Download dell'articolo in versione integrale - Accademia Nazionale ...

284 g. fichera
un funzionale f (u) definito in A di cui ϕ[u; α] sia la derivata nel senso di Volterra. Con ciò intendendo che
per ogni u(x) ∈Ae per ogni η(x) tale che u(x) +η(x) ∈A,siabbia
(2.8) f (u + η) − f (u) = ϕ[u; α]η(α)d α +0(δ)
C
ove è δ = maxα∈C |η(α)|.
Naturalmente si suppone che ϕ[u; α] sia per ogni u funzione continua di α in C , talché hasenso
l’integrale al secondo membro di (2.8).
È ovvio come la (2.8) sia ottenuta per passaggio dal finito all’infinito dalla (2.7).
La soluzione del problema posto si ottiene con un’ovvia trasposizione dello schema finito classico
sopra richiamato allo schema infinito funzionale. Si considera, infatti, una curva regolare chiusa Γ del
campo funzionale A di equazione u = u(x; s). Ciò significa che u(α;s) per ogni s ∈ [0;L] appartiene
ad A, riesce u(α; 0) ≡ u(α;L)eu(α;s) è funzione continua di s in [0;L] assieme a @u(α;s) . Inoltre
@s
@u(α;s)
C | |
@s
2 d α > 0 per ogni s ∈ [0;L]. Orbene, la condizione perché sussista la (2.8) è che per ogni Γ sia
(2.9)
ds ϕ[u(x; s); α]
Γ C
@u(α;s)
d α =0
@s
la quale si ottiene dalla (2.5) sostituendo l’operazione «finita»
α con quella «infinita» C :::dα. Inoltre,
soddisfatta la (2.9), ogni soluzione del problema si ottiene assumendo
(2.10) f (u) =f (u 0
)+
Λ(u0;u)
ds ϕ[v(x; s); α]
C
@v(α;s)
d α
@s
con ovvio significato da attribuire ai simboli impiegati (cfr. la (2.6)).
La (2.9) e la (2.10), oltre al loro valore concettuale, hanno anche notevole importanza in molti problemi
della Fisica matematica.
Il metodo di Volterra, per quanto suggestivo e ricco di notevoli risultati, ha però
confini ben precisi, che ne limitano il raggio d’azione e gli impediscono di entrare
nel vivo dei più importanti problemi dell’Analisi funzionale. Infatti, ottenere i risultati
dell’Analisi funzionale da quelli dell’Analisi infinitesimale classica con il passaggio dal
finito all’infinito, tacitamente presuppone il sussistere del seguente principio: Nulla può
accadere negli spazi di dimensione infinita che già non accada in quelli di dimensione finita.
Tale affermazione è ben lontana dalla realtà! In effetti, i più significativi e profondi
concetti e risultati, relativi agli spazi di dimensione infinita, quali, in genere, sono gli
spazi funzionali, non hanno un significativo riscontro in quelli di dimensione finita,
dato che gli uni e gli altri si appiattiscono su concetti e risultati che, passando dalla
dimensione finita a quella infinita, ammettono almeno due possibilità digeneralizzazione;
di esse il metodo di Volterra porta a considerare la più ovvia e, spesso, la meno
importante. Si pensi ai concetti, fondamentali nell’Analisi funzionale, di compattezza, di
totale continuità, diconvergenza debole, etc. che nella dimensione finita coincidono con
quelli di limitatezza e di chiusura, di continuità, di convergenza ordinaria, etc.
Non è inutile mostrare come il metodo di Volterra risulti inadeguato per poter studiare a fondo taluni
problemi fondamentali dell’Analisi. Ci riferiremo, come esempio, alla equazione integrale a limiti fissi di
seconda specie
1
(2.11) u(s) +λ K (s; t)u(t)dy = f (s) (0 ≤ s ≤ 1)
0
per la quale supponiamo che K (s; t) sia una funzione dello spazio L 2 [(0; 1) ×(0; 1)], sia f (s) ∈ L 2 (0; 1) e
l’incognita u(s) sia ricercata in L 2 (0; 1). Supporremo a valori complessi tutte le funzioni considerate; λ è