Економіко-математичне моделювання

⎧a11x1
+ a12x
2 + ... + a1n
xn
= b1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x
2 + ... + a2n
xn
= b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
⎪am1x1
+ am2
x2
+ ... + amnx
n = bm
,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n.
81
(2.22)
Нехай всі праві частини обмежень додатні ( b ≥ 0 , i = 1,
m ).
i
Цього завжди можна досягнути, помноживши рівняння з від’ємним
вільним членом на (–1).
Формально до лівих частин обмежень додамо по одній
невідомій wj ( w j ≥ 0, j = 1,
m.
), які будемо називати штучними, а
базис, утворений з цих невідомих – штучним базисом. В результаті
система обмежень матиме вигляд:
⎧a11x1
+ a12x
2 + ... + a1n
xn
+ w1
= b1,
⎪
⎪a21x1
+ a22x
2 + ... + a2n
xn
+ w2
= b2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ......
(2.23)
⎪am1x1
+ am2
x2
+ ... + amnx
n + wm
= bm
,
⎪
⎪
⎩x
j ≥ 0,
j = 1,
n;
wi
≥ 0,
i = 1,
m.
До цієї системи обмежень додамо штучну оптимізуючу форму:
f = w1 + w2 +... + wm (min). (2.24)
Задача (2.24)-(2.23) є задачею лінійного програмування, що
записана у майже канонічній формі. Залишається виразити базисні
невідомі wі через вільні з системи обмежень і підставити їх в штучну
оптимізуючу форму (2.24).
Система обмежень (2.23) називається сумісною в області
невід’ємних значень, якщо вона має хоча б один допустимий
розв’язок.
Сформулюємо теорему.
Теорема. Для того, щоб система обмежень була сумісною в
області невід’ємних значень, необхідно і достатньо, щоб на
розв’язках системи обмежень (2.23)
fmin = 0. (2.25)
Наслідок. Якщо оптимальний план задачі (2.24)-(2.23) містить
хоча б одну штучну невідому wі, то початкова задача не має