Економіко-математичне моделювання

More documents

Recommendations

Info

Передумова 6. Збурені змінні в різних структурних рівняннях не автокорельовані: M uu = ,i = ,k, τ≠ ,t = ,T. (18.19) ( it i,t −τ ) 0 1 0 1 Передумова 7. Поточні значення збурень стохастично незалежні від наперед визначених змінних. Передумова діє для фіксованого моменту часу t. Завдяки цьому твердженню значення лагових ендогенних змінних не корелюють із збуреними змінними. Передумова 8. Збурення стохастично незалежні від екзогенних змінних для будь-якого моменту часу. Передумова 9. Екзогенні змінні не корелюють між собою, тобто між екзогенними змінними відсутня мультиколінеарність. 18.5. Непрямий метод найменших квадратів МНК можна використовувати до системи одночасних рівнянь, які повністю чи тільки частково ідентифіковані. Проте цей метод не може безпосередньо використовуватися при оцінюванні параметрів структурних рівнянь, оскільки вони не враховують одночасних співвідношень між сумісно залежними змінними. Модель спочатку представляється в прогнозній (приведеній) формі. Це можливо завдяки припущенню відносно повноти моделі. Використовуючи МНК до кожного отриманого рівняння, оцінюються всі параметри (коефіцієнти) системи в прогнозній формі. Оскільки за припущенням усі структурні рівняння точно ідентифіковані, на наступному етапі одночасно визначаються структурні коефіцієнти на основі коефіцієнтів прогнозних рівнянь. Отже, структурні коефіцієнти оцінюються посередньо через оцінки параметрів прогнозної моделі, і тому ця процедура має назву непрямого (посереднього) методу найменших квадратів (НМНК). Якщо виконуються передумови побудови економетричних моделей, то оцінки, знайдені з допомогою НМНК, обґрунтовані. Метод неможливо застосувати, якщо модель складається з надідентифікованих структурних рівнянь, оскільки при цьому структурні коефіцієнти не можуть бути однозначно визначеними за коефіцієнтами прогнозних рівнянь. Це і є основним недоліком НМНК, так як практично в усіх економетричних моделях містяться надідентифіковані структурні рівняння. 614
Припустимо, що нас цікавить взаємозв’язок між ендогенними величинами: Y1t – експорт, Y2t – імпорт і екзогенними величинами: x1t– національний дохід України, x2t – зовнішній товарообіг країн ЄС. Нехай між заданими ендогенними та екзогенними величинами існує лінійна форма зв’язку у вигляді взаємопов’язаних регресій: Y = b Y + a + a x + u 1t 12 2t 10 11 1t 1t . (18.20) Y = b Y + a + a x + u 2t 21 1t 20 22 2t 2t Представимо систему регресій у прогнозній (приведеній) формі: Y = c + c x + c x + e 1t 10 11 1t 12 2t 1t . (18.21) Y = c + c x + c x + e 2t 20 21 1t 22 2t 2t Для оцінки параметрів прогнозної форми системи регресій використаємо МНК для кожної з них. Позначимо через: ⎡1 x11 x21 ⎤ ⎡ y11 y21 ⎤ ⎢ 1 x ⎥ ⎢ ⎥ 12 x22 y12 y22 X = ⎢ ⎥; Y = ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 x1n x2 n ⎦ ⎣y1 n y2 n ⎦ Тоді отримаємо таку систему нормальних рівнянь: n n ⎡1 x ⎡ ⎤ 11 x21 ⎤ n ⎢ ∑ x1i ∑ x2i ⎡ 1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ i= 1 i= 1 ⎥ ⎢ ⎥ 1 x n n n 12 x22 ′ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ X X = x11 x12 x n × = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∑ x i ∑ x i ∑ x i x (18.22) 1 1 1 2 1i ⎥ i= 1 i= 1 i= 1 ⎢⎣ x x x ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ n n n ⎥ 21 22 2n 2 ⎣1 x ⎦ ⎢∑ x i ∑ x i x i ∑ x 1n x2n 2 1 2 2i ⎣ ⎥ i= 1 i= 1 i= 1 ⎦ n n ⎡ y ⎡ ⎤ 11 y21 ⎤ ⎢ ∑ y ∑ y 1i 2i ⎡ 1 1 1 ⎤ i= 1 i= 1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ y n 12 y22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X ′ Y = x11 x12 x1n × = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∑ y1i x1i ∑ y2i x1i ⎥ . (18.23) i= 1 i= 1 ⎢⎣ x x x ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ n n ⎥ 21 22 2n ⎣y ⎦ ⎢∑ y x i i ∑ y x 1n y2 n 1 2 2i 2i ⎥ ⎣ i= 1 i= 1 ⎦ Отже, матриця параметрів прогнозної системи регресій буде: ⎡c10 c20 ⎤ −1 C = ( X ′ X ) ⋅ ( X ′ Y ) = ⎢ c ⎥ 11 c21 . (18.24) ⎢ ⎥ ⎢⎣ c12 c22 ⎥⎦ Нам відомо, що якщо параметри структурної форми (18.20) одночасно визначаються через параметри прогнозної форми (18.21) системи регресій, то така економетрична модель є ідентифікованою. 615
Page 1 and 2:
Міністерство освіт
Page 3 and 4:
ПЕРЕДМОВА Для суча
Page 5 and 6:
системі чи іншій ст
Page 7 and 8:
Передмова, розділи
Page 9 and 10:
основі якої буде по
Page 11 and 12:
По-четверте, викори
Page 13 and 14:
при мінімальних ви
Page 15 and 16:
Об’єкт дослідженн
Page 17 and 18:
Внаслідок цього вс
Page 19 and 20:
Таким чином, саме к
Page 21 and 22:
функціонування буд
Page 23 and 24:
Враховуючи вищесфо
Page 25 and 26:
Задача аналізу пол
Page 27 and 28:
Важливим із точки з
Page 29 and 30:
У процесі формулюв
Page 31 and 32:
можуть бути викори
Page 33 and 34:
всі параметри, що х
Page 35 and 36:
• в економіці дуже
Page 37 and 38:
практика», а двомір
Page 39 and 40:
при використанні м
Page 41 and 42:
x1 x2 xn Z1 Z2 . . . Zk Фінан
Page 43 and 44:
цілей (розділів і г
Page 45 and 46:
Моделі різного вид
Page 47 and 48:
Розділ 2. Моделі зад
Page 49 and 50:
мінімум витрат деф
Page 51 and 52:
видів виробничих р
Page 53 and 54:
4) Задача про раціон
Page 55 and 56:
⎧α11x1 + α12x 2 + ... + α1k xk
Page 57 and 58:
⎛1 A = ⎜ ⎝1 1 −1 Знайд
Page 59 and 60:
Х (1) а) б) в) Х (1) Х (2) Х
Page 61 and 62:
z = c + c x + c 0 1 ⎧a11x1 + a12x
Page 63 and 64:
координати другої
Page 65 and 66:
⎧2x1 + 5x2 = 10, ⎨ ⇔ ⎨ ⎩4
Page 67 and 68:
Рисунок 2.2.7 Найменш
Page 69 and 70:
Цей метод можна вик
Page 71 and 72:
відповідних додатн
Page 73 and 74:
так само, як і рядки
Page 75 and 76:
вводимо в базис. Ст
Page 77 and 78:
♦ Розв’язування. З
Page 79 and 80:
Оскільки цільова ф
Page 81 and 82:
⎧a11x1 + a12x 2 + ... + a1n xn =
Page 83 and 84:
f = − x + 2x − 2x + 2 + x − 3
Page 85 and 86:
обмеження-рівняння
Page 87 and 88:
Маємо fmin=0, а значит
Page 89 and 90:
6) редагування ALT EXT D
Page 91 and 92:
: GO Значення цільов
Page 93 and 94:
Таблиця 2.7 A B C D E F G H
Page 95 and 96:
Таблиця 2.9 A B C D E F G H
Page 97 and 98:
2.6. Питання для само
Page 99 and 100:
функції двоїстої з
Page 101 and 102:
Несиметричні Z = c0 + c
Page 103 and 104:
або у векторно-матр
Page 105 and 106:
№ таблиці 1 ⎧− 3x1 −
Page 107 and 108:
В третій таблиці ми
Page 109 and 110:
одиниць, другого - з
Page 111 and 112:
⎛ 1 33⎞ ⎜1 − ⎟ ⎜ 5 5
Page 113 and 114:
Z max = 9 ⋅ 40, 2 + 6 ⋅19, 8 +
Page 115 and 116:
100 25 60 − ≤ b3 ≤ 60 + , 13
Page 117 and 118:
б) За допомогою дод
Page 119 and 120:
більшості випадків
Page 121 and 122:
значення, то це озн
Page 123 and 124:
Межі правих частин
Page 125 and 126:
технології відпові
Page 127 and 128:
A B C D E F Таблиця 3.2 G 1
Page 129 and 130:
функції, при яких з
Page 131 and 132:
3. Далі необхідно пр
Page 133 and 134:
Розділ 4. Транспорт
Page 135 and 136:
⎧x11 + x21 + ... + xm1 = b1, ⎪
Page 137 and 138:
4. З одержаної табли
Page 139 and 140:
2. Метод найменшої в
Page 141 and 142:
⎛ 30 0 0 170⎞ ⎜ ⎟ x опо
Page 143 and 144:
отримаємо новий оп
Page 145 and 146:
⎛90 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜20 65 0
Page 147 and 148:
Ми отримали новий о
Page 149 and 150:
При цьому загальна
Page 151 and 152:
Постачальники A1 A2 A3
Page 153 and 154:
Оскільки ∑ a ∑b m i= 1
Page 155 and 156:
Знайдені значення
Page 157 and 158:
Новий опорний план:
Page 159 and 160:
Ми бачимо, що для од
Page 161 and 162:
щоб транспортні ви
Page 163 and 164:
⎡40 20 25 30 25⎤ ⎢ 15 35 40 1
Page 165 and 166:
4.5.2. Модель оптимал
Page 167 and 168:
m ∑x= a + ∑ y ,i = 1,n; ij i il
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
z = ∑∑ i= 1 j= 1 (min), n ⎧
Page 173 and 174:
Для визначення дро
Page 175 and 176:
Приведемо це обмеж
Page 177 and 178:
Дописуємо кожну з ц
Page 179 and 180:
Розв’яжемо спочат
Page 181 and 182:
№ таблиці 3 № рядка
Page 183 and 184:
Побудувати економі
Page 185 and 186:
Невідомою величино
Page 187 and 188:
y2 y3 y1 y х1 х2 Рисунок 6
Page 189 and 190:
y 5 1 O C Ми отримали р
Page 191 and 192:
4 − 2x 2 − x 1 1 x = = = 2 −
Page 193 and 194:
екстремуму, то в ни
Page 195 and 196:
H 2 = 2 ∂ L 2 ∂x1 2 ∂ L ∂x
Page 197 and 198:
0 0 ∂L( X , Λ ) ≤ 0, j = 1, n;
Page 199 and 200:
∂L ∂x ⋅ 0 λi 0 0 ≥ + ν =
Page 201 and 202:
Тоді − 2x x x 1 1 1 + 4x + x
Page 203 and 204:
( 1− λ)( 2 − λ) −1⋅1 = 0,
Page 205 and 206:
∂L = 2x1 + 2x ∂x 1 ∂L ∂x 2
Page 207 and 208:
2 2 Z( x, y) = −x − y + xy + 10
Page 209 and 210:
⎡− 2 1 ⎤ H ( x, y) = ⎢ , (
Page 211 and 212:
Δ1 25⋅ 42 x = = = 25, Δ 42 Δ2
Page 213 and 214:
Показник ефективно
Page 215 and 216:
шукати оптимальне
Page 217 and 218:
продукції. При цьом
Page 219 and 220:
При розподілі 150 мл
Page 221 and 222:
Оскільки описувани
Page 223 and 224:
виготовленої протя
Page 225 and 226:
періоду цех має нов
Page 227 and 228:
Розділ 8. Елементи т
Page 229 and 230:
8.2. Оптимальний роз
Page 231 and 232:
А вибрало як засіб
Page 233 and 234:
⎡Мінімаксний спод
Page 235 and 236:
Відома матриця при
Page 237 and 238:
Мета першого гравц
Page 239 and 240:
Задача другого гра
Page 241 and 242:
qi = yi ⋅ v;q 1 = 0;q 2 = 1;q 3 =
Page 243 and 244:
2) з випуску продукц
Page 245 and 246:
: MAX 1200x1+2300x2+3000x3+1600x4+1
Page 247 and 248:
247 Таблиця 9.4 Рядок (
Page 249 and 250:
Якщо виробничі та т
Page 251 and 252:
збільшення призвед
Page 253 and 254:
метод послідовних
Page 255 and 256:
Нова задача буде ск
Page 257 and 258:
Випуск продукції З
Page 259 and 260:
T ∑ t= 1 b t ≤ 259 A. (9.16) П
Page 261 and 262:
Оскільки величина
Page 263 and 264:
максимум прибутку
Page 265 and 266:
dit - величина корисн
Page 267 and 268:
267
Page 269 and 270:
значення ti q . Позна
Page 271 and 272:
3) уся наявна сума ф
Page 273 and 274:
n m ∑ ∑ , (9.33) F = c x + q y
Page 275 and 276:
Розрахована різниц
Page 277 and 278:
Далі записуємо чис
Page 279 and 280:
періоді t+1 збільшил
Page 281 and 282:
дій: максимум дохід
Page 283 and 284:
Функція І(L) визнача
Page 285 and 286:
Page 287 and 288:
Визначеність Умови
Page 289 and 290:
виступає важливим
Page 291 and 292:
4. Аналітична функц
Page 293 and 294:
- авантюрний (азарт
Page 295 and 296:
використовуються н
Page 297 and 298:
323000 : 2, 02 = 159901 фунті
Page 299 and 300:
факторами, на які і
Page 301 and 302:
Назва показника Фо
Page 303 and 304:
10.3. Загальні принци
Page 305 and 306:
Фактори ризику Об’
Page 307 and 308:
Метод аналогій вик
Page 309 and 310:
Перший тип експерт
Page 311 and 312:
спеціалісти з ризи
Page 313 and 314:
Вхід Суб’єкт управ
Page 315 and 316:
Розрізняють такі м
Page 317 and 318:
виконавцем проекту
Page 319 and 320:
Розділ 11. Система п
Page 321 and 322:
Наприклад, нехай пр
Page 323 and 324:
Рис. 11.2.1. Діаграма в
Page 325 and 326:
або планові сумарн
Page 327 and 328:
Середнє сподіване
Page 329 and 330:
D 1 D 2 2 2 2 2 = ( 18 − 9, 5)
Page 331 and 332:
2 2 2 2 ( ( −2, 2) ⋅ 0, 2 + (
Page 333 and 334:
SSV A = 8, 70%. Аналогічн
Page 335 and 336:
Позначимо: S - почат
Page 337 and 338:
Р Ймовірність отри
Page 339 and 340:
За допомогою криво
Page 341 and 342:
11.6. Систематичний і
Page 343 and 344:
Таблиця 11.6 Класифі
Page 345 and 346:
фінансових інструм
Page 347 and 348:
вийде із ладу в пер
Page 349 and 350:
12.2. Критерій «споді
Page 351 and 352:
в подальшому можли
Page 353 and 354:
12.4. Кількісний анал
Page 355 and 356:
ринковий попит. Ная
Page 357 and 358:
наявності успіху; -1
Page 359 and 360:
Розраховані значен
Page 361 and 362:
Етап 3. Для кожного
Page 363 and 364:
математичне сподів
Page 365 and 366:
Оцінюючи необхідну
Page 367 and 368:
Враховуючи формули
Page 369 and 370:
Перейдемо до розгл
Page 371 and 372:
Припустимо, що інве
Page 373 and 374:
Розділ 13. Прийняття
Page 375 and 376:
початкову задачу м
Page 377 and 378:
{ } R2= min 29; 26; 24; 30; 30 = 24
Page 379 and 380:
Аналогічно для най
Page 381 and 382:
Існування закону р
Page 383 and 384:
383
Page 385 and 386:
3. Які критерії покл
Page 387 and 388:
опис існуючих кіль
Page 389 and 390:
За кінцевими прикл
Page 391 and 392:
Е К О Н О М Е Т Р І Я М
Page 393 and 394:
y = ˆy+ u, тобто y = f ( x) +
Page 395 and 396:
q q2t-1 q0 q2t попит А D Рt-
Page 397 and 398:
схема переважно ви
Page 399 and 400:
Восьмий етап (вериф
Page 401 and 402:
Більшість економіч
Page 403 and 404:
Побудуємо діаграму
Page 405 and 406:
4) усі параметри отр
Page 407 and 408:
Збурення є стохаст
Page 409 and 410:
які є в блоці редак
Page 411 and 412:
для входу в екранни
Page 413 and 414:
спеціально індивід
Page 415 and 416:
Розділ 15. Моделі па
Page 417 and 418:
y yi y1 yn y2 u1 A1 ui B2 B1 u2 A2
Page 419 and 420:
Часткового вирішен
Page 421 and 422:
та визначення впли
Page 423 and 424:
Таким чином, ми під
Page 425 and 426:
Метод, в основу яко
Page 427 and 428:
Таблиця 15.1 Вплив ва
Page 429 and 430:
Чисельник (15.16) є ко
Page 431 and 432:
n n n i i 2 i i 2 i i= 1 i= 1 i= 1
Page 433 and 434:
n ∑ i - загальна сума
Page 435 and 436:
( ) ( ) 2 var e що рівноси
Page 437 and 438:
спостереженнях (аб
Page 439 and 440:
будуть вибірки, тим
Page 441 and 442:
Для статистичного
Page 443 and 444:
симетричний, то рів
Page 445 and 446:
формулою: Δ yx t p ⋅σ =
Page 447 and 448:
Рис. 15.7.2. Структура
Page 449 and 450:
7. Середня абсолютн
Page 451 and 452:
6 4 2 0 -2 Рис. 15.8.2. Пара
Page 453 and 454:
Розрізняють два кл
Page 455 and 456:
• при граничному з
Page 457 and 458:
Для порівняння аль
Page 459 and 460:
459
Page 461 and 462:
Отримане значення
Page 463 and 464:
k1=m=1, k2=n-m-1==10-1-1=8, F та
Page 465 and 466:
Розділ 16. Моделі мн
Page 467 and 468:
Отримаємо: n n n ⎧ ⎪ n
Page 469 and 470:
Знайдемо частинну
Page 471 and 472:
• дослідження доці
Page 473 and 474:
2 ( e ) ( ) ( ) 1 M e1e2 M e1en 2
Page 475 and 476:
дійсному співвідно
Page 477 and 478:
задовольняло умову
Page 479 and 480:
сфері мікроекономі
Page 481 and 482:
регіону від розмір
Page 483 and 484:
4. Знаходимо значен
Page 485 and 486:
Тому при співставл
Page 487 and 488:
= R = yy ˆ n ∑( yi − y)( ˆy
Page 489 and 490:
де y - середнє значе
Page 491 and 492:
Підставимо отриман
Page 493 and 494:
Тоді буде мати місц
Page 495 and 496:
або в матричній фор
Page 497 and 498:
⎧ −1 −1 ′ ⎫ cov( A) = M
Page 499 and 500:
♦ Рoзв’язування. С
Page 501 and 502:
Значення виразів A
Page 503 and 504:
Значущість коефіці
Page 505 and 506:
Оскільки tрозр < tта
Page 507 and 508:
Значення t j беремо
Page 511 and 512:
16.7. Покрокова регре
Page 513 and 514:
= a + ar + ar + … + ar , ∗ ∗
Page 515 and 516:
515
Page 517 and 518:
4. Вибираємо наступ
Page 519 and 520:
процесі проводитьс
Page 521 and 522:
2 2 R − R 2 j Pr = , (16.102) j 2
Page 523 and 524:
Гипотеза 1: Измен.R^2
Page 525 and 526:
Коэфф. Значение Ст.
Page 527 and 528:
∗ ∗ ∗ ∗ Зробивши з
Page 529 and 530:
який має назву фонд
Page 531 and 532:
Нелінійні за змінн
Page 533 and 534:
однопараметричної
Page 535 and 536:
6. Сформулюйте осно
Page 537 and 538:
42. Побудуйте довірч
Page 539 and 540:
hвирахування тренд
Page 541 and 542:
Результат: ПРОСТАЯ
Page 543 and 544:
процесу до іншого а
Page 545 and 546:
hдля перевірки адек
Page 547 and 548:
Амплітудно-частотн
Page 549 and 550:
вимірювання значен
Page 551 and 552:
Стратегія вибору в
Page 553 and 554:
Сглаживание 1=линей
Page 555 and 556:
hочищення спектра -
Page 557 and 558:
Потім видається гр
Page 559 and 560:
cукупність коефіці
Page 561 and 562:
n−τ n−τ n−τ ( n −τ )
Page 563 and 564: На момент часу t+1 су
Page 565 and 566: що медіанний лаг ст
Page 567 and 568: структура лага (17.4.1
Page 569 and 570: Зазначена модель є
Page 571 and 572: 1 0 , 669772 ⋅ = 0, 92924 . 1−
Page 573 and 574: Далі виконаємо пер
Page 575 and 576: Для поліному друго
Page 577 and 578: ( 1 ) y ( 1 ) a ( 1 ) bx ( 1 ) ∗
Page 579 and 580: ♦Розв’язування. Н
Page 581 and 582: (y, тис. грн.) від сук
Page 583 and 584: Рівняння (17.51) є мод
Page 585 and 586: Введите параметры A
Page 587 and 588: xt q = W ( t) + b1W ( t −1) + ...
Page 589 and 590: При цьому ці затрим
Page 591 and 592: T T T T T ∑αΔ K = ∑α∑β i
Page 593 and 594: αj 0 1 2 3 T T+1 j Рис. 17.6.2.
Page 595 and 596: виконуються не для
Page 597 and 598: ( ΔK − ΔK ) + ρ( ΔK I ) ΔK
Page 599 and 600: Розділ 18. Узагальне
Page 601 and 602: 18.2. Види економетри
Page 603 and 604: Оскільки економетр
Page 605 and 606: 3. Зведена форма еко
Page 607 and 608: Y Y 1t 2t = a = b 10 21 x Y 0t 1t +
Page 609 and 610: ♦Розв’язування. П
Page 611 and 612: рядках матриць B та
Page 613: припущення зв’яза
Page 617 and 618: А: А: ⎡−1 ⎢ ⎣b22 b ⎤
Page 619 and 620: ⎡c10 c20 cn 0 ⎤ ⎢ ⎥ −1 c
Page 621 and 622: тільки наперед виз
Page 623 and 624: ♦Розв’язування. В
Page 625 and 626: ⎡ 247, 6 ⎤ A 5 = ⎢ 14155, 64
Page 627 and 628: Розділ 19. Прикладні
Page 629 and 630: Таблиця 19.4 Види мод
Page 631 and 632: Роки Таблиця 19.6 Пок
Page 633 and 634: ( ) 1 y x,t a x e β де β - па
Page 635 and 636: одному й тому самом
Page 637 and 638: Рік Товарна продук
Page 639 and 640: Разом із цим треба
Page 641 and 642: Для передбачення р
Page 643 and 644: Таблиця 19.12 Динамік
Page 645 and 646: даної процедури по
Page 647 and 648: де t - період часу; τ
Page 649 and 650: землю, податок на п
Page 651 and 652: Таблиця 19.15 Кореляц
Page 653 and 654: Глава IV. Імітаційне
Page 655 and 656: 5. Оцінка адекватно
Page 657 and 658: елементарні масиви
Page 659 and 660: задачі. Це питання
Page 661 and 662: 20.4. Метод Монте-Кар
Page 663 and 664: різними вхідними д
Page 665 and 666:
Розділ 21. Прикладні
Page 667 and 668:
в яких виникає завд
Page 669 and 670:
Маневрені якості б
Page 671 and 672:
* A i ОП A i Виг A і 0 кр
Page 673:
Отже, надійність ви
Page 676 and 677:
H B = 1− ⎛ ΔB ⎞ ⎜ ⎝ B
Page 678 and 679:
Враховуючи запропо
Page 680 and 681:
Запропонована екон
Page 682 and 683:
протиріч, але більш
Page 684 and 685:
механізмів спадков
Page 686 and 687:
Якщо такий підхід н
Page 688 and 689:
тих та інших акцій
Page 690 and 691:
Елементи окреслено
Page 692 and 693:
21.4. Питання для сам
Page 694 and 695:
18. Зайченко Ю. П. Исс
Page 696 and 697:
Зміст Передмова .....
Page 698 and 699:
7.3.1 Модель оптималь
Page 700 and 701:
15.3 Метод найменших
Page 702:
Навчальне видання
show all

Економіко-математичне моделювання

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?