butterworth (vedi esempio) analizzate con la procedura Matlab 

fvtool(b,a). 

Se nell’esempio precedente scegliamo un ordine, per esempio, pari 7 i vettori dei coefficienti del filtro b e a 

sono 

b = [0.0001 0.0006 0.0019 0.0032 0.0032 0.0019 0.0006 0.0001] 

a = [1.0000 -4.1823 7.8717 -8.5309 5.7099 -2.3492 0.5483 -0.0558] 

Filtri di Chebishev di tipo 1 di tipo 2 

-1 -0.5 0 

Real Part 

0.5 1 

Procedura CHEBY1 

CHEBY1 Chebyshev Type I digital and analog filter design. 

[B,A] = CHEBY1(N,R,Wp) designs an Nth order lowpass digital Chebyshev 

filter with R decibels of peak-to-peak ripple in the passband. CHEBY1 

returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and 

A (denominator). The passband-edge frequency Wp must be 0.0 < Wp < 1.0, 

with 1.0 corresponding to half the sample rate. Use R=0.5 as a 

starting point, if you are unsure about choosing R. 

If Wp is a two-element vector, Wp = [W1 W2], CHEBY1 returns an order 2N 

bandpass filter with passband W1 < W < W2. [B,A] = 

CHEBY1(N,R,Wp,'high') designs a highpass filter. [B,A] = 


Amplitude 

Amplitude 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

2 



0 5 10 

Samples 

15 20 

1 

Step Response 

0 5 10 

Samples 

15 20

CHEBY1(N,R,Wp,'low') designs a lowpass filter. [B,A] = 

CHEBY1(N,R,Wp,'stop') is a bandstop filter if Wp = [W1 W2]. 

When used with three left-hand arguments, as in [Z,P,K] = CHEBY1(...), 

the zeros and poles are returned in length N column vectors Z and P, 

and the gain in scalar K. 

When used with four left-hand arguments, as in [A,B,C,D] = CHEBY1(...), 

state-space matrices are returned. 

CHEBY1(N,R,Wp,'s'), CHEBY1(N,R,Wp,'high','s') and 

CHEBY1(N,R,Wp,'stop','s') design analog Chebyshev Type I filters. In 

this case, Wp is in [rad/s] and it can be greater than 1.0. 


Esempio 

Progetto di filtro numerico di Chebyshev di tipo 1 con ordine pari N = 6 e una fc = 1kHz con un ripple in 

banda passante pari a 0.1 dB. 

% esempio di progetto di filtri di Chebyshev di tipo 1 numerici 



Fc = 1000; % Frequenza di taglio a -3dB 

R = 0.1; % Ripple in dB nella regione passabanda 

[b,a] = cheby1(N,R,Fc/(Fs/2)); % Filtro di Chebyshev numerico 

fvtool(b,a);



Amplitude 

Amplitude 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 


-1 -0.5 0 

Real Part 

0.5 1 


0 20 40 60 80 100 120 140 

Samples 

Step Response 

0 20 40 60 80 100 120 140 

Samples 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


Figura 1.44 Caratteristiche del filtro di Chebishev di tipo 1 (vedi esempio) analizzate con la procedura Matlab 

fvtool(b,a) . 

Procedura CHEBY2 

CHEBY2 Chebyshev Type II digital and analog filter design. 

[B,A] = CHEBY2(N,R,Wst) designs an Nth order lowpass digital Chebyshev 

filter with the stopband ripple R decibels down and stopband-edge 

frequency Wst. CHEBY2 returns the filter coefficients in length N+1 

vectors B (numerator) and A (denominator). The stopband-edge frequency 

Wst must be 0.0 < Wst < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample 

rate. Use R = 20 as a starting point, if you are unsure about choosing 

R. 




0 

-20 

-40 

-60 

-80 

-100 

-120 

-140 

-160 

-180 

-200 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

-8 

-9 

20 

15 

10 

5 

0 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 



Group Delay 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Normalized Frequency (×π rad/sample)

If Wst is a two-element vector, Wst = [W1 W2], CHEBY2 returns an order 

2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. [B,A] = 

CHEBY2(N,R,Wst,'high') designs a highpass filter. [B,A] = 

CHEBY2(N,R,Wst,'low') designs a lowpass filter. [B,A] = 

CHEBY2(N,R,Wst,'stop') is a bandstop filter if Wst = [W1 W2]. 

When used with three left-hand arguments, as in [Z,P,K] = CHEBY2(...), 



When used with four left-hand arguments, as in [A,B,C,D] = CHEBY2(...), 


CHEBY2(N,R,Wst,'s'), CHEBY2(N,R,Wst,'high','s') and 

CHEBY2(N,R,Wst,'stop','s') design analog Chebyshev Type II filters. In 

this case, Wst is in [rad/s] and it can be greater than 1.0. 


Esempio 

Progetto di filtro numerico di Chebyshev di tipo 2 con ordine pari N = 6 e una fst = 1kHz, con un ripple nella 

stopband pari a 40 dB. 

% esempio di progetto di filtri di Chebyshev di tipo 2 numerici 



Fst = 1000; % Frequenza di della stopband (a –R dB) 

R = 40; % Ripple in dB nella stopband 

[b,a] = cheby2(N,R,Fst/(Fs/2)); % Filtro di Chebyshev numerico 

fvtool(b,a);





0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 


1 

0 

18 

16 

14 

12 

10 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 


8 

6 

4 

2 

Group Delay 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


-1 -0.5 0 

Real Part 

0.5 1 

Figura 1.45 Caratteristiche del filtro di Chebishev di tipo 2 (vedi esempio) analizzate con la procedura Matlab 

fvtool(b,a). 

Filtri di Ellittici di Cauer 

ELLIP Elliptic or Cauer digital and analog filter design. 

[B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wp) designs an Nth order lowpass digital elliptic 

filter with Rp decibels of peak-to-peak ripple and a minimum stopband 

attenuation of Rs decibels. ELLIP returns the filter coefficients in 

length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). The passband-edge 

frequency Wp must be 0.0 < Wp < 1.0, with 1.0 corresponding to half the 

sample rate. Use Rp = 0.5 and Rs = 20 as starting points, if you are 

unsure about choosing them. 

If Wp is a two-element vector, Wp = [W1 W2], ELLIP returns an order 2N 

bandpass filter with passband W1 < W < W2. [B,A] = 

ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'high') designs a highpass filter. [B,A] = 


Amplitude 

Amplitude 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

0.14 

0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-0.02 

-0.04 



-0.06 

0 20 40 60 

Samples 

80 100 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

Step Response 

0 20 40 60 

Samples 

80 100

ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'low') designs a lowpass filter. [B,A] = 

ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'stop') is a bandstop filter if Wp = [W1 W2]. 

When used with three left-hand arguments, as in [Z,P,K] = ELLIP(...), 



When used with four left-hand arguments, as in [A,B,C,D] = ELLIP(...), 


ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'s'), ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'high','s') and 

ELLIP(N,Rp,Rs,Wp,'stop','s') design analog elliptic filters. In this 

case, Wp is in [rad/s] and it can be greater than 1.0. 


Esempio 

Progetto di filtro ellittico (o di Cauer) numerico on ordine pari N = 6 e una fst = 1kHz, con un ripple nella 

stopband pari a 40 dB. 

% esempio di progetto di filtri Ellittico (o di Cauer) numerico 



Fc = 1000; % Frequenza di della stopband (a –R dB) 

Rp = 0.1; % Ripple in dB nella regione passabanda 

Rs = 40; % Ripple in dB nella stopband 

[b,a] = ellip(N,Rp,Rs,Fc/(Fs/2)); % Filtro di Cauer numerico 

fvtool(b,a);





0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

Figura 1.46 Caratteristiche del filtro di Cauer (vedi esempio) analizzate con la procedura Matlab 

fvtool(b,a). 

2.4.3 Progetto filtri IIR interamente numerici 

Il progetto di filtri IIR consiste nel determinare i coefficienti di una FdT razionale del tipo 

H ( z) 

= h[n]z !n " 

= 

# 

n=0 



0 0.2 0.4 0.6 0.8 


5 

0 

Group Delay 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 


b 0 + b 1 z !1 +!+ b q z !q 

-1 -0.5 0 

Real Part 

0.5 1 

1+ a z 1 !1 . (2.127) 

! p 

+!+ a z p 

attraverso un algoritmo di ottimizzazione. 

La procedura di ottimizzazione per il progetto del filtro IIR viene formulata nei seguenti passi: 


Amplitude 

Amplitude 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

1.2 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 



0 50 100 150 

Samples 

200 250 300 

1 

0 

Step Response 

0 50 100 150 

Samples 

200 250 300


1. la H(z) è razionale con ordine del numeratore e denominatore fissati; 

2. il criterio di ottimizzazione può riguardare sia il modulo che la fase o può essere interamente definito 

nel dominio del tempo; 

3. i coefficienti del filtro{ a , b } sono determinati con un metodo iterativo. 

k k 

2.4.3.1 Approccio nel dominio della frequenza: metodo di Deczky 

Detta 

D 

D( e ) D( e ) e 

jω jω 

jφ 

( ω) 

= la risposta in frequenza desiderata del filtro e 

risposta in frequenza del filtro con una FdT del tipo 

1+ b k1 z !1 + b k 2 z !2 

P 

H ( z) 

= A" 

. (2.128) 

1+ a z k1 !1 + a z k 2 !2 

k=1 

H 

H( e ) H( e ) e 

jω jω 

jφ 

( ω) 

= la 

Indicando con w !! [(4P+1)"1] = [ a T b T 

] T il vettore contenente, incolonnati, tutti i coefficienti del filtro, la 

funzione costo J(w) dell’algoritmo di Deczky [13] è definita come la somma (convessa) di due contributi 

J (w) = (1! !)J 1 (w) + !J 2 (w) 

In questa formula 1 ( ) J w è legato alla risposta in ampiezza e J2 ( w ) al ritardo di gruppo. In dettaglio si ha 

K !1 

" 

( ) p 

J (w) = (1! !) G(e j! k ) D(e j! k ) ! H(e j! k ) 

k=0 

( ) p 

+! V (e j! K !1 

k ) ! (! ) !! (! ) !! (! ) 

H k 0 D k 

" 

k=0 

1 p 

1 p 

ωk ∈Ω. (2.129) 

Dalla (2.17) ricordiamo che i ritardi di gruppo sono definiti come ! H (" ) = !"# H (" ) "" e 

! D (" ) = !"# D (" ) "" . Nella (2.129) il termine ! (" 0 ) è definito come ‘ritardo nominale’ ed è un termine 

costante necessario nell’algoritmo di ottimizzazione. Il parametro λ ( 0≤λ≤ 1) 

determina il peso che si vuole 

dare alla misura di errore sulla risposta in ampiezza o all’errore sul ritardo di gruppo. Infine, i termini G(e j! k ) 

e V (e j! k ) sono le funzioni peso della norma. 

L’ordine p della norma determina il tipo di approssimazione desiderato; p = 2 è il criterio ai minimi 

quadrati o least squares. Per p = 40 la (2.129) produce un grado di approssimazione quasi del tipo min-max. 

L’equazione (2.129) è caratterizzata da 4P+1 incognite e similmente all’approccio LS incontrato nel 

progetto dei filtri FIR (Cfr. §2.3.1), l’algoritmo di Deczky minimizza la derivata della (2.129) ponendola a 

zero. In altri termini indicando con ∇J( w ) il gradiente della funzione costo, il minimo si ha per 

w opt !"J (w) ! 

#J (w) 

#w 

$ 0 . (2.130) 

La funzione costo definita dalla (2.129), è una funzione razionale. Ponendo a zero la derivata si produce in 

insieme di equazioni non lineare che non ammette un minimo assoluto ma presenta dei minimi relativi. Ne 

segue che la minimizzazione della (2.130) non produce un risultato unico 3 . 

L’algoritmo usato dall’autore per la minimizzazione, consiste nella procedura iterativa di Davidon- 

Fletcher-Powell (DFP) [14] per la discesa della funzione gradiente. L’algoritmo non garantisce la 

convergenza al minimo assoluto per cui occorre lanciare la procedura più volte e selezionare il miglior 

risultato. 

Osservazione 

I metodi di ottimizzazione sono molto importanti per la determinazione dei parametri dei circuiti sia analogici 

sia digitali. In particolare i metodi iterativi sono di centrale importanza nei filtri adattativi. In questi casi i 

3 Nei filtri FIR la minimizzazione della FC con norma euclidea produce una FC quadratica, che ha quindi un minimo 

assoluto determinabile risolvendo un sistema di equazioni lineari.


coefficienti del circuito vengono aggiornati in continuazione in modo da soddisfare le specifiche del filtro in 

funzione dell’ambiente operativo che non è noto a priori o può variare nel tempo. 

2.4.3.2 Approssimazione di Padé 

Sia hd[n] la risposta del filtro ideale che si vuole realizzare con una funzione di trasferimento razionale del 

tipo 

H ( z) 

= B(z) 

A(z) = b0 + b1z!1 +!+ b z q !q 

1+ a z 1 !1 . (2.131) 

! p 

+!+ a z p 

Poiché la H(z) ha (p + q + 1) parametri liberi è possibile determinare i valori { , } 

a b tali che h[n] = hd[n] per 

n = 0, 1, …, p + q. 

La procedura per determinare tali coefficienti è basata sulla funzione di rete H(z) = B(z) / A(z) . Si può 

scrivere 

A(z) / H(z) = B(z) (2.132) 

Il primo membro nel dominio del tempo si può scrivere 

p 

a[n]! h[n] = h[n] + # a[k]h[n " k] . (2.133) 

k=1 

Ponendo h[n] = hd[n] per n = 0, 1, …, p + q si ottiene un insieme di p+q+1 equazioni in p+q+1 incognite del 

tipo 

p 

# % b[n] n = 0, 1, ..., q 

h [n] + a[k]h [n ! k] 

d " 

= 

d $ 

k=1 

&% 0 n = q +1, ..., q + p 

In forma matriciale 

" 

% 

h [0] 0 ! 0 

" 

$ d ' $ 

$ h [1] h [0] ! 0 ' $ 

$ d d ' " 1 % $ 

$ " " # " ' $ ' 

$ 

' a $ 

$ 1 ' 

$ 

h [q] h [q !1] ! 0 

d d ' $ 

! 

' = $ 

$ 

$ h [q +1] h [q] ! " ' $ ' 

d d $ 

' a 

$ 

$ p ' 

$ " " # h [q !1] ' 

# & $ 

d $ 

$ 

' 

h [q + p] h [q + p !1] ! h [q] 

$ 

# $ d d d &' 

# 

b 0 

b 1 

! 

b q 

0 

! 

0 

k k 

(2.134) 

% 

' 

' 

' 

' 

' . (2.135) 

' 

' 

' 

' 

' 

& 

Il sistema (2.135) può essere risolto in due passi. Nel primo passo sono determinati i coefficienti a[k] usando 

le ultime p equazioni della Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.. Determinati gli a[k], i 

coefficienti b[k] possono essere determinati dalla prime delle 

Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. come 

p 

b[n] = h [n] + a[k]h d " [n ! k] per n = 0, 1, ..., q . (2.136) 

d 

k=1 

Il metodo di Padé produce una soluzione esatta per i primi p + q campioni della hd[n], quindi nel caso di 

risposte impulsive lunghe il metodo non è praticabile. 

2.4.3.3 Metodo di Prony 

Il metodo di Prony consente di determinare i valori { , } 

a b che minimizzano una funzione costo del tipo 

k k

K 

J (h) = h [n] ! h[n] d 2 

" . (2.137) 

n=0 


Poiché il calcolo del gradiente della J (h) non produce un sistema lineare di equazioni, la soluzione del 

problema risulta difficile. Il metodo di Prony consente di ottenere una soluzione approssimata implementata in 

due passi. Il primo passo consiste nel minimizzare una funzione costo 

! 

J (a) = e 2 " [n] . (2.138) 

n=q+1 

con e[n] derivato dalla (2.134) come 

p 

e[n] = h [n] + a[k]h d " [n ! k] . (2.139) 

d 

k=1 

che in forma matriciale diventa 

T 

e = h [n] + h a . (2.140) 

d d 

La funzione costo (2.138) può essere espressa come 

e T 2 T 

e = h [n] + 2hdahd 

[n] + a d 

T T 

h h a d d 

Derivando rispetto ad a e ponendo a zero si ottiene 

Si ha perciò 

!J (a) 

!a = hd [n]h T T 

+ hdh a " 0 

d d 

T !1 T 

a = !h [n](h h ) hd . (2.141) 

d d d 

Determinati gli a[k], i coefficienti b[k] sono calcolati con l’espressione (2.136) del metodo di Padé.


2.5 Bibliografia 

[1] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer, J.R. Buck, “Discrete-Time Signal Processing”, II ed., Prentice Hall, 1999. 

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Cliffs, N.J., 1975. 

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editor, Wiley, ISBN 0-471-61995-7, 1993. 

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IEEE Trans. Circuit Theory vol. CT-19, no. 2, pp. 189–194, 1972. 

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[8] Programs for Digital Signal Processing, IEEE Press, New York, 1979, Algorithm 5.1. 

[9] Selected Papers in Digital Signal Processing, II, IEEE Press, New York, 1979. 

[10] T.W. Parks and C.S. Burrus, “Digital Filter Design”, John Wiley & Sons, New York:, 1987, p.83. 

[11] L.R. Rabiner, J.H. McClellan, and T.W. Parks, “FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev 

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[12] Padé Approximates Method and its Applications to Mechanics. Lecture notes in physics. Springer-Verlag, 1976. 

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[14] R. Fletcher and M. J. D. Powell, “A rapidly convergent descent method for minimization”, Computer Journal, 

6(2):163-168, 1963. 

[15] Fletcher, Roger, “Practical methods of optimization” (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471- 

91547-8, 1987. 

[16] D. M. Kodek, "Design of optimal finite wordlength FIR digital filters using integer programming 

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[18] Y. C. Lim and S. R. Parker, "FIR filter design over a discrete Powers- of-two coefficient space," IEEE 

Trans. Acoust., Speech, Signalocessing, vol. ASSP-31. pp. 583-591, June 1983. 

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Circuits Syst., vol. CAS35, pp. 566-570. May 1988. 

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Filters", IEEE Transactions on Signal Processing, VOL 40, No.2, February 92. 

[21] Stefano Traferro and Aurelio Uncini, “Power-of-Two Adaptive Filters Using Tabu Search”, IEEE Transactions 

on Circuits and Systems-II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 47, No. 6, June 2000. 

[22] P. Gentili, F. Piazza, A. Uncini, "Improved Power-of-Two Sharpening Filter Design by Genetic Algorithm", IEEE 

Int. Conference on Acoustic Speech and Signal Processing, ICASSP'96, Atlanta, USA, 7-10 May 1996. 

[23] P. Gentili, F. Piazza, A. Uncini, "Evolutionary Design of FIR Digital Filters with Power-of-Two 

Coefficients", IEEE International Conference on Evolutionary Computation, Orlando, Florida, Vol. I, pp. 

110-114, June 27-June 29 1, 1994.

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