Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom
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<strong>Capitolo</strong> <strong>A.4</strong><br />
<strong>Campionamento</strong> e <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong><br />
Contenuto<br />
<strong>A.4</strong>.1 <strong>Campionamento</strong> Uniforme <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
<strong>A.4</strong>.2 <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Analogici da Sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
<strong>A.4</strong>.3 Altre Interpolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
<strong>A.4</strong>.3.1 Interpolazione me<strong>di</strong>ante tenuta (or<strong>di</strong>ne zero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
<strong>A.4</strong>.3.2 Interpolazione lineare (or<strong>di</strong>ne uno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
<strong>A.4</strong>.3.3 Interpolazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
<strong>A.4</strong>.4 Conversioni C/D e D/C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br />
<strong>A.4</strong>.5 Analisi nel Dominio della Frequenza: <strong>Campionamento</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178<br />
<strong>A.4</strong>.6 Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo . . . . . . . . . . . 182<br />
<strong>A.4</strong>.6.1 Effetto Moirè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
<strong>A.4</strong>.6.2 <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e Filtraggio Passabasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184<br />
<strong>A.4</strong>.7 Considerazioni Finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186<br />
<strong>A.4</strong>.8 Appen<strong>di</strong>ce: <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Campionati per BTs
172 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.1 <strong>Campionamento</strong> Uniforme <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Analogici<br />
Da un segnale analogico, <strong>di</strong>ciamo xa(t), èsempre possibile ottenere una sequenza, <strong>di</strong>ciamo x[n], per mezzo dell’operazione <strong>di</strong><br />
campionamento uniforme al ritmo <strong>di</strong> Fs =1/Ts campioni per secondo, i.e.<br />
x[n] def<br />
<br />
<br />
= xa(t) = xa(nTs)<br />
t=nTs<br />
La conversione Continuo-Discreto così definita si rappresenta simbolicamente come in Fig.<strong>A.4</strong>.1.<br />
x t<br />
a( )<br />
C / D<br />
xn [ ] xa( nTs)<br />
T s<br />
Figura <strong>A.4</strong>.1: Generazione <strong>di</strong> sequenze per campionamento (Conversione C/D).<br />
Si noti che nel passaggio da segnale analogico a sequenza si perde l’informazione sull’intervallo temporale tra campioni successivi,<br />
non necessario alla definizione del dominio <strong>di</strong>screto della sequenza xs[n], nonostante quest’ultima sia stata ottenuta per<br />
campionamento uniforme al ritmo <strong>di</strong> 1/Ts campioni al secondo.<br />
<strong>A.4</strong>.2 <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Analogici da Sequenze<br />
La ricostruzione <strong>di</strong> segnali analogici a partire da una sequenza si effettua me<strong>di</strong>ante l’operazione <strong>di</strong> interpolazione con una generica<br />
funzione interpolatrice φ(t), opportunamente normalizzata.<br />
Preliminarmente, però, occorre restaurare una metrica per definire l’intervallo temporale che sussiste tra campioni consecutivi,<br />
in modo da restaurare la continuità del dominio <strong>di</strong> definizione del segnale analogico che si vuole ottenere.<br />
Sia allora Tr l’intervallo temporale che “riscala” l’asse dei tempi nel senso appena illustrato; l’operazione <strong>di</strong> interpolazione<br />
della sequenza x[n] nel segnale ricostruito xr(t) è definita come segue<br />
x (φ)<br />
r (t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
<br />
t − nTr<br />
x[n] · φ<br />
Tr<br />
(<strong>A.4</strong>.1)<br />
In parole povere, il segnale analogico è ottenuto sommando repliche, opportunamente traslate e scalate in ampiezza, della funzione<br />
interpolatrice; per la generica replica traslata in t = nTr, il fattore d’ampiezza é pari proprio all’n-esimo campione x[n]. 4.1<br />
Quando φ(t) =sinc(t) si parla <strong>di</strong> interpolazione car<strong>di</strong>nale, in<strong>di</strong>cando più semplicemente<br />
<br />
t<br />
xr(t) =xs(t) ∗ sinc<br />
Tr<br />
=<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
Una rappresentazione grafica dell’interpolazione car<strong>di</strong>nale è riportata in Fig.<strong>A.4</strong>.2.<br />
<br />
t − nTr<br />
x[n] · sinc<br />
Tr<br />
(<strong>A.4</strong>.2)<br />
4.1 Come meglio vedremo in seguito, la formula d’interpolazione (<strong>A.4</strong>.1) si può riscrivere utilizzando il seguente segnale costituito solo da impulsi<br />
matematici<br />
xs(t) =<br />
+∞ <br />
x[n] · δ(t − nTr)<br />
n=−∞<br />
Il segnale analogico xs(t) si riferisce anche come segnale campionato. Pur essendo un segnale tempo-continuo, l’informazione in esso contenuta<br />
appare solo nell’insieme <strong>di</strong>screto degli istanti nTs, contenuta nelle aree degli impulsi matematici.<br />
Allora, posto φTr (t) def<br />
= φ(t/Tr), possiamo scrivere:<br />
x (φ)<br />
<br />
r (t) = xs ∗ φTr (t)<br />
Quin<strong>di</strong>, l’operazione <strong>di</strong> interpolazione sui campioni x[n] appare come filtraggio sul segnale xs(t), e potremo usare la potenza dell’analisi <strong>di</strong><br />
Fourier per comprendere meglio la relazione stabilita tra la sequenza dei campioni x[n] e il segnale interpolato x (φ)<br />
r (t).
<strong>A.4</strong>.2. RICOSTRUZIONE DI SEGNALI ANALOGICI DA SEQUENZE 173<br />
Figura <strong>A.4</strong>.2: <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> segnali analogici per interpolazione car<strong>di</strong>nale <strong>di</strong> sequenze. Al tempo t, il valore del segnale x(t)<br />
si ottiene sommando i contributi delle funzioni interpolatrici, ciascuna pertinente a un singolo campione della sequenza x[n].<br />
Si noti che, nell’istante generico t = nTr, le varie componenti sinc(·) non interferiscono con quella centrata al tempo (t − nTr).<br />
Quest’ultima replica è proprio quella scalata in ampiezza della quantità x[n], ed è facile rendersi conto dalla (<strong>A.4</strong>.2), così come<br />
osservando la Fig.<strong>A.4</strong>.2, che si riottengono i campioni della sequenza me<strong>di</strong>ante campionamento uniforme dal segnale ricostruito<br />
xr(t0 allo stesso ritmo 1/Tr usato nella ricostruzione:<br />
xr(nTr) =x[n]<br />
Tra l’altro, la (<strong>A.4</strong>.2) esprime il segnale analogico xr(t) come somma <strong>di</strong> segnali ortonormali, 4.2 per cui l’energia del segnale<br />
ricostruito si ottiene sommando le energie delle singole componenti, i.e. possiamo scrivere l’espressione del Teorema <strong>di</strong> Parseval<br />
o<strong>di</strong>conservazione dell’energia. 4.3<br />
Dim:<br />
Exr<br />
def<br />
=<br />
Conservazione dell’energia nell’Interpolazione Car<strong>di</strong>nale<br />
(energia del segnale ricostruito) Exr = Ex (energia della sequenza)<br />
+∞<br />
|xr(t)|<br />
−∞<br />
2 +∞ +∞ <br />
+∞ +∞<br />
t − nTr t − mTr <br />
dt =<br />
x[n] · x[m] · sinc<br />
sinc<br />
dt = |x[n]|<br />
n=−∞ m=−∞<br />
−∞ Tr<br />
Tr<br />
n=−∞<br />
⎧<br />
⎪⎨ Esinc=1 per n = m<br />
=<br />
⎪⎩ 0 per n = m<br />
2 = Ex<br />
La conversione Discreto-Continuo definita dalla interpolazione car<strong>di</strong>nale si in<strong>di</strong>ca simbolicamente come in Fig.<strong>A.4</strong>.3.<br />
xn [ ]<br />
<br />
t nT<br />
D/ C<br />
xr() t xn [ ] sinc<br />
T<br />
T r<br />
n<br />
Figura <strong>A.4</strong>.3: Conversione D/C.<br />
4.2Infatti è nulla l’energia incrociata tra i segnali sinc((t − nTr)/Tr) e sinc((t − mTr)/Tr) <strong>di</strong>sallineati <strong>di</strong> multipli del tempo Tr, i.e.<br />
⎧<br />
+∞ <br />
t − nTr t −<br />
⎨<br />
mTr 1 per n = m<br />
sinc<br />
sinc<br />
dt =<br />
−∞ Tr<br />
Tr<br />
⎩0<br />
per n = m<br />
4.3 E’ facile rendersi conto che la proprietà della conservazione dell’energia vale per qualsiasi sviluppo su componenti ortonormali.<br />
F<br />
HG<br />
r<br />
r<br />
I<br />
KJ
174 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.3 Altre Interpolazioni<br />
<strong>A.4</strong>.3.1 Interpolazione me<strong>di</strong>ante tenuta (or<strong>di</strong>ne zero)<br />
Si parla <strong>di</strong> interpolazione me<strong>di</strong>ante tenuta quando il segnale analogico è ricostruito “tenendo” il valore x[n] per il tempo Tr.<br />
L’andamento del segnale interpolato è quin<strong>di</strong> costante per tratti <strong>di</strong> durata Tr. La funzione interpolatrice si scrive come segue:<br />
φ0(t) =rect(t)<br />
Figura <strong>A.4</strong>.4: <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> segnali analogici me<strong>di</strong>ante tenuta (or<strong>di</strong>ne zero).<br />
Naturalmente, nella Fig.<strong>A.4</strong>.4, non riusciamo a <strong>di</strong>stinguere l’andamento delle funzioni interpolatrici associate a ogni singolo<br />
campione, come è possibile nella Fig.<strong>A.4</strong>.2.<br />
Vale la pena sottolineare che la ricostruzione me<strong>di</strong>ante tenuta è operata concretamente dai <strong>di</strong>spositivi cosiddetti Convertitori<br />
Digitali-Analogici (DAC), dove la funzione interpolatrice è (idealmente):<br />
φDAC(t) rect(t − 1/2)<br />
è il tempo <strong>di</strong> ricostruzione Tr è fissato dal clock al quale si fa operare il DAC. Naturalmente, la precisione dei campioni x[n] è<br />
limitata dal numero <strong>di</strong> cifre binarie (bit) del registro all’ingresso del DAC; inoltre, la forma d’onda rettangolare è realizzata solo<br />
in modo approssimato, dovendo tener conto dei tempi <strong>di</strong> carica e <strong>di</strong> scarica delle capacità in uscita al DAC.<br />
<strong>A.4</strong>.3.2 Interpolazione lineare (or<strong>di</strong>ne uno)<br />
Il segnale ricostruito me<strong>di</strong>ante interpolazione lineare presenta un andamento rettilineo per tratti <strong>di</strong> durata Tr, ottenuto congiungendo<br />
i punti x[n − 1] e x[n] con un segmento. La funzione interpolatrice si scrive come segue:<br />
φ1(t) =tri(t)<br />
Figura <strong>A.4</strong>.5: <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> segnali analogici me<strong>di</strong>ante interpolazione lineare (or<strong>di</strong>ne uno).
<strong>A.4</strong>.3. ALTRE INTERPOLAZIONI 175<br />
In questo caso si parla <strong>di</strong> interpolazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne uno poichè la funzione interpolatrice si ottiene me<strong>di</strong>ante una convoluzione da<br />
quella <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne zero, i.e.<br />
tri(t) =(rect∗rect)(t) L’interpolazione lineare è spesso impiegata da pacchetti <strong>di</strong> software grafico per la visualizzazione a schermo dell’andamento <strong>di</strong><br />
funzioni i cui punti sono prelevati con campionamento abbastanza fitto, in modo da non rendere percebile all’osservatore i punti<br />
angolosi evidenti nella Fig.<strong>A.4</strong>.5.<br />
<strong>A.4</strong>.3.3 Interpolazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n<br />
La funzione interpolatrice è ottenuta me<strong>di</strong>ante n convoluzioni da quella <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne zero, i.e.<br />
La funzione φn(t) ènotacomeB-Spline <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n.<br />
φn(t) def<br />
=(φn−1 ∗ rect)(t)
176 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.4 Conversioni C/D e D/C<br />
Abbiamo visto che, da un segnale ricostruito per interpolazione car<strong>di</strong>nale <strong>di</strong> una sequenza, è possibile riottenere i campioni della<br />
sequenza stessa me<strong>di</strong>ante campionamento opportuno del segnale ricostruito: basta che il ritmo <strong>di</strong> campionamento coincida con il<br />
fattore <strong>di</strong> espansione temporale operato nella ricostruzione (cfr. Fig.<strong>A.4</strong>.6).<br />
xn [ ]<br />
D/ C<br />
xr t ()<br />
T<br />
C / D<br />
xn [ ]<br />
si riottiene sempre<br />
xn [ ] xn [ ]<br />
Figura <strong>A.4</strong>.6: <strong>Campionamento</strong> in cascata alla ricostruzione.<br />
Scambiando <strong>di</strong> posto le conversioni nella cascata <strong>di</strong> Fig.<strong>A.4</strong>.6, si ottiene la situazione <strong>di</strong> Fig.<strong>A.4</strong>.7, dove si evidenzia che, in<br />
generale, la ricostruzione da una sequenza generata per campionamento non necessariamente coincide con il segnale analogico<br />
originale. Quando questo accade <strong>di</strong>ciamo che è possibile operare una perfetta ricostruzione.<br />
x t<br />
a( )<br />
xn [ ]<br />
C / D<br />
D/ C<br />
T<br />
x t<br />
r( )<br />
non necessariamente<br />
xr() t xa() t<br />
Figura <strong>A.4</strong>.7: <strong>Ricostruzione</strong> in cascata al campionamento.<br />
Poichè il segnale ottenuto per interpolazione car<strong>di</strong>nale si scrive come una serie <strong>di</strong> funzioni sinc(·), i.e.<br />
+∞<br />
<br />
t − nT<br />
xr(t) = x[n] · sinc<br />
(<strong>A.4</strong>.3)<br />
T<br />
n=−∞<br />
per avere una perfetta ricostruzione, ossia xr(t) =xa(t), il segnale analogico xa(t) deve necessariamente potersi sviluppare in<br />
serie <strong>di</strong> funzioni sinc(·).<br />
E’ facile rendersi conto che questa con<strong>di</strong>zione è anche sufficiente, e quin<strong>di</strong> possiamo enunciare la seguente<br />
Proposizione 4.1 Sia xa(t) un segnale analogico sviluppabile in serie <strong>di</strong> funzioni seno car<strong>di</strong>nale, i.e. esistono coefficienti ξn<br />
e un valore T con i quali sia possibile scrivere il seguente sviluppo<br />
xa(t) =<br />
+∞<br />
<br />
t − nT<br />
ξn · sinc<br />
T<br />
n=−∞<br />
Allora la sequenza dei campioni x[n] =xa(nT) presi al ritmo <strong>di</strong> 1/T campioni per secondo coincide con i coefficienti <strong>di</strong><br />
sviluppo ξn. Infatti:<br />
+∞<br />
<br />
nT − mT<br />
x[n] =xa(nT)= ξm · sinc<br />
= ξn<br />
T<br />
m=−∞ <br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 per n = m<br />
=<br />
⎪⎩ 0 per n = m<br />
La sequenza x[n] costituisce una rappresentazione del segnale analogico xa(t), nel senso che la ricostruzione me<strong>di</strong>ante interpolazione<br />
car<strong>di</strong>nale dei campioni xs[n], spaziati <strong>di</strong> T secon<strong>di</strong>, restituisce il segnale analogico xa(t) (ricostruzione perfetta).<br />
Inoltre, vale la conservazione dell’energia, i.e. Exa = Exs .
<strong>A.4</strong>.4. CONVERSIONI C/D E D/C 177<br />
Sulla sviluppabilità <strong>di</strong> un segnale analogico in serie <strong>di</strong> funzioni seno car<strong>di</strong>nale possiamo enunciare quest’altra proposizione<br />
Proposizione 4.2 Con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente affinchè un segnale analogico xa(t) sia sviluppabile in serie <strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
funzioni seno car<strong>di</strong>nale è che esso sia un segnale limitato nella banda B =1/T :<br />
xa(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
<br />
t − nT<br />
xa(nT) · sinc<br />
T<br />
⇐⇒ Xa(jΩ) = 0 per |Ω| >πB= π<br />
T<br />
Dim: necessarietà. Poichè le funzioni sinc(t/T − n) sono limitate nella banda B =1/T , anche il segnale xa(t), essendo somma <strong>di</strong> funzioni<br />
limitate tutte nella stessa banda, risulta limitato nella banda B =1/T .<br />
Dim: sufficienza. Preliminarmente notiamo che, essendo il segnale xa(t) limitato in banda, esso non risulta alterato a valle <strong>di</strong> un filtraggio<br />
passabasso ideale (con banda maggiore o uguale <strong>di</strong> quella del segnale). Per semplicità, ma senza per<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> generalità, pren<strong>di</strong>amo B =1; allora:<br />
xa(t) =(xa ∗ sinc)(t) =<br />
+∞ <br />
xa(ϑ)sinc(t−ϑ) dϑ (<strong>A.4</strong>.4)<br />
Nel seguito della <strong>di</strong>mostrazione, faremo uso della seguente proprietà delle funzioni seno car<strong>di</strong>nale: 4.4<br />
Sviluppiamo la con<strong>di</strong>zione (<strong>A.4</strong>.4):<br />
−∞<br />
−∞<br />
sinc(t − ϑ) =<br />
+∞ <br />
+∞ <br />
+∞ <br />
xa(t) = xa(ϑ)sinc(t−ϑ) dϑ = xa(ϑ) dϑ<br />
=<br />
+∞ <br />
xa(n) · sinc (t − n)<br />
n=−∞<br />
+∞ <br />
n=−∞<br />
−∞<br />
n=−∞<br />
dove abbiamo ipotizzato che sia lecito invertire la sommatoria con l’integrale.<br />
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ)<br />
sinc(t − n) sinc(n − ϑ) =<br />
+∞ <br />
n=−∞<br />
+∞ <br />
sinc(t − n) xa(ϑ)sinc(n−ϑ) dϑ<br />
−∞<br />
<br />
xa(n) (per la (<strong>A.4</strong>.4))<br />
<br />
Le proposizioni 4.1 e 4.2 costituiscono il Teorema del <strong>Campionamento</strong>, che riportiamo in una forma più compatta.<br />
Teorema del <strong>Campionamento</strong><br />
Teorema 4.1 L’interpolazione car<strong>di</strong>nale ricostruisce perfettamente un segnale dai suoi campioni se, e solo se, il segnale è<br />
limitato in banda e, detta B la banda del segnale, e 1/T il ritmo al quale si effettua il campionamento e l’interpolazione, si<br />
opera con BT ≤ 1.<br />
Il Teorema del <strong>Campionamento</strong> sancisce delle con<strong>di</strong>zioni ideali per effettuare campionamento e ricostruzione perfetta <strong>di</strong> segnali<br />
limitati in banda.<br />
La valutazione quantitativa delle <strong>di</strong>storsioni introdotte nel segnale ricostruito quando l’interpolazione <strong>di</strong>fferisce da quella<br />
car<strong>di</strong>nale 4.5 si effettua convenientemente me<strong>di</strong>ante l’analisi nel dominio della frequenza. In tale dominio, sarà anche possibile<br />
comprendere e valutare gli effetti <strong>di</strong>storcenti dovuti a un campionamento lento, i.e. quando operiamo con BT > 1.<br />
+1/2<br />
4.4Ricordando che sinc(t) = e<br />
−1/2<br />
j2πft df , abbiamo<br />
+∞ <br />
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ) =<br />
+∞ +1/2<br />
e<br />
n=−∞<br />
n=−∞ −1/2<br />
j2πf(t−n) +1/2<br />
df e<br />
−1/2<br />
j2πς(n−ϑ) dς<br />
+1/2<br />
= e<br />
−1/2<br />
j2πft +1/2<br />
df e<br />
−1/2<br />
−j2πςϑ dς<br />
+∞ <br />
e<br />
n=−∞<br />
−j2π(f−ς)n +1/2<br />
= e<br />
−1/2<br />
j2πft +1/2<br />
df e<br />
−1/2<br />
−j2πςϑ<br />
+∞ <br />
δ(f − ς − k) dς<br />
k=−∞<br />
=<br />
+∞ <br />
+1/2<br />
e<br />
k=−∞<br />
−1/2<br />
j2πft rect(f) e−j2π(f−k)ϑ rect(f − k) df =<br />
+1/2<br />
e<br />
(solo k=0) −1/2<br />
j2πf(t−ϑ) df<br />
=sinc(t − ϑ)<br />
4.5 L’interpolazione car<strong>di</strong>nale non è realizzabile nella pratica.
178 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.5 Analisi nel Dominio della Frequenza: <strong>Campionamento</strong><br />
In precedenza abbiamo <strong>di</strong>scusso le operazioni <strong>di</strong> campionamento e <strong>di</strong> ricostruzione <strong>di</strong> segnali analogici nel dominio del tempo.<br />
In questo capitolo, aumenteremo la comprensione <strong>di</strong> tali argomenti conducendo l’analisi nel dominio della frequenza me<strong>di</strong>ante gli<br />
strumenti analitici messi a <strong>di</strong>sposizione dall’analisi <strong>di</strong> Fourier.<br />
Per questi scopi, faremo uso della seguente notevole trasformata <strong>di</strong> Fourier. 4.6<br />
sT (t) def<br />
=<br />
Trasformata <strong>di</strong> Fourier <strong>di</strong> un Treno Perio<strong>di</strong>co d’Impulsi Matematici<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
δ(t − nT)<br />
FT<br />
⇐⇒<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
ST (jΩ) def<br />
= 2π<br />
T<br />
+∞<br />
k=−∞<br />
ST (fT) def<br />
= 1<br />
+∞<br />
T<br />
k=−∞<br />
<br />
δ Ω − 2π<br />
T k<br />
<br />
<br />
δ f − k<br />
<br />
T<br />
(pulsazione)<br />
(frequenza)<br />
(<strong>A.4</strong>.5)<br />
Al treno d’impulsi matematici sT (t) <strong>di</strong>amo il nome <strong>di</strong> segnale campionatore ideale. Esso permette <strong>di</strong> definire il seguente segnale<br />
analogico xs(t) campionato (idealmente) al ritmo <strong>di</strong> 1/Ts campioni al secondo:<br />
xs(t) def<br />
= xa(t) · sTs (t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
xa(nTs)δ(t − nTs) (<strong>A.4</strong>.6)<br />
FT<br />
Non è <strong>di</strong>fficile calcolare la trasformata <strong>di</strong> Fourier Xs(jΩ) ⇐⇒ xs(t): essa si ottiene come convoluzione, nel dominio della<br />
frequenza, delle trasformate Xa(jΩ) e STs (jΩ): 4.7<br />
Xs(jΩ) = 1<br />
2π<br />
= 1<br />
Ts<br />
+∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
k=−∞<br />
Xa(jΥ)STs(jΩ − jΥ) dΥ = 1<br />
2π<br />
Xa<br />
<br />
jΩ − j 2π<br />
<br />
k<br />
Ts<br />
+∞<br />
−∞<br />
Xa(jΥ) · 2π<br />
+∞<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
4.6 Ricordando che δ(t − nT ) FT<br />
⇐⇒ e −jΩ nT , e che la trasformazione <strong>di</strong> Fourier è lineare, abbiamo:<br />
<br />
δ<br />
Ω − Υ − 2π<br />
⎧<br />
⎫<br />
⎨ +∞ <br />
⎬<br />
F δ(t − nT )<br />
⎩<br />
⎭<br />
n=−∞<br />
=<br />
+∞ <br />
+∞ <br />
F {δ(t − nT )} = e<br />
n=−∞<br />
n=−∞<br />
−jΩT ·n +∞ <br />
=2π δ (Ω T − 2πk)<br />
k=−∞<br />
4.7 La (<strong>A.4</strong>.7) si scrive anche in funzione <strong>di</strong> f [cicli/s]:<br />
+∞<br />
+∞<br />
Xs(f) = Xa(ς)STs(f − ς) dς = Xa(ς) ·<br />
−∞<br />
−∞<br />
1<br />
+∞ <br />
<br />
δ f − ς −<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
k<br />
<br />
dς<br />
Ts<br />
= 1<br />
+∞ <br />
<br />
Xa f −<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
k<br />
<br />
Ts<br />
Ts<br />
<br />
k dΥ<br />
(<strong>A.4</strong>.7)
<strong>A.4</strong>.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO 179<br />
Osserviamo, quin<strong>di</strong>, il seguente fatto notevole, fondamentale nella Teoria dei <strong>Segnali</strong> e spessissimo usato nelle sue applicazioni.<br />
• La trasformata <strong>di</strong> Fourier Xs(jΩ)<br />
Trasformata <strong>di</strong> Fourier <strong>di</strong> un Segnale Analogico Campionato Idealmente<br />
FT<br />
⇐⇒ xs(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
xa(NTs) · δ(t − nTs) <strong>di</strong> un segnale analogico campionato<br />
idealmente è perio<strong>di</strong>ca modulo 2π/Ts;<br />
• Essa si ottiene perio<strong>di</strong>cizzando la versione scalata <strong>di</strong> 1/Ts della trasformata <strong>di</strong> Fourier del segnale originale.<br />
Xs(jΩ) = 1<br />
+∞<br />
Xa(jΥ)STs(jΩ − jΥ) dΥ =<br />
2π<br />
1<br />
+∞<br />
Xa(jΥ) ·<br />
2π<br />
2π<br />
+∞<br />
<br />
δ Ω − Υ − 2π<br />
<br />
k dΥ<br />
= 1<br />
Ts<br />
−∞<br />
+∞<br />
k=−∞<br />
Xa<br />
<br />
jΩ − j 2π<br />
<br />
k<br />
Ts<br />
−∞<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
Ts<br />
(<strong>A.4</strong>.8)<br />
L’operazione <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cizzazione modulo 2π/Ts è illustrata in Fig.<strong>A.4</strong>.8, dove si configurano due situazioni <strong>di</strong>verse:<br />
S-I. Il segnale xa(t) è limitato nella banda base B ≤ 1/Ts. In questo caso, le varie repliche spettrali Xa (jΩ+j2πk/Ts), per<br />
k = −∞,...,+∞, non interferiscono, giacché risulta 2π/Ts − πB ≥ πB. Da notare il fattore <strong>di</strong> scala delle ampiezze<br />
pari a 1/Ts. Pertanto, nella banda base B troviamo la sola replica spettrale per k =0.<br />
S-II. Il segnale x(t) è limitato nella banda base B>1/Ts (eventualmente B =+∞). Le varie repliche spettrali Xa (jΩ+j2πk/Ts),<br />
per k = −∞,,...,+∞, interferiscono. In particolare, nella banda base B si sovrappongono più repliche spettrali.<br />
4 T s<br />
4 T s<br />
1 T s<br />
2 T s<br />
B<br />
Hr( j)<br />
Hr( j)<br />
T s<br />
1<br />
Xs( j)<br />
X ( j ) <br />
a<br />
B<br />
Xa( j)<br />
T X ( j ) <br />
s s<br />
T s<br />
T s<br />
2 T s<br />
2 TsB 4 T s<br />
4 T s<br />
sovrapposizione<br />
Figura <strong>A.4</strong>.8: Il campionamento visto nel dominio della frequenza: perio<strong>di</strong>cizzazione modulo 2π/Ts degli spettri. In alto è<br />
rispettata la con<strong>di</strong>zione BTs ≤ 1, in basso osserviamo la sovrapposizione tra le repliche spettrali per BTs > 1.
180 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
Il fenomeno <strong>di</strong> sovrapposizione delle repliche genera situazioni curiose quando si considera la ricostruzione del segnale me<strong>di</strong>ante<br />
interpolazione car<strong>di</strong>nale. Specificatemente, questo fenomeno è comunemente in<strong>di</strong>cato con il termine anglo-latino aliasing, peri<br />
motivi illustrati nell’Esempio <strong>A.4</strong>.1.<br />
In ogni caso, alla luce <strong>di</strong> quanto già <strong>di</strong>scusso nel par.<strong>A.4</strong>.4, nella situazione S-II non è possibile ricostruire perfettamente il<br />
segnale xa(t) dai suoi campioni xa(nTs).<br />
Conclu<strong>di</strong>amo offrendo una descrizione grafica dell’operazione <strong>di</strong> conversione Continuo/Discreto, ora rappresentabile come in<br />
Fig.<strong>A.4</strong>.9, 4.8 dove abbiamo evidenziato la formazione del segnale analogico campionato idealmente xs(t).<br />
xa t ()<br />
<br />
<br />
s () t (<br />
t nT )<br />
<br />
xs() t xa( nTs) ( tnTs) n<br />
Ts n<br />
s<br />
b sg<br />
s k<br />
<br />
2<br />
ST( j)<br />
kT<br />
s 2<br />
T<br />
xa t ()<br />
Misuratore d’Area<br />
(Impulsi Matematici Ampiezze)<br />
T s<br />
<br />
C / D<br />
xn [ ] xa( nTs)<br />
xn [ ] x( nT)<br />
Figura <strong>A.4</strong>.9: <strong>Campionamento</strong> <strong>di</strong> un segnale analogico. Notare la formazione del segnale campionato idealmente xs(t).<br />
Per descrivere, nel dominio della frequenza, il legame tra il segnale analogico xa(t) e i suoi campioni espressi come ampiezze<br />
della sequenza x[n], occorre valutare la trasformata <strong>di</strong> Fourier della sequenza x[n] def<br />
= xa(nTs):<br />
X(e jω ) def<br />
= F {x[n]} =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
x[n]e −jωn =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
xa(nTs)e −jωn<br />
Andando a eseguire il confronto con la trasformata <strong>di</strong> Fourier del segnale campionato xs(t) =<br />
Xs(jΩ) def<br />
= F {xs(t)} =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
xa(nTs)F {δ(t − nTs)} =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
a s<br />
xa(nTs)e −jΩTsn<br />
xa(nTs)δ(t−nTs) otteniamo<br />
Abbiamo, quin<strong>di</strong>, ottenuto la seguente relazione tra la trasformata <strong>di</strong> Fourier del segnale da campionare Xa(jΩ) ⇐⇒ xa(t), ela<br />
trasformata <strong>di</strong> Fourier della sequenza dei campioni X(e jω FT<br />
) ⇐⇒ x[n].<br />
Le Trasformate <strong>di</strong> Fourier nel <strong>Campionamento</strong><br />
X(e jω <br />
<br />
)=Xs(jΩ) =<br />
Ω=ω/Ts<br />
1<br />
Ts<br />
+∞<br />
<br />
Xa jΩ − j 2π<br />
<br />
k<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
FT<br />
(<strong>A.4</strong>.9)<br />
4.8La Fig.<strong>A.4</strong>.9 riporta una rappresentazione dell’operazione <strong>di</strong> campionamento particolarmente utile per gli scopi analitici <strong>di</strong> questo capitolo.<br />
Si ba<strong>di</strong>, però, che essa non costituisce la descrizione <strong>di</strong> un particolare <strong>di</strong>spositivo fisico, e.g. un convertitore Analogico-Digitale (Analog to Digital<br />
Converter, ADC), che non può certamente far uso d’impulsi matematici.
<strong>A.4</strong>.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO 181<br />
Vale la pena notare che la perio<strong>di</strong>cizzazione modulo 2π/Ts nella variabile Ω dello spettro X(jΩ) del segnale campionato <strong>di</strong>venta<br />
modulo 2π nella variabile ω quando si considera lo spettro X(e jω ) della sequenza; infatti, in quest’ultimo, ogni riferimento al<br />
tempo <strong>di</strong> campionamento è andato perso nella normalizzazione ω =ΩTs, relazione che descrive il legame stabilito dall’operazione<br />
<strong>di</strong> campionamento tra gli assi della pulsazione, per così <strong>di</strong>re, analogica Ω e quella <strong>di</strong>screta ω (cfr. Fig.<strong>A.4</strong>.10). Abbiamo così<br />
ritrovato il fatto che gli spettri <strong>di</strong> segnali campionati sono intrinsecamente perio<strong>di</strong>ci, e questo fatto è sempre essenzialmente dovuto<br />
al fenomeno dell’in<strong>di</strong>stinguibilità <strong>di</strong> segnali sinusoidali sottoposti alla <strong>di</strong>scretizzazione del loro dominio <strong>di</strong> definizione, fenomeno<br />
già <strong>di</strong>scusson nel parA.1.10.4.<br />
Per finire, osserviamo che per BT ≤ 1 possiamo anche scrivere<br />
Xs(jΩ) = 1<br />
<br />
jΩ mod j 2π<br />
<br />
Ω=ω/Ts<br />
Xa<br />
Ts<br />
in quanto non si verifica alcuna sovrapposizione nella perio<strong>di</strong>cizzazione dello spettro.<br />
4 T s<br />
4<br />
2 T s<br />
2<br />
B<br />
1<br />
1 T s<br />
1 T s<br />
BT s<br />
X ( j ) <br />
s<br />
Xe j<br />
( )<br />
Ts<br />
Xa( j)<br />
B<br />
BT s<br />
2 T s<br />
2<br />
4 T s<br />
Figura <strong>A.4</strong>.10: Normalizzazione dell’asse delle frequenze nel campionamento.<br />
4<br />
<br />
<br />
T s<br />
Gli argomenti sopra esposti permettono <strong>di</strong> enunciare la cosiddetta con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Nyquist riguardo il rapporto tra ritmo <strong>di</strong><br />
campionamento 1/Ts e banda del segnale B.<br />
Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Nyquist<br />
Per un segnale limitato nella banda base B e campionato al ritmo <strong>di</strong> 1/Ts campioni per secondo, non si verifica sovrapposizione<br />
delle repliche spettrali quando risulta<br />
B · Ts ≤ 1<br />
Il segno uguale vale solo se il segnale non presenta componenti sinusoidali 1 alle pulsazioni Ω=±π/Ts.<br />
1In questo caso, infatti, avremmo due impulsi matematici alle pulsazioni Ω=±π/Ts; nella perio<strong>di</strong>cizzazione modulo 2π/Ts dello spettro,<br />
questi impulsi interferiscono per BTs =1.<br />
Come detto in precedenza, il fenomeno <strong>di</strong> sovrapposizione delle repliche spettrali, che si verifica quando si opera il campionamento<br />
violando la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Nyquist, si chiama anche con il termine aliasing, per i motivi illustrati nell’Esempio <strong>A.4</strong>.1,
182 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.6 Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo<br />
L’operazione <strong>di</strong> conversione Discreto/Continuo, ossia l’operazione <strong>di</strong> ricostruzione <strong>di</strong> un segnale analogico xr(t) me<strong>di</strong>ante<br />
interpolazione car<strong>di</strong>nale <strong>di</strong> una sequenza x[n] si scrive<br />
xr(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
<br />
t − nTr<br />
x[n]sinc<br />
è rappresentata nella Fig.<strong>A.4</strong>.11, dove si evidenzia il ruolo giocato dal segnale<br />
xs(t) def<br />
=<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
Tr<br />
(<strong>A.4</strong>.10)<br />
x[n]δ (t − nTr) (<strong>A.4</strong>.11)<br />
costituito da impulsi matematici spaziati Tr. 4.9 Esso è generato associando le ampiezze dei campioni x[n] alle aree degli impulsi<br />
δ(t − nTr), la cui spaziatura è determinata dal parametro <strong>di</strong> ricostruzione Tr.<br />
xn [ ]<br />
Generatore d’Impulsi<br />
(Ampiezze Impulsi Matematici)<br />
xn [ ]<br />
<br />
T r<br />
<br />
xs() t xn [ ] (<br />
t nTr)<br />
T r<br />
n<br />
sincatTrf <br />
t nT<br />
D/ C<br />
xr() t xn [ ] sinc<br />
T<br />
n<br />
Figura <strong>A.4</strong>.11: <strong>Ricostruzione</strong> per Interpolazione.<br />
Utilizzando il segnale xs(t), epostosinc Tr (t) def<br />
=sinc(t/Tr), possiamo riscrivere la (<strong>A.4</strong>.10) come convoluzione <strong>di</strong> filtraggio:<br />
xr(t) = xs ∗ sinc Tr<br />
F<br />
HG<br />
r<br />
r<br />
I<br />
KJ<br />
xr t ()<br />
(t) (<strong>A.4</strong>.12)<br />
Lo spettro del segnale xs(t) è parente stretto dello spettro della sequenza x[n], esso si ottiene per semplice normalizzazione<br />
dell’asse delle frequenze ω =ΩTr, i.e.<br />
Xs(jΩ) = X(e jω <br />
<br />
)<br />
ω=ΩTr<br />
Si noti che entrambi gli spettri sono perio<strong>di</strong>ci, X(e jω ) modulo 2π mentre Xs(jΩ) modulo 2π/Tr.<br />
Con l’aiuto del segnale xs(t) possiamo comprendere l’effetto del filtro ricostruttore nel dominio della frequenza, in tutta<br />
analogia a quanto già fatto nel paragrafo precedente. Posto Br =1/Tr la banda del filtro passabasso ricostruttore ideale, abbiamo<br />
Xr(jΩ) = Xs(jΩ) · Tr H (Br)<br />
LP (jΩ) = X(ejω <br />
<br />
) · Tr H (Br)<br />
LP (jΩ) (<strong>A.4</strong>.13)<br />
ω=ΩTr<br />
La (<strong>A.4</strong>.13) è illustrata nella Fig.<strong>A.4</strong>.12, dove abbiamo considerato anche un ulteriore filtro ricostruttore h ′ r(t) non ideale, i cui<br />
effetti <strong>di</strong>storcenti sono <strong>di</strong>scussi nel par.<strong>A.4</strong>.6.1.<br />
4.9 Con un piccolo abuso <strong>di</strong> notazione, abbiamo usato lo stesso simbolo xs(t) per denotare il segnale analogico campionato al ritmo <strong>di</strong> 1/Ts<br />
campioni/s (<strong>A.4</strong>.6) e il segnale analogico (<strong>A.4</strong>.11) che ripristina la spaziatura temporale Tr fra i campioni della sequenza x[n], pur essendo in<br />
generale Ts = Tr .
<strong>A.4</strong>.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO 183<br />
<strong>A.4</strong>.6.1 Effetto Moirè<br />
Cconsiderato un filtro ricostruttore h ′ r(t) non ideale, i.e. H ′ r(jΩ) = H (Br)<br />
LP (jΩ), le (<strong>A.4</strong>.12) e (<strong>A.4</strong>.13) <strong>di</strong>ventano:4.10<br />
x ′ r(t) def<br />
+∞<br />
= x[n]h<br />
n=−∞<br />
′ <br />
t − nTr<br />
r<br />
= xs(t) ∗ h<br />
Tr<br />
′ r(t/Tr)<br />
Xr(jΩ) = Xs(jΩ) · Tr H ′ r(jΩ · Tr) =X(e jω <br />
<br />
) · Tr H ′ r(jΩ · Tr)<br />
ω=ΩTr<br />
Come illustrato nella Fig.<strong>A.4</strong>.12, notiamo che le imperfezioni sul segnale ricostruito prodotte dall’andamento della risposta armonica<br />
H ′ r(jΩ · Tr) sono dovute a due cause:<br />
1. mancato rigetto delle componenti sinusoidali esterne alla banda Br =1/Tr, per questo dette spurie, causato della scarsa<br />
selettività in frequenza del filtro ricostruttore;<br />
2. imperfetta ricostruzione nella banda Br = 1/Tr, causata dal guadagno non costante nella banda passante del filtro<br />
ricostruttore.<br />
T r<br />
4<br />
4 T r<br />
2<br />
ricostruttore<br />
passabasso ideale<br />
effetto<br />
moiré<br />
2 T r<br />
1<br />
X ( j ) <br />
X ( j ) <br />
T r<br />
s<br />
r<br />
Xe j<br />
( )<br />
Tr<br />
r T <br />
2B 2 T<br />
r r<br />
'<br />
TH ( jT) r r r<br />
'<br />
X ( j)<br />
r<br />
2<br />
2 T r<br />
effetto<br />
moiré<br />
4<br />
4 T r<br />
<br />
T r<br />
T r<br />
Figura <strong>A.4</strong>.12: La ricostruzione nel dominio della frequenza: caso generale. In evidenza le componenti spurie (effetto moirè).<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista del legame stabilito dal convertitore D/C tra la sequenza in ingresso x[n] e il segnale ricostruito all’uscita x ′ r(t),<br />
l’imperfetta ricostruzione nella banda Br =1/Tr èdaconsiderarsicausa<strong>di</strong><strong>di</strong>storsione lineare, i.e. alla generica sinusoide <strong>di</strong>screta<br />
a pulsazione ω in ingresso corrisponde una sinusoide continua in uscita con ampiezza complessa mo<strong>di</strong>ficata dalla risposta del filtro<br />
ricostruttore H ′ r(jΩ) alla pulsazione Ω=ωTr. Invece, la scarsa selettività in frequenza del filtro ricostruttore è da considerarsi<br />
causa <strong>di</strong> <strong>di</strong>storsione nonlineare, i.e. alla generica sinusoide <strong>di</strong>screta a pulsazione ω in ingresso corrispondono più sinusoi<strong>di</strong> in<br />
uscita; sostanzialmente, osserveremo un fenomeno d’interferenza tre le componenti sinusoidali spurie interne e quelle esterne alla<br />
banda Br =1/Tr. Tale fenomeno d’interferenza è noto come effetto moirè, 4.11 e un esempio relativo al caso sinusoidale è riportato<br />
nell’Esempio <strong>A.4</strong>.2.<br />
4.10Nell’in<strong>di</strong>care l’operazione <strong>di</strong> convoluzione xs(t) ∗ h ′<br />
r (t/Tr), usiamo la notazione xs(t) per intendere l’intera forma d’onda , e altrettanto<br />
per h ′ r (t/Tr). Questo implica che non si può operare formalmente sulla variabile t, e.g. il valore del segnale ricostruito al tempo t =3non si<br />
può scrivere come xr(3) = xs(3) ∗ h ′ <br />
3<br />
r , non avendo significato l’operatore <strong>di</strong> convoluzione applicato su quantità scalari.<br />
Tr<br />
4.11Dalla parola francese moiré, un tipo <strong>di</strong> tessuto, tra<strong>di</strong>zionalmente <strong>di</strong> seta ma ora anche in cotone o fibra sintetica, con un effetto che ricorda le<br />
onde o l’acqua. L’intreccio tipico <strong>di</strong> tale tessuto si osserva sovrapponendo sinusoi<strong>di</strong> bi<strong>di</strong>mensionali, i.e. ricostruendo imperfettamente un segnale<br />
sinusoidale bi<strong>di</strong>mensionale campionato, e spesso si osserva sui monitor televisivi quando si visualizzano strutture a righe verticali, e.g. una giacca.<br />
Un generico fenomeno d’interferenza tra segnali anche non rigorosamente sinusoidali è ancora riferito come effetto moirè, anche nel caso <strong>di</strong> segnali<br />
mono<strong>di</strong>mensionali.
184 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
Pertanto, poichè nella pratica siamo costretti a operare interpolazioni <strong>di</strong>verse da quella car<strong>di</strong>nale, l’effetto moirè è sempre<br />
potenzialmente osservabile, specialmente nell’interpolazione per tenuta (or<strong>di</strong>ne 0), i.e.<br />
e nell’interpolazione lineare<br />
h (0)<br />
r (t) =φ0(t) def<br />
=rect(t)<br />
h (1)<br />
r (t) =φ1(t) def<br />
=tri(t)<br />
FT<br />
⇐⇒ H (0) sin Ω/2<br />
r (jΩ) =<br />
Ω/2<br />
FT<br />
⇐⇒ H (1)<br />
r (jΩ) =<br />
<strong>A.4</strong>.6.2 <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e Filtraggio Passabasso.<br />
2 sin Ω/2<br />
Ω/2<br />
Come illustrato nella Fig.<strong>A.4</strong>.13, ponendo in cascata un convertitore <strong>di</strong>gitale analogico (DAC, cfr. par.<strong>A.4</strong>.3.1), e un filtro analogico<br />
passabasso si realizza un semplice ricostruttore, sufficientemente accurato in <strong>di</strong>verse situazioni <strong>di</strong> interesse applicativo.<br />
xn [ ]<br />
<br />
j<br />
H ( e )<br />
<br />
PC<br />
prefiltraggio numerico<br />
per la precompensazione<br />
delle <strong>di</strong>storsioni introdotte<br />
dal filtro passabasso analogico<br />
nella sola banda <strong>di</strong> ricostruzione<br />
<br />
DAC<br />
Tr<br />
HLP( j)<br />
/ r T <br />
/ r T <br />
<br />
filtro passabasso analogico<br />
Figura <strong>A.4</strong>.13: <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e filtraggio passabasso.<br />
Infatti, l’effetto moirè introdotto dal DAC, che realizza l’interpolazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 0, è mitigato dal filtraggio passabasso. Tra l’altro,<br />
poichè le attenuazioni <strong>di</strong> banda oscura del DAC e del filtro vanno a moltiplicarsi, anche una semplice rete RC (cfr. Fig.A.3.11)<br />
può essere impiegata. Scegliendo RC = Tr/π, la risposta in frequenza del cascata DAC-filtro passabasso si scrive come segue:<br />
H (DAC-RC) sin Ω/2 1<br />
r (jΩ) = ·<br />
Ω/2 1+jΩ/π<br />
Nella Fig.<strong>A.4</strong>.14 abbiamo riportato l’andamento delle riposte in frequenza del DAC, del filtro RC e della loro cascata.<br />
Figura <strong>A.4</strong>.14: <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e filtraggio passabasso RC: andamento delle risposte in frequenza per RC = Tr/π<br />
Notiamo che l’effetto moirè è stato maggiormente attenuato rispetto a quello misurabile a valle del solo DAC (il primo<br />
lobo laterale della 2sin(Ω/2)/Ω è stato portato sotto −50dB), a spese <strong>di</strong> una maggiore <strong>di</strong>storsione nella banda <strong>di</strong> ricostruzione<br />
|ΩTr| ≤π.<br />
xr t ()
<strong>A.4</strong>.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO 185<br />
In ogni caso, comunque scelto il filtro analogico a valle del DAC, possiamo sempre supporre <strong>di</strong> conoscere l’attenuazione<br />
nella banda <strong>di</strong> ricostruzione, 4.12 che può essere recuperata in maniera sufficientemente accurata me<strong>di</strong>ante filtraggio numerico <strong>di</strong><br />
precompensazione HPC(e jω ) a monte del DAC, come illustrato anche in Fig.<strong>A.4</strong>.13. 4.13<br />
L’andamento del segnale ricostruito è riportato in Fig.<strong>A.4</strong>.15; notiamo che le <strong>di</strong>scontinuità introdotte dal meccanismo <strong>di</strong> tenuta<br />
del DAC (Fig.<strong>A.4</strong>.15 in alto), sono state smussate, e l’andamento del segnale ricostruito si è avvicinato a quello ottenuto me<strong>di</strong>ante<br />
interpolazione car<strong>di</strong>nale (Fig.<strong>A.4</strong>.15 in basso), anche se, per la causalità dell’implementazione in tempo reale, nel generico istante<br />
t sono presenti i contributi dei soli campioni convertiti dal DAC nei tempi precedenti.<br />
Figura <strong>A.4</strong>.15: <strong>Ricostruzione</strong> me<strong>di</strong>ante DAC e filtraggio passabasso (al centro). In alto abbaimo riportato l’andamento del<br />
segnale ricostruito me<strong>di</strong>ante tenuta, e in basso l’andamento del segnale ricostruito me<strong>di</strong>ante interpolazione car<strong>di</strong>nale.<br />
Inoltre, nella Fig.<strong>A.4</strong>.15 notiamo anche il ritardo introdotto dalla cascata DAC-filtro passabasso, in accordo alla risposta impulsiva<br />
che si scrive:<br />
h (DAC-RC)<br />
<br />
r (t) = 1 − e −t/RC<br />
<br />
u(t) − 1 − e −(t−1)/RC<br />
u(t − 1)<br />
4.12Al <strong>di</strong> là della mera conoscenza analitica, la risposta in frequenza della catena DAC-filtro si ottiene molto semplicemente iniettando sequenze<br />
sinusoidali e misurando ampiezza e fase del segnale sinusoidale ricostruito.<br />
4.13Osservando l’andamento della risposta in frequenza nella banda <strong>di</strong> ricostruzione, ci accorgiamo che se la sequenza risulta limitata nella banda<br />
2πB
186 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.7 Considerazioni Finali<br />
• Il fenomeno dell’aliasing è dovuto alla violazione della con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Nyquist BTs ≤ 1 nel campionamento uniforme<br />
<strong>di</strong> segnali analogici. In presenza <strong>di</strong> aliasing non é possibile ricostruire “perfettamente” il segnale analogico me<strong>di</strong>ante<br />
interpolazione car<strong>di</strong>nale dei suoi campioni.<br />
Occorre sottolineare però che un segnale fisico non sarà mai perfettamente limitato in banda, anche prendendo la precauzione<br />
<strong>di</strong> filtrare passabasso prima <strong>di</strong> effettuare il campionamento, 4.14 non fosse altro per le imperfezioni dell’implementazione<br />
fisica del filtro passabasso (cfr. anche quanto <strong>di</strong>scusso nel par.A.3.6.4).<br />
Nella realtà delle cose, quin<strong>di</strong>, avremo sempre presenza <strong>di</strong> aliasing, i cui effetti siamo in grado <strong>di</strong> valutare me<strong>di</strong>ante gli<br />
strumenti acquisiti me<strong>di</strong>ante l’analisi del campionamento nel dominio della frequenza. Ad esempio, se l’energia del segnale<br />
def<br />
contenuta nella banda <strong>di</strong> Nyquist BN =1/Ts, i.e.<br />
E (B N )<br />
x<br />
<strong>di</strong>fferisce <strong>di</strong> qualche percento dall’energia totale, i.e.<br />
def 1<br />
=<br />
2π<br />
Ex − E (B N )<br />
x<br />
Ex<br />
+πB N<br />
−πB N<br />
|X(jΩ)| 2 dΩ<br />
[0.01 ÷ 0.05]<br />
possiamo affermare che gli effetti <strong>di</strong>storcenti dovuti all’aliasing risultano trascurabili, i.e. il segnale può considerarsi praticamente<br />
limitato nella banda BN e quin<strong>di</strong> praticamente ricostruibile senza imperfezioni apprezzabili dai suoi campioni<br />
presi al ritmo 1/Ts.<br />
• In caso <strong>di</strong> aliasing non trascurabile, possiamo calcolare la porzione <strong>di</strong> energia <strong>di</strong> segnale non <strong>di</strong>storto da aliasing. Detta B<br />
la banda del segnale, dalla Fig.<strong>A.4</strong>.8 osserviamo che la banda non affetta da aliasing è<br />
Bna<br />
def 2<br />
= − B<br />
Ts<br />
e quin<strong>di</strong> la porzione d’energia <strong>di</strong> segnale non <strong>di</strong>storto si calcola come segue:<br />
E (Bna)<br />
x<br />
= 1<br />
2π<br />
Allora, la porzione d’energia <strong>di</strong> segnale <strong>di</strong>storto risulta:<br />
E (Ba)<br />
x<br />
<br />
+πBna<br />
−πBna<br />
|X(jΩ)| 2 dΩ<br />
= Ex − E (Bna)<br />
x<br />
Alternativamente, ove risultasse più semplice l’integrazione, possiamo anche scrivere<br />
E (Ba)<br />
x = 1<br />
2π<br />
e più semplicemente per segnali reali:<br />
4.14 in questo caso si parla <strong>di</strong> filtraggio anti-aliasing.<br />
<br />
−πBna<br />
−πB<br />
E (Ba)<br />
x<br />
|X(jΩ)| 2 dΩ+ 1<br />
2π<br />
= 1<br />
π<br />
+πB <br />
+πBna<br />
+πB <br />
+πBna<br />
|X(jΩ)| 2 dΩ<br />
|X(jΩ)| 2 dΩ
<strong>A.4</strong>.7. CONSIDERAZIONI FINALI 187<br />
• L’effetto moirè è dovuto alla non perfetta limitazione nella banda 1/Tr del filtro ricostruttore usato nella ricostruzione <strong>di</strong><br />
segnali analogici me<strong>di</strong>ante interpolazione dei loro campioni. Poichè solo il filtro passabasso ideale è limitato in banda,<br />
in realtà avremo sempre presenza <strong>di</strong> effetto moirè. Anche in questo caso, siamo in grado <strong>di</strong> eseguire delle valutazioni<br />
quantitative operando nel dominio della frequenza. Detto H ′ r(jΩ) la risposta in frequenza del filtro interpolatore, l’energia<br />
dovuta all’effetto moirè, i.e.<br />
E (M)<br />
x ′ r<br />
=<br />
<br />
−π/Tr<br />
−∞<br />
|H ′<br />
r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ+<br />
si può confrontare con l’energia del segnale ricostruito, i.e.:<br />
+∞<br />
+π/Tr<br />
Ex ′ r =<br />
+∞<br />
|H ′ r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ<br />
−∞<br />
|H ′<br />
r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ
188 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.8 Appen<strong>di</strong>ce: <strong>Ricostruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>Segnali</strong> Campionati per BTs
<strong>A.4</strong>.8. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS
190 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
Esempio <strong>A.4</strong>.1 - Violazione della Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Nyquist e Aliasing: Esempio per Segnale Sinusoidale<br />
Oltre al caso generale graficizzato nella Fig.<strong>A.4</strong>.8, per illustrare il fenomeno susseguente alla violazione della con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
Nyquist, consideriamo il campionamento e la ricostruzione car<strong>di</strong>nale del segnale sinusoidale, evidentemente limitato in banda,<br />
xa(t) =e jΩ0t FT<br />
⇐⇒ 2πδ(Ω − Ω0)<br />
Per π/Ts < Ω0, si ha il fenomeno illustrato nella Fig.<strong>A.4</strong>.19, dove, per semplicità, abbiamo omesso il passaggio Xs(jΩ) →<br />
X(e jω ) → Xs(jΩ) equivalente all’identità.<br />
4 T s<br />
4 T s<br />
2 T s<br />
aliasing<br />
TX s s ( j ) <br />
Hr( j)<br />
Xa( j)<br />
0<br />
'<br />
0<br />
0<br />
2 T s<br />
T s 0<br />
4 T s<br />
4 T s<br />
Figura <strong>A.4</strong>.19: Aliasing nel campionamento <strong>di</strong> un segnale sinusoidale.<br />
Infatti, nella trasformata <strong>di</strong> Fourier del segnale campionato<br />
Xs(jΩ) = 2π<br />
+∞<br />
Ts<br />
k=−∞<br />
δ(Ω − Ω0 − 2πk/Ts)<br />
la replica per k = −1 è costituita da un impulso matematico alla pulsazione Ω ′ 0 =Ω0− 2π/Ts, con|Ω ′ 0|
<strong>A.4</strong>.8. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS 2π/Ts − Ω0. Allora, come si vede dalla Fig.<strong>A.4</strong>.20, il<br />
filtro ricostruttore cattura sia la replica per k =0che quella per k = −1 risultando:<br />
4 T s<br />
4 T s<br />
xr(t) =e jΩ0t + e −j(Ω0−2π/Ts)t<br />
2 T s<br />
H ( j ) <br />
r<br />
effetto<br />
moirè<br />
2 Ts 0<br />
X ( j ) <br />
a<br />
0<br />
X ( j ) <br />
s<br />
0<br />
Area 1<br />
2 T s<br />
T s 0<br />
B 2 T <br />
r s<br />
0<br />
4 T s<br />
4 T s<br />
<br />
Area 1 T s<br />
Figura <strong>A.4</strong>.20: Effetto moirè nella ricostruzione: caso particolare <strong>di</strong> segnale sinusoidale.<br />
Il segnale ricostruito, quin<strong>di</strong>, soffrirà del fenomeno d’interferenza tra le due sinusoi<strong>di</strong>, delle quali quella a pulsazione Ω0 − 2π/Ts<br />
è da considerarsi spuria (indesiderata). 4.15<br />
4.15Nel caso <strong>di</strong> sinusoi<strong>di</strong> reali nella banda au<strong>di</strong>o, l’effetto moirè si presenta come quando si pizzicano due corde <strong>di</strong> chitarra che dovrebbero<br />
emettere la stessa nota ma non lo fanno a causa <strong>di</strong> una non perfetta accordatura. In questo caso, si sente il battimento delle due note, i.e. si sente<br />
la nota alla frequenza me<strong>di</strong>a tra le due, modulata in intensità dalla frequenza semi-<strong>di</strong>fferenza. Quando la modulazione scompare, l’accordatura è<br />
perfetta. Infatti, per la nota formula <strong>di</strong> prostaferesi, abbiamo:<br />
<br />
Ω1 +Ω2 Ω1 − Ω2<br />
cos(Ω1t)+cos(Ω2t) =2cos<br />
· cos<br />
2<br />
2
192 CAPITOLO <strong>A.4</strong>. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI<br />
<strong>A.4</strong>.9 Esercizi<br />
1. Si descriva il campionamento e la ricostruzione me<strong>di</strong>ante interpolazione car<strong>di</strong>nale del segnale analogico<br />
xa(t) =A0 cos(2πf0t)<br />
anche illustrando in forma grafica i vari passaggi.<br />
Si considerino i due casi Ts < 1/2f0, Ts > 1/2f0 econTr = Ts.<br />
Si ripeta considerando la ricostruzione me<strong>di</strong>ante interpolazione me<strong>di</strong>ante tenuta (or<strong>di</strong>ne zero), e me<strong>di</strong>ante interpolazione<br />
linare (or<strong>di</strong>ne 1)<br />
2. Ottenere la funzione <strong>di</strong> autocorrelazione della serie aleatoria x[n] ottenuta per campionamento uniforme del processo<br />
aleatorio stazionario ed ergo<strong>di</strong>co xa(t) avente la seguente funzione <strong>di</strong> autocorrelazione:<br />
Rxa (τ) =Bσ 2 xa sinc(Bτ)+η2 xa<br />
Si calcolino, inoltre, la componente continua e la potenza <strong>di</strong> x[n].<br />
Discutere i due casi Ts Bnel dominio della frequenza.