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304 g. fichera
fornire condizioni perché, data la trasformazione u ′ = T (u) fra Σ e Σ ′ ed ammesso che, fissato u ′
0 in Σ′ esista
u0 in Σ tale che T (u0 )=u ′
′
0 , possa affermarsi che esiste tutto un intorno I 0 di u′ 0 in Σ′ ed un intorno I0 di
u0 tali che, per ogni u ′ ∈ I ′
0 , esiste un solo u ∈ I0 tale che T (u) =u′ .Intal caso si ha la invertibilità locale
nell’intorno di u0 della trasformazione T .Siricercano poi condizioni atte ad assicurare che la invertibilità
locale di T implichi la sua invertibilità globale o in grande, cioè l’esistenza di un unico u in Σ tale che
T (u) =u ′ comunque si sia fissato u ′ in Σ ′ . Ad esempio, se u ′ = T (u) è una trasformazione di classe C ′
di un campo Σ di Rn ,suuncampo Σ ′ di Rn essa, com’è ben noto, è localmente invertibile nell’intorno
di u0 se il determinante jacobiano det[@T=@u] u = u0 è non nullo. In generale, tale T , anche se localmente
invertibile nell’intorno di ogni u0 ∈ Σ, non lo èingrande. Questo peròsiverifica, per un classico teorema
di Hadamard, se Σ ′ èaconnessione lineare semplice, se, cioè, due curve che uniscono due qualsiansi punti
u ′
0 e v′ 0 di Σ′ sono omotopiche su Σ ′ (cioè l’una si riduce all’altra con una deformazione continua che non
fa mai uscire la curva deformata da Σ ′ ). Questo teorema di Hadamard si estende a spazi assai più generali
di R n , assieme ad altri criteri che fanno seguire l’invertibilità globale di una trasformazione T da quella
locale. 3) Metodi di esistenza del punto unito. Supposto Σ ′ = Σ e considerata la trasformazione T di Σ in
se stesso, si cerca di dare dei criteri perché esista un punto unito (o fisso) diT , cioè unpunto u tale che
u = T (u). Questo avviene se, supposto Σ uno spazio metrico, si ha per ogni coppia u e v di punti di Σ
distanza (Tu; Tv) ≤ q distanza (u; v) con q indipendente da u; v e0≤ q1) la
varietà lineare V costituita dai δdu (in senso debole) di funzioni u ∈ C 0 (S) efece vedere che V coincide
con quella delle funzioni di L p (S) ortogonali alla costante. Dopo aver constatato che V è una varietà chiusa
di L p (S), usando il classico teorema di Hahn-Banach, dimostrò, infatti, che gli unici funzionali lineari e
continui in L p (S) nulli su V e non identicamente nulli, sono quelli che esprimono l’ortogonalitàdiδdu alla
costante. Riuscì inquesto intento dimostrando, preventivamente, che se una misura, definita sui boreliani
di un aperto Ω del piano, è tale che
∆2udα =0
Ω
per ogni u di C 2 (Ω) con supporto in Ω, allora α è assolutamente continua ed ha per densità una funzione
armonica in Ω. Questo lemma, del 1934, che, quasi contemporaneamente a Caccioppoli, veniva, in ipotesi
lievemente differenti, dimostrato in U.R.S.S. anche da S.L. Sobolev, fu, nel 1940, riscoperto da H. Weyl
che, tramite esso, provò laregolarità all’interno della soluzione del problema di Dirichlet (6.1), (6.2) (con
g = 0), ottenuta con il suo metodo della proiezione. Oggi esso è, ingiustamente, indicato nella letteratura
come lemma di Weyl.