Економіко-математичне моделювання

виконуються не для початкової моделі геометрично розподіленого
лага, а для рівняння (17.74). Насправді, може бути так, що умови
повністю не виконуються для жодної моделі, але масштаб порушень
цих умов незначний і не надто різниться для (17.74) і (17.75). Надалі
ми будемо оцінювати перетворені рівняння, вважаючи при цьому, що
умови Гауса-Маркова виконуються для рівняння типу (17.74).
Параметр ρ оцінений за формулою (17.74) має задовольняти
умову 0 < ρ < 1.
Автоматично ця умова не є гарантованою, проте
найчастіше вона виконується. Якщо інвестиції перевищують приріст
капіталу (Іt>ΔКt ), то останні зростають, і ΔКt >ΔКt-1, і, відповідно, має
місце 0< Іt - ΔКt < Іt - ΔКt-1 і 0 < ρ < 1 в (17.74).
Двопараметрична модель. Існують випадки, при яких загальна
тенденція зміни залежної змінної досить добре описана моделлю.
Однак при цьому коливання фактичних і розрахункових значень
довкола лінії цієї тенденції постійно перебувають у протифазі. Це
можна пояснити тим, що однопараметрична геометрична структура
лага надто жорстка і не зовсім точно відображає співвідношення
вкладу поточних і минулих інвестицій у приріст капіталу. Перехід від
однопараметричної до двопараметричної моделі «лівого»
геометричного лага дає можливість позбутися такої ситуації. В цій
моделі коефіцієнт β1 у виразі (17.71) «відривається» від інших βj, які й
надалі створюють нескінченно спадну геометричну прогресію. В
результаті цього вираз (17.71) стає таким:
2
ΔKt
= β1
⋅ It
+ β2
⋅ It
−1
+ β2
⋅ρ
⋅ It
−2
+ β2
⋅ρ
⋅ It
−3
+ …+
(17.77)
k−1
+ β2
⋅ρ
⋅ It
−k
+ ….
Відповідно до перетворень (17.77) маємо:
2
ΔK
− β ⋅ I = β ⋅ I + β ⋅ρ
⋅ I + β ⋅ρ
⋅ I + …+
+ β
t
2
⋅ρ
1
k−1
t
2
t−1
2
t−2
⋅ It
−k
+ ….
K = β ⋅ I + β ⋅ I + ρ ΔK
− β ⋅ I . (17.78)
595
2
t−3
( )
Δ t 1 t 2 t−1
t−1
1 t−1
При цьому необхідне виконання умови β j = 1,
тобто
2 ( 1+
ρ + ρ + ) = 1
β + β 1 2 … . Використавши формулу суми нескінченно
спадної геометричної прогресії, отримуємо
β2
β + = 1.
Звідси,
1
ρ
β = 1− ρ 1−
β . Підставивши значення β2 в (17.78), маємо:
2
( )( )
1
∑
1
∞
j=