Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom
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184 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI Pertanto, poichè nella pratica siamo costretti a operare interpolazioni diverse da quella cardinale, l’effetto moirè è sempre potenzialmente osservabile, specialmente nell’interpolazione per tenuta (ordine 0), i.e. e nell’interpolazione lineare h (0) r (t) =φ0(t) def =rect(t) h (1) r (t) =φ1(t) def =tri(t) FT ⇐⇒ H (0) sin Ω/2 r (jΩ) = Ω/2 FT ⇐⇒ H (1) r (jΩ) = A.4.6.2 Ricostruzione mediante DAC e Filtraggio Passabasso. 2 sin Ω/2 Ω/2 Come illustrato nella Fig.A.4.13, ponendo in cascata un convertitore digitale analogico (DAC, cfr. par.A.4.3.1), e un filtro analogico passabasso si realizza un semplice ricostruttore, sufficientemente accurato in diverse situazioni di interesse applicativo. xn [ ] j H ( e ) PC prefiltraggio numerico per la precompensazione delle distorsioni introdotte dal filtro passabasso analogico nella sola banda di ricostruzione DAC Tr HLP( j) / r T / r T filtro passabasso analogico Figura A.4.13: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso. Infatti, l’effetto moirè introdotto dal DAC, che realizza l’interpolazione di ordine 0, è mitigato dal filtraggio passabasso. Tra l’altro, poichè le attenuazioni di banda oscura del DAC e del filtro vanno a moltiplicarsi, anche una semplice rete RC (cfr. Fig.A.3.11) può essere impiegata. Scegliendo RC = Tr/π, la risposta in frequenza del cascata DAC-filtro passabasso si scrive come segue: H (DAC-RC) sin Ω/2 1 r (jΩ) = · Ω/2 1+jΩ/π Nella Fig.A.4.14 abbiamo riportato l’andamento delle riposte in frequenza del DAC, del filtro RC e della loro cascata. Figura A.4.14: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso RC: andamento delle risposte in frequenza per RC = Tr/π Notiamo che l’effetto moirè è stato maggiormente attenuato rispetto a quello misurabile a valle del solo DAC (il primo lobo laterale della 2sin(Ω/2)/Ω è stato portato sotto −50dB), a spese di una maggiore distorsione nella banda di ricostruzione |ΩTr| ≤π. xr t ()
A.4.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO 185 In ogni caso, comunque scelto il filtro analogico a valle del DAC, possiamo sempre supporre di conoscere l’attenuazione nella banda di ricostruzione, 4.12 che può essere recuperata in maniera sufficientemente accurata mediante filtraggio numerico di precompensazione HPC(e jω ) a monte del DAC, come illustrato anche in Fig.A.4.13. 4.13 L’andamento del segnale ricostruito è riportato in Fig.A.4.15; notiamo che le discontinuità introdotte dal meccanismo di tenuta del DAC (Fig.A.4.15 in alto), sono state smussate, e l’andamento del segnale ricostruito si è avvicinato a quello ottenuto mediante interpolazione cardinale (Fig.A.4.15 in basso), anche se, per la causalità dell’implementazione in tempo reale, nel generico istante t sono presenti i contributi dei soli campioni convertiti dal DAC nei tempi precedenti. Figura A.4.15: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso (al centro). In alto abbaimo riportato l’andamento del segnale ricostruito mediante tenuta, e in basso l’andamento del segnale ricostruito mediante interpolazione cardinale. Inoltre, nella Fig.A.4.15 notiamo anche il ritardo introdotto dalla cascata DAC-filtro passabasso, in accordo alla risposta impulsiva che si scrive: h (DAC-RC) r (t) = 1 − e −t/RC u(t) − 1 − e −(t−1)/RC u(t − 1) 4.12Al di là della mera conoscenza analitica, la risposta in frequenza della catena DAC-filtro si ottiene molto semplicemente iniettando sequenze sinusoidali e misurando ampiezza e fase del segnale sinusoidale ricostruito. 4.13Osservando l’andamento della risposta in frequenza nella banda di ricostruzione, ci accorgiamo che se la sequenza risulta limitata nella banda 2πB
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184 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
Pertanto, poichè nella pratica siamo costretti a operare interpolazioni <strong>di</strong>verse da quella car<strong>di</strong>nale, l’effetto moirè è sempre<br />
potenzialmente osservabile, specialmente nell’interpolazione per tenuta (or<strong>di</strong>ne 0), i.e.<br />
e nell’interpolazione lineare<br />
h (0)<br />
r (t) =φ0(t) def<br />
=rect(t)<br />
h (1)<br />
r (t) =φ1(t) def<br />
=tri(t)<br />
FT<br />
⇐⇒ H (0) sin Ω/2<br />
r (jΩ) =<br />
Ω/2<br />
FT<br />
⇐⇒ H (1)<br />
r (jΩ) =<br />
<strong>A.4</strong>.6.2 <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e Filtraggio Passabasso.<br />
2 sin Ω/2<br />
Ω/2<br />
Come illustrato nella Fig.<strong>A.4</strong>.13, ponendo in cascata un convertitore <strong>di</strong>gitale analogico (DAC, cfr. par.<strong>A.4</strong>.3.1), e un filtro analogico<br />
passabasso si realizza un semplice ricostruttore, sufficientemente accurato in <strong>di</strong>verse situazioni <strong>di</strong> interesse applicativo.<br />
xn [ ]<br />
<br />
j<br />
H ( e )<br />
<br />
PC<br />
prefiltraggio numerico<br />
per la precompensazione<br />
delle <strong>di</strong>storsioni introdotte<br />
dal filtro passabasso analogico<br />
nella sola banda <strong>di</strong> ricostruzione<br />
<br />
DAC<br />
Tr<br />
HLP( j)<br />
/ r T <br />
/ r T <br />
<br />
filtro passabasso analogico<br />
Figura <strong>A.4</strong>.13: <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e filtraggio passabasso.<br />
Infatti, l’effetto moirè introdotto dal DAC, che realizza l’interpolazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 0, è mitigato dal filtraggio passabasso. Tra l’altro,<br />
poichè le attenuazioni <strong>di</strong> banda oscura del DAC e del filtro vanno a moltiplicarsi, anche una semplice rete RC (cfr. Fig.A.3.11)<br />
può essere impiegata. Scegliendo RC = Tr/π, la risposta in frequenza del cascata DAC-filtro passabasso si scrive come segue:<br />
H (DAC-RC) sin Ω/2 1<br />
r (jΩ) = ·<br />
Ω/2 1+jΩ/π<br />
Nella Fig.<strong>A.4</strong>.14 abbiamo riportato l’andamento delle riposte in frequenza del DAC, del filtro RC e della loro cascata.<br />
Figura <strong>A.4</strong>.14: <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e filtraggio passabasso RC: andamento delle risposte in frequenza per RC = Tr/π<br />
Notiamo che l’effetto moirè è stato maggiormente attenuato rispetto a quello misurabile a valle del solo DAC (il primo<br />
lobo laterale della 2sin(Ω/2)/Ω è stato portato sotto −50dB), a spese <strong>di</strong> una maggiore <strong>di</strong>storsione nella banda <strong>di</strong> ricostruzione<br />
|ΩTr| ≤π.<br />
xr t ()
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