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l’analisi matematica in italia fra le due guerre 299
Si tratta di dimostrare: 1) la convergenza del metodo; 2) la possibilitàdimaggiorare l’errore di approssimazione.
Indicato con µ (p)
n il minimo dato da (6.3), l’espletamento del punto 1) richiede, almeno in prima
istanza, la dimostrazione del fatto che limn→∞ µ (p)
n =0. Ciòporta a dovere dimostrare la completezza del
sistema di vettori (∆2ϕk | Ω ; ϕk | @Ω ) nello spazio L p (Ω) × L p (@Ω). Assunto p>1, per un classico teorema
di F. Riesz, occorre e basta far vedere che, se ψ ∈ L p (Ω), γ ∈ L q (Ω), q = p=(p − 1)
ψ∆2ϕk dx + γϕk d σ =0 ’k;
Ω
@Ω
si ha allora ψ ≡ 0, γ ≡ 0.
Questo condusse Picone ad essere fra i primissimi ad, implicitamente, considerare le «soluzioni deboli»
dei problemi al contorno. In effetti, si consideri la soluzione debole L q delle equazioni ∆2ψ =0inΩ, ψ =0
su @Ω, @ψ=@ν = γ su @Ω (ν normale esterna a @Ω) definita dall’equazione
ψ∆2ϕ dx + γϕd σ =0; ’ϕ∈C 2 (Ω) :
Ω
@Ω
Non è difficile dimostrare che, impiegando come ϕk le funzioni generalmente usate nella teoria dell’approssimazione
(ad esempio, assumendo come {ϕk } il sistema di tutti i monomi nelle variabili x1 ;::: ;xn oil
sistema impiegato nella teoria delle serie multiple trigonometriche), la detta completezza è perfettamente
equivalente a dimostrare il teorema di unicità, nella classe delle predette soluzioni deboli L q , per il problema
di Dirichlet: ∆2ψ =0inΩ, ψ =0su@Ω.
Per ancor meglio comprendere la portata del problema, si consideri il caso particolare f ≡ 0esiassuma
come {ϕk } una successione {ωk } costituita da polinomi armonici omogenei atti a generare, mediante
combinazione lineare di un numero finito dei suoi termini, ogni polinomio armonico. Ad esempio, per
n =2,come {ωk } può prendersi la successione costituita da tutti i polinomi in x1 , x2 del tipo R(x1 + ix2 ) h ,
I(x1 + ix2 ) h (h =0; 1; 2;:::). In tal caso, se Ω èildisco |x| < 1, il problema si riduce a quello, classico
nella teoria delle serie trigonometriche, relativo alla completezza del sistema trigonometrico costituito da
cos hθ, sin hθ (h =0; 1; 2 :::) nello spazio L p (0; 2π). Si noti che per p = 2lecostanti c (n)
1 ;::: ;c(n) n che
forniscono µ (p)
n non possono più calcolarsi risolvendo un sistema lineare algebrico. Addirittura per p =1
manca l’unicità delle costanti c (n)
k di migliore approssimazione.
La condizione (6.2) può sostituirsi con quella di Neumann @u=@ν = h su @Ω o con quella «mista» u = h1 su @1Ω, @u=@ν = h2 su @2Ω; @Ω = @1Ω ∪ @2Ω, @1Ω ∩ @2Ω = ∅. Tali sostituzioni, specie la seconda, portano
ad affrontare problemi ancora più difficili. È anche da notare, assumendo p =2,che il metodo proposto
incontra, in genere, l’inconveniente costituito dal progressivo «mal condizionamento» del sistema (6.4). A
tale inconveniente si è posto, in parte, rimedio, in tempi posteriori a quelli di Picone, impiegando come ϕk quelle particolari funzioni che hanno dato luogo ai cosiddetti metodi degli elementi finiti.
La «convergenza» del metodo descritto si consegue facendo vedere la convergenza a zero dell’errore di
approssimazione, errore che bisogna convenire di definire in qualche modo. Si definisca tale «errore» al modo
seguente
ε (p)
n =
n
u
− c
Ω k = 1
(n)
k ϕ
p
k
dx :
Si tratta allora di dimostrare che esiste una costante c (p) , dipendente solo da p (e da Ω), tale che ε (p)
n ≤ c(p) µ (p)
n .
Non è difficile provare l’esistenza di tale costante, ma tutt’altro che semplice èilsuo calcolo esplicito, dato
che esso consiste, se si ricerca la costante c (p) ottimale, nel calcolo del massimo del funzionale
Ω |u|pdx nella
classe delle funzioni che verificano la condizione
|∆2u| Ω
p
dx + |u|
@Ω
p d σ =1:
Già nel caso più semplice p =2,sidimostra che c (2) è l’inverso del più piccolo autovalore λ del problema di
autovalori relativo al seguente sistema:
(6:5) ∆2∆2v − λv =0inΩ; (6:6) ∆2v − λ @v =0su@Ω :
@ν