Download dell'articolo in versione integrale - Accademia Nazionale ...

282 g. fichera
introduce le funzioni che dipendono da altre funzioni. Successivamente, considerando il
grafico della funzione variabile indipendente, piuttosto che la funzione stessa, adopera la
locuzione funzioni di linea. Inseguito egli adotta, definitivamente, il termine funzionale
proposto da Jacques Hadamard (1865-1963).
Molti furono i problemi provenienti sia dalla Matematica pura che da quella applicata,
i quali condussero Volterra ad introdurre questo nuovo concetto nell’Analisi.
Ma fra essi, quelli che maggiormente giustificarono l’avvento di questa idea, più come
«scoperta» che come «invenzione», furono i problemi della eredità elastica o elettromagnetica,
come da lui poi esposti nella sua Monografia del 1913 Fonctions de lignes
[25], originata da un corso di lezioni tenuto alla Sorbona nel 1912.
È noto che, se Ω èunsolido elastico tridimensionale, considerato nella sua configurazione naturale, per
ogni sua deformazione originata da forze di massa, che agiscono sul corpo, e/o da forze superficiali (forze
applicate o reazioni vincolari), sussiste, nell’accezione classica della Teoria dell’elasticità, la cosiddetta legge
di Hooke, che stabilisce l’interdipendenza fra il tensore degli sforzi σ ≡{σ ij } (σ ij = σ ji ; i; j = 1; 2; 3) e
quello di deformazione ε ≡{ε ij } (ε ij = ε ji ), entrambi riferiti ad una stessa terna trirettangola levogira
(2.1) σ ij = a ijhk ε hk ;
aijhk èiltensore elastico del solido. Esso gode delle proprietàdisimmetria: aijhk = ahkij = ajihk . Tale tensore,
se il corpo è omogeneo, è costante in ogni punto di Ω. Sisuppone altresì che la forma quadratica nelle sei
componenti di deformazione aijhkεij εhk sia definita positiva.
La (2.1) fa dipendere lo sforzo attuale dalla deformazione attuale. Ma Volterra, seguendo Boltzmann
(1844-1906), notò che, in molti corpi elastici, nella relazione sforzo-deformazione interviene, in modo non
trascurabile, tutta la precedente «storia » del corpo, talchélosforzo attuale non può solo esprimersi mediante
la deformazione attuale come nella (2.1), ma deve anche dipendere da tutte le deformazioni cui il corpo fu
sottoposto negli istanti passati. La (2.1) va allora modificata al modo seguente:
(2.2) σij (t) =aijhkεhk (t) +Fij [ε t γ (τ)]
ove, detto γ l’istante nel quale si comincia a considerare il fenomeno, t quello attuale, Fij èunfunzionale
che dipende da tutti i valori che il tensore di deformazione ha assunto negli istanti τ che vanno da γ a t.
Circa la rappresentazione analitica di tale funzionale, Volterra, restando nell’ambito di una teoria lineare,
propone la forma seguente
(2.3) Fij [ε t γ (τ)] =
t
ψijhk (t; τ)εhk (τ)d τ
γ
ove ψijhk (t; τ)εhk (τ) èlamemoria che il solido conserva, all’istante t, della deformazione ε(τ) cui fu
sottoposto nell’istante passato τ. I coefficienti di memoria o ereditari ψijhk sono assoggettati alle seguenti
condizioni: ψijhk ≡ ψjihk ≡ ψijkh , oltre ad ulteriori proprietà qualitative dipendenti anche dalla circostanza
che sia γ = −∞oppure γ > −∞, caso questo che Volterra, quasi esclusivamente, considera. Mentre
nel caso classico (2.1) il problema consistente nel rappresentare ε mediante σ èunelementare problema
algebrico, nel caso ereditario (2.2), (2.3), per avere ε(t) intermini di σ(t) bisogna risolvere un sistema di
equazioni integrali, che oggi vengono chiamate del tipo di Volterra. Si vede facilmente che (2.2), (2.3)
possono scriversi sotto la forma seguente
t
(2.4) f (t) =u(t) + K (t; τ)u(τ)d τ
γ
dove f èilvettore termine noto ad n componenti (nel caso (2.2), (2.3) f (t) =σ(t) edn = 6), u il vettore
incognito e K (t; τ) una matrice n × n. La(2.4) èl’equazione integrale di Volterra di seconda specie, per la
quale Volterra, in ipotesi abbastanza generali per f (t)eK (t; τ)esupponendo γ > −∞, dimostrò l’esistenza
e l’unicità della soluzione u(t).