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l’analisi matematica in italia fra le due guerre 295
Supponiamo che la F (u) sia soltanto semi-continua inferiormente in U , con ciò intendendo che per ogni
{u n } convergente ad un punto u di U sia
F (u) ≤ minlim
n→∞ F (un ) :
Può allora ripetersi il ragionamento dianzi fatto, nell’ipotesi che esista una successione minimizzante {un }
la quale sia compatta, avendosi ora
F (u0 ) ≤ minlim F (unk )= lim
k→∞
n→∞ F (un )= inf F (u) :
u∈U
E questa, ancora, dimostra l’esistenza del punto di minimo u0 di F (u) inU (R. Baire).
Tonelli considera il funzionale F (u) dato da (5.1) supponendo f (x; u; u ′ ) definita per (x; u) ∈ Ω (Ω
campo del piano) e per ogni valore reale di u ′ . Egli considera il funzionale (5.1) in classi U di funzioni
u = u(x) che sono assolutamente continue in [a; b] eper le quali f [x; u(x);u ′ (x)] è integrabile secondo
Lebesgue in [a; b]. Introduce in U quale convergenza la convergenza uniforme di successioni di siffatte
funzioni in [a; b]. Egli dimostra, in opportune ipotesi qualitative per f (x; u; u ′ ), che per la semicontinuità
inferiore su ogni u(x) ∈ U è sufficiente e, fatte le opportune precisazioni, anche necessario che f (x; u; u ′ )
sia, per ogni (x; u) ∈ Ω, funzione convessa di u ′ . Soddisfatta la ipotesi di convessità predetta, Tonelli
dimostra che si ha l’esistenza del minimo di F (u) inU se la classe U è completa (con ovvio significato da
attribuire a questo termine) e se per ogni (x; u) ∈ Ω
(5.2) lim
|u ′
f (x; u; u
|→∞
′ )
u ′
=+ ∞ :
L’esistenza del minimo si acquisisce facendo vedere che la (5.2) implica la compattezza di ogni successione
minimizzante F (u)inU .La(5.2) è verificata se riesce
f (x; u; u ′ ) ≥ c 0 |u ′ | 1 + α + c 1 c 0 > 0; α > 0 ;
nel qual caso si vede subito che una successione minimizzante {un } è tale che
(5.3)
|u
A
′
n |1 + α dx < L
con L indipendente da n. Ciò, per un classico teorema di Giulio Ascoli (1843-1896) e Cesare Arzelà, implica
la compattezza di {un },selasuccessione {un (x0 )} è limitata (x0 ∈ [a; b]).
Sia ora x ≡ (x1 ;x2 ), u una funzione reale di x1 e x2 e u ′ ≡ (ux1 ;ux2 ). Sia A un campo di
R 2 . Con tale nuovo significato dei simboli si riconsideri il funzionale (5.1), dove è ora dx = dx1dx2 e l’integrale a secondo membro èunintegrale doppio. Le funzioni ammissibili sono quelle assolutamente
continue rispetto alle due variabili x1 e x2 in un senso che Tonelli stesso ha introdotto per le funzioni
di più variabili. La teoria di Tonelli si estende facilmente fino alla dimostrazione della semicontinuità
diF (u). Ma purtroppo, condizioni quali la (5.3) non sono più ingrado di assicurare la compattezza
di una successione minimizzante. Esempio tipico, di particolare interesse, è quello del classico
funzionale
D(u) = |u
A
′ | 2
dx = (u
A
2 x + u
1 2 x )dx
2 1 dx2 :
In tal caso è verificata la condizione (5.3), ma la (5.3) non èpiùingrado di assicurare la compattezza di una
successione minimizzante. Tonelli cercò diaggirare questa grave difficoltà con ingegnosi artifici, ma il suo
metodo, applicato agli integrali multipli, perdeva vigore ed efficacia.
La difficoltà venne superata in seguito da C.B. Morrey (1907-1984) che, al principio degli anni ’40,
introdusse nel Calcolo delle variazioni un concetto di convergenza più appropriato e precisamente la convergenza
debole negli spazi di Sobolev W 1
1 + α (A), relativamente alla quale il sussistere della (5.3) (assieme ad
ipotesi, in genere verificate, atte ad assicurare la equilimitatezza di
A |un |1 + α dx) èingrado di garantire la
compattezza di {un }.