Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom

178 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.5 Analisi nel Dominio della Frequenza: Campionamento
In precedenza abbiamo discusso le operazioni di campionamento e di ricostruzione di segnali analogici nel dominio del tempo.
In questo capitolo, aumenteremo la comprensione di tali argomenti conducendo l’analisi nel dominio della frequenza mediante gli
strumenti analitici messi a disposizione dall’analisi di Fourier.
Per questi scopi, faremo uso della seguente notevole trasformata di Fourier. 4.6
sT (t) def
=
Trasformata di Fourier di un Treno Periodico d’Impulsi Matematici
+∞
n=−∞
δ(t − nT)
FT
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ST (jΩ) def
= 2π
T
+∞
k=−∞
ST (fT) def
= 1
+∞
T
k=−∞
δ Ω − 2π
T k
δ f − k
T
(pulsazione)
(frequenza)
(A.4.5)
Al treno d’impulsi matematici sT (t) diamo il nome di segnale campionatore ideale. Esso permette di definire il seguente segnale
analogico xs(t) campionato (idealmente) al ritmo di 1/Ts campioni al secondo:
xs(t) def
= xa(t) · sTs (t) =
+∞
n=−∞
xa(nTs)δ(t − nTs) (A.4.6)
FT
Non è difficile calcolare la trasformata di Fourier Xs(jΩ) ⇐⇒ xs(t): essa si ottiene come convoluzione, nel dominio della
frequenza, delle trasformate Xa(jΩ) e STs (jΩ): 4.7
Xs(jΩ) = 1
2π
= 1
Ts
+∞
−∞
+∞
k=−∞
Xa(jΥ)STs(jΩ − jΥ) dΥ = 1
2π
Xa
jΩ − j 2π
k
Ts
+∞
−∞
Xa(jΥ) · 2π
+∞
Ts
k=−∞
4.6 Ricordando che δ(t − nT ) FT
⇐⇒ e −jΩ nT , e che la trasformazione di Fourier è lineare, abbiamo:
δ
Ω − Υ − 2π
⎧
⎫
⎨ +∞
⎬
F δ(t − nT )
⎩
⎭
n=−∞
=
+∞
+∞
F {δ(t − nT )} = e
n=−∞
n=−∞
−jΩT ·n +∞
=2π δ (Ω T − 2πk)
k=−∞
4.7 La (A.4.7) si scrive anche in funzione di f [cicli/s]:
+∞
+∞
Xs(f) = Xa(ς)STs(f − ς) dς = Xa(ς) ·
−∞
−∞
1
+∞
δ f − ς −
Ts
k=−∞
k
dς
Ts
= 1
+∞
Xa f −
Ts
k=−∞
k
Ts
Ts
k dΥ
(A.4.7)