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290 g. fichera
In essa µ h e ϕh sono gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore S; m e M l’estremo inferiore e quello
superiore dello spettro di S (necessariamente reale); le {fk (s; λ)} un opportuno sistema di autosoluzioni
differenziali dell’operatore S, cioè difunzioni tali che
λ
Sfk (s; λ) = µ dfk (s; µ) :
0
Le ρk (λ) sono ben determinate funzioni non decrescenti di λ. Gli integrali sotto
k sono integrali
nel senso di Hellinger. Le sommatorie
h e k contengono, ciascuna, un numero finito o un’infinità
numerabile di termini.
Tale decomposizione spettrale di S è diversa da quella ottenibile usando la funzione spettrale Eλ di S
M
(3.2) S = λ dEλ m
di impiego assai più comune. È comunque possibile mettere in relazione la (3.1) con la (3.2) (Smirnov,
1964) [20, pp. 443-460].
Questa, come le successive ricerche di Pia Nalli su questo argomento, rimase pressoché
ignorata in Italia, dove i metodi dell’Analisi funzionale, sviluppati all’estero, cominciarono
ad essere conosciuti ed impiegati solo molto dopo, con l’opera di Renato
Caccioppoli (1904-1959), prima, e con i corsi di lezioni tenuti da Mauro Picone (1885-
1977), poi.
4. La Geometria differenziale in Italia nel periodo fra le due guerre. Guido Fubini
Come già siè detto, alla fine del secolo scorso ed all’inizio del presente, la Geometria
differenziale non era distinta dall’Analisi matematica ed i suoi maggiori cultori furono
anche grandi analisti o, addirittura, come nel caso di Levi-Civita, eminenti scienziati nel
campo della Meccanica e della Fisica matematica. Un’ulteriore riprova di questa affermazione
è costituita dal fatto che in Italia il maggiore cultore di Geometria differenziale
durante le due guerre fu un analista: Guido Fubini (1879-1943).
La Geometria differenziale aveva raggiunto in Italia vertici altissimi grazie ai risultati
di Eugenio Beltrami, all’opera monumentale di Luigi Bianchi ed alla grande scoperta
di Tullio Levi-Civita relativa al concetto di trasporto per parallelismo. Il Levi-Civita era
allievo di Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925), inventore del calcolo differenziale assoluto,
lacui importanza, sottovalutata al suo sorgere, doveva rivelarsi appieno allorché
divenne lo strumento matematico insostituibile nella Teoria della relatività. Levi-Civita
collaborò con il suo Maestro Ricci-Curbastro nello sviluppare questa nuova teoria, ma la
sua acquisizione principale in questo campo doveva essere, appunto, l’introduzione del
trasporto per parallelismo in una varietà riemanniana di dimensione n. Ditale scoperta
così scrive Albert Einstein (1879-1955) nella relazione con la quale, nel 1929, propose
Levi-Civita quale Socio dell’Accademia delle Scienze di Berlino: « ::: (Levi-Civita) con
la concezione del trasporto per parallelismo ha creato uno strumento altamente significativo per
approfondire la teoria del continuo n-dimensionale. Non soltanto questa concezione ha portato
ad una meravigliosa semplificazione della teoria riemanniana della curvatura, ma, soprattutto,
ha anche originato generalizzazioni della geometria, l’importanza teorica delle quali è stata riconosciuta
e l’importanza fisica non può esserne ancora valutata. Gli sforzi di Weyl e di Eddington