Download dell'articolo in versione integrale - Accademia Nazionale ...

l’analisi matematica in italia fra le due guerre 303
Ma non soltanto alle equazioni di tipo misto ed all’Aerodinamica transonica Tricomi
ha lasciato legato il suo nome. Nel 1926, durante una ricerca relativa al potenziale elettrico
nello spazio a tre dimensioni, creato da una carica distribuita su una lamina piana,
egli s’imbattè inun’equazione integrale bi-dimensionale con nucleo non sommabile ma,
soltanto, ad integrale convergente. Lo studio di questa equazione lo condusse ad affrontare
ed a risolvere il problema dell’inversione di due integrazioni doppie singolari nel
senso di Cauchy, scoprendo una formula che generalizza al caso bi-dimensionale quella
che per il ben più semplice problema uni-dimensionale era stata da tempo scoperta da
Poincaré eda Bertrand (1822-1900). L’analisi di Tricomi portò, in seguito, S.G. Mikhlin
(1908-1990) e G. Giraud (1889-1943) ad introdurre il concetto di simbolo per un
operatore integrale singolare pluri-dimensionale, aprendo così lavia alla moderna Teoria
degli operatori pseudo-differenziali.
Tricomi coltivò con successo molti altri campi dell’Analisi matematica classica, che
sarebbe qui troppo lungo elencare. Non possono, tuttavia, tacersi i suoi contributi
alla Teoria delle funzioni speciali, nella quale egli divenne una vera autorità incampo
internazionale con la pubblicazione di una fondamentale Monografia (Tricomi, 1954)
e con la partecipazione al Bateman Project che, condotto a termine assieme ad altri tre
specialisti nella materia, portò alla pubblicazione, negli U.S.A., di quattro volumi, vera
enciclopedia delle funzioni speciali e delle trasformazioni integrali classiche. Tricomi fu
anche trattatista di grande successo e sui suoi libri, tradotti in molte lingue, si sono
formate intere generazioni di matematici applicati.
8. L’Analisi funzionale in Italia fra le due guerre. Renato Caccioppoli. Luigi Fantappiè
Renato Caccioppoli (1904-1959), dopo Volterra e dopo le ricerche, rimaste purtroppo
isolate, di Pia Nalli, fu il primo a sistematicamente studiare in Italia i grandi
problemi dell’Analisi funzionale, specie non lineare, cercandone l’applicazione ai problemi
insoluti dell’Analisi classica, riguardanti le equazioni integrali e, specialmente,
differenziali non lineari. Questi studi avevano ricevuto una formidabile spinta in Polonia
con l’opera di J. Schauder (1899-1943) ed in Francia con quella di J. Leray. I
metodi che questi autori proposero sono fondati sull’estensione agli spazi funzionali di
procedimenti di natura geometrica, ben noti negli ordinari spazi di dimensione finita e
spesso fondati su argomentazioni di carattere topologico. Caccioppoli contribuì notevolmente,
talvolta con autentica genialità, allo sviluppo di tali metodi ed all’applicazione
di essi ai sopraddetti problemi di Analisi classica (Caccioppoli, 1963) [6, vol. II].
È impossibile cercare di descrivere in breve spazio in che cosa consistano i procedimenti generali di
Analisi funzionale impiegati nello studio dei problemi non lineari. Sintetizzando al massimo, può dirsi
che essi sono di tre tipi diversi. 1) Metodi di prolungamento. Questi considerano una trasformazione
funzionale u ′ = T (u; λ) fra due spazi astratti Σ e Σ ′ dotati di una struttura topologica o metrica. Si assume
u ∈ Σ e u ′ ∈ Σ ′ ; λ èunparametro, reale o complesso, dal quale dipende T . Si supponga che per
λ = λ 0 , fissato u ′ in Σ ′ (o in un sottoinsieme di Σ ′ ), esista la soluzione u dell’equazione T (u; λ 0 )=u ′ .Il
metodo consiste nel ricercare le opportune condizioni per l’esistenza di un ρ > 0 tale che per |λ − λ 0 | < ρ
l’equazione T (u; λ)=u ′ sia sempre dotata di una soluzione u. Il caso più semplice è quello in cui T
dipende analiticamente da λ. 2) Metodi di invertibilità diuna trasformazione. Questi metodi tendono a