Економіко-математичне моделювання

тільки наперед визначені змінні, а елементи матриці i
ˆY «наперед
визначені» через (18.42). При цьому значення регресій y i більше не
корелюють із залишками ei. Таким чином, вираз (18.43) є рівнянням
множинної регресії, для якого виконуються передумови регресійного
аналізу. Невідомі параметри регресії ai та bi можуть бути оцінені з
допомогою МНК.
Процедура дворазового використання МНК може бути
представлена у вигляді однієї формули. Для цього необхідно
побудувати систему нормальних рівнянь для рівняння регресій
(18.43).
Покладемо:
Zi = ( YX ˆ
i i)
та di
тоді (18.43) прийме вигляд:
⎡bi ⎤
= ⎢
a
⎥ , (18.44)
⎣ i ⎦
yi = Zidi + ei.
(18.45)
Звідси одержимо таку систему нормальних рівнянь:
Z′ iZd i i = Zy ′ i i.
(18.46)
Далі підставимо (18.44) в (18.46), як результат, маємо:
⎡YY ˆˆ ′ i i
⎢
ˆ
⎣⎢XY ′ i i
Yˆ′ ˆ
iX ⎤ i ⎡bi⎤ ⎡Yy ′ ⎤ i i
⎥× ⎢
X a
⎥ = ⎢ ⎥ . (18.47)
′ iXi⎦⎥ ⎣ i ⎦ ⎣Xy ′ i i⎦
Враховуючи (18.42) отримаємо наступне рівняння для
знаходження оцінок ДМНК:
−1 −1
−1
i ′ i ( ′ ) ′ ′ ′ i i I i ( ′ ) ′ i
⎡b⎤ ⎡YX XX XY YX ⎤ ⎡YX XX Xy⎤
⎢
a
⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥.
(18.48)
⎣ i ⎦ ⎢⎣ XY ′ i i X′ iXi ⎥⎦ ⎢⎣ X′ iyi ⎥⎦
Формула (18.48) є результативною формулою використання
ДМНК до і-го структурного рівняння. Як бачимо, матриця значень
регресій i
ˆY , знайдена на першому етапі використання даного методу,
не міститься в (18.48) в відкритому вигляді. В окреслену формулу
входять матриці та вектори спостережень. Перевага двокрокового
методу полягає, по-перше, в тому, що його можна використати до
надідентифікованих рівнянь, і, по-друге, в тому, що не розглянуті
нами структурні рівняння моделі не повинні бути точно
специфіковані. Зрозуміло, що повинні бути відомими всі наперед
визначені змінні моделі і вказані результати спостережень над ними.
Недолік методу полягає в тому, що в оцінках містяться не залишки іго
структурного рівняння – ui, а залишки рівняння, отриманого на
другому етапі – ei.
621