Економіко-математичне моделювання

Розділ 3. Теорія двоїстості та кількісний аналіз
оптимізаційних розрахунків
3.1. Двоїстість у задачах лінійного програмування:
правила побудови двоїстих задач та їх основні класи
Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста, яка
формується за допомогою певних правил безпосередньо з умов
прямої задачі. Нехай задача лінійного програмування має вигляд:
... (max) ,
c x c x c c Z + + + + = (3.1)
0 1 1 2 2
n n x
⎧a11x1
+ a12x
2 + ... + a1n
xn
≤ b1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x
2 + ... + a2n
xn
≤ b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
⎪am1x1
+ am2
x2
+ ... + amnx
n ≤ bm
,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
98
(3.2)
Побудова двоїстої задачі лінійного програмування здійснюється
за такими правилами:
1. Кожному основному обмеженню початкової задачі ставимо у
відповідність двоїсту змінну: першому обмеженню – у1, другому –
у2, ..., m-му – уm. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює
кількості основних обмежень прямої задачі лінійного програмування:
⎧a11x1
+ a12x2
+ ... + a1n
xn
≤ b1
⎪
⎪a21x1
+ a22x2
+ ... + a2n
xn
≤ b2
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ..
⎪am1x1
+ am2x
2 + ... + amnxn
≤ b
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
2. Якщо цільова функція початкової задачі досліджується на
максимум, то двоїстої – на мінімум, і навпаки.
3. Щоб записати цільову функцію двоїстої задачі, потрібно праві
частини основних обмежень початкової задачі почленно
перемножити на двоїсті змінні, що відповідають кожному з цих
обмежень і додати. Отже, коефіцієнтами при невідомих в цільовій
m
y
y
...
y
1
2
m