Економіко-математичне моделювання

4) Будуємо вектор нормалі N →
, початок якого знаходиться в точці
(0,0), а кінець в точці ( , ) 1 2 c c (коефіцієнти при невідомих в цільовій
функції). Вектор нормалі вказує напрямок зростання функції.
5) Перпендикулярно до вектора нормалі будуємо лінію рівнів
c x + c x = const . Для зручності знаходження оптимальних точок лінію
1 1 2 2
рівнів будуємо так, щоб вона мала спільні точки з многокутником
розв’язків (перетинала многокутник розв’язків).
6) Визначаємо оптимальні точки. Для цього лінію рівнів
паралельно переносимо в напрямку вектора нормалі. Остання вершина
многокутника, яку перетне лінія рівнів, буде точкою максимуму. Потім
лінію рівнів паралельно переносимо в напрямку, протилежному
напрямку вектора нормалі. Остання вершина многокутника розв’язків,
яку перетне лінія рівнів в цьому випадку, є точкою мінімуму.
7) Знаходимо найбільше та найменше значення функції Z. Для
цього підставимо координати оптимальних точок, знайдених шляхом
розв’язування систем рівнянь граничних прямих (перетином яких є
оптимальна точка), в цільову функцію.
Приклад 2.2. Графічним методом розв’язати задачу лінійного
програмування:
Z = 3x1 + 7x2
− 5 ( extr)
,
⎧4x1
− 3x2
≤ 12,
⎪
10x
⎪ 1 + 13x2
≤ 130,
⎪−
6x1
+ 8x2
≤ 48,
⎪
⎨2x1
+ 5x2
≥ 10,
⎪4x1
− x2
≥ 0,
⎪
⎪x1
≥ 0,
⎪
⎩x2
≥ 0.
♦Розв’язування.
Будуємо граничні прямі, що відповідають нерівностям системи
обмежень задачі (кожне обмеження розглядаємо як рівняння). Для
побудови довільної прямої нам потрібно дві точки. Якщо права частина
рівняння не дорівнює нулю, то для простоти знаходження координат
двох точок, через які проходить гранична пряма (наприклад L1), беремо
спочатку x1=0 і знаходимо x2: 4·0–3х2=12, звідси –3х2=12, а значить
х2=–4. Ми маємо координати однієї точки (0, –4). Потім беремо х2=0 і
знаходимо х1: 4х1–3·0=12, звідси 4х1=12, а значить х1=3. Отже,
62