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Ma non è questa la sede per tentare di dar risposta a questi interrogativi. Vogliamo
solo notare che i geometri differenzialisti italiani, che operarono fra le due guerre,
finirono con il perdere i contatti con i grandiosi sviluppi che all’estero la Geometria
differenziale andava ricevendo. Si verificò questo per gli importanti problemi connessi
ai nuovi concetti di varietà differenziabile astratta, come i problemi di immersione
di questa in altre varietà ed, in particolare, negli spazi euclidei, l’immersione essendo
intesa in grande; problemi che hanno dato luogo a profonde ricerche, specie quando
all’immersione si impone di essere analitica oppure isometrica. I problemi connessi alle
relazioni che intercorrono fra le proprietà differenziali locali, quali quelle di curvatura,
e le proprietà topologiche. I legami fra le proprietà topologiche delle varietà e lo
studio variazionale delle funzioni definite su di esse. L’impiego dell’Algebra omologica
nell’analisi dei problemi connessi alle varietà differenziabili. Sono, tutti questi, temi
che prepotentemente si andavano sviluppando all’estero, dando luogo al sorgere della
«Geometria differenziale in grande», ma che rimasero ignorati in Italia nel periodo fra
le due guerre.
Incidentalmente, èdanotare che analoga sorte toccò alla Geometria algebrica italiana
che, prima del conflitto del ’14-’18, aveva raggiunto vette altissime. Esauritesi le
possibilità che i metodi escogitati dai grandi geometri algebrici italiani, primi fra tutti,
Castelnuovo, Enriques e Severi, erano in grado di fornire, la Geometria algebrica in
Italia non seppe rinnovarsi e rimase estranea, fra le due guerre, agli importanti sviluppi
algebrico-topologici che essa, invece, riceveva all’estero.
Tornando a Fubini, deve dirsi che la Geometria differenziale fu soltanto uno, anche
se forse il più cospicuo, dei suoi campi di ricerca. Dotato di cultura prodigiosamente
vasta, ebbe interessi matematici amplissimi ed egli fu certamente uno degli ultimi «matematici
universali» nella storia della Matematica. Lasciò contributi nella Teoria dei gruppi
discontinui e delle funzioni automorfe, nel Calcolo delle variazioni, nella Teoria delle
equazioni differenziali ed in quella delle equazioni integrali, nella Teoria dell’integrale e
delle variabili reali, nella Teoria delle funzioni olomorfe di più variabili complesse, nella
Fisica matematica, nella Teoria dell’elasticità edell’elettromagnetismo, nella risoluzione
dei problemi della Balistica.
Non possiamo qui ricordare i molti risultati da lui ottenuti in tanti campi diversi. Ma non possiamo far
a meno di richiamare quello che, forse, èilrisultato per il quale egli è maggiormente ricordato, costituito
dal teorema il quale afferma che ogni integrale doppio di una funzione f (x; y) integrabile in R2 , nel
senso di Lebesgue, può ottenersi mediante due successive integrazioni semplici: la prima eseguita, per
quasi tutti gli x di R, rispetto ad y ed estesa a R elaseconda (rispetto ad x ed estesa a R) sull’integrale
ottenuto:
R2
f (x; y)dx dy = dx f (x; y)dy :
R R
Le integrazioni semplici essendo sempre da intendersi nel senso di Lebesgue.
5. Il metodo diretto nel Calcolo delle variazioni. Leonida Tonelli
Le idee che Leonardo Eulero aveva sistematicamente impiegato nel Calcolo delle
variazioni e che Giuseppe Lagrange, creando la Meccanica analitica, aveva ripreso, ri-