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294 g. fichera
consistente nel caratterizzare le superficie in forma parametrica che hanno area finita
secondo Lebesgue.
Tonelli, dopo aver studiato gli integrali semplici in forma parametrica, intraprese lo
studio di quelli in forma ordinaria e successivamente si occupò degli integrali doppi
in forma ordinaria. Egli si accorse che, in generale, non può pervenirsi all’esistenza
del minimo usando la continuità del funzionale. Questa è presente solo in un caso
particolarissimo.
Si consideri, infatti, l’integrale in forma ordinaria
(5.1) F (u) = f (x; u; u
A
′ )dx ;
dove con A si indica l’intervallo [a; b] dell’asse reale. Sotto opportune, peraltro assai generali, ipotesi, è
condizione necessaria e sufficiente per la continuitàdiesso rispetto alla convergenza uniforme delle funzioni
ammissibili u(x), la linearità dif (x; u; u ′ ) rispetto ad u ′ : f (x; u; u ′ ) ≡ P(x; u)u ′ + Q(x; u) (Tonelli,
1921) [21, pp. 382 e 389].
Tonelli, riprendendo un’idea di René Baire (1874-1932), relativa alle funzioni di n
variabili reali, cercò didimostrare la semi-continuità inferiore del funzionale. Mentre nel
caso di funzioni di n variabili reali l’idea di Baire non è nulla di più che una curiosità,
nel caso di funzionali quali (5.1), il concetto di semi-continuità sirivelò essenziale. Tonelli
scoperse infatti che certe condizioni del Calcolo delle variazioni classico, necessarie
per l’esistenza di un minimo locale, in una data classe funzionale U , opportunamente
trasportate nel contesto analitico in cui egli si muoveva, e supposte valide per ogni funzione
di U , erano necessarie ed anche sufficienti per la semi-continuità inferiore di un
funzionale quale (5.1) (Tonelli, 1921) [21]. Il teorema di esistenza del minimo era così
ricondotto a riconoscere la compattezza di una successione minimizzante (Tonelli, 1923)
[21]. L’espletamento di tale compito presentava un diverso grado di difficoltà passando
dagli integrali semplici a quelli doppi. Mentre, nel caso unidimensionale, le proprietà
di crescenza di f (x; u; u ′ ) rispetto ad u ′ , finivano con l’assicurare la compattezza suddetta,
non si verificava più tale fatto per gli integrali doppi. Da ciò ilminore successo
dell’approccio di Tonelli, passando da una a due dimensioni.
Riteniamo opportuno guardare piùindettaglio la teoria di Tonelli, per meglio comprenderne la portata
ed i limiti. Consideriamo a tal fine un insieme astratto U nel quale sia stato dato senso al concetto di
convergenza di una successione di suoi punti {un } e definito il limite (unico) di {un } : limn→∞ un = u, con u
elemento di U . Sia F (u) una funzione reale definita e continua in U , cioè tale che per ogni {un } convergente
verso u sia limn→∞ F (un )=F (u). Sia {un } una successione minimizzante F (u) in U , cioè tale che
lim
n→∞ F (un )= inf F (u) :
u∈U
Supponiamo che {un } contenga una sottosuccessione convergente {unk } e sia u0 il punto di U limite di
{unk }.La{un } sia, cioè, compatta rispetto alla convergenza delle successioni di U .Sihaallora
F (u0 )= lim F (unk )= lim
k→∞
n→∞ F (un )= inf F (u) ;
u∈U
che dimostra l’esistenza del punto u 0 di U nel quale la F (u) assume il suo valore minimo. È questo il
classico ragionamento che aveva fatto Weierstrass per dimostrare l’esistenza del minimo di una funzione
F (u) continua in un insieme chiuso e limitato di R n .