Економіко-математичне моделювання

xt q
= W ( t)
+ b1W
( t −1)
+ ... + b W ( t − q)
, або R(
B)
⋅W
( t)
587
x t
= , (17.57)
де невідомими є параметри bi , i = 1,
q і дисперсія білого шуму W.
Інакше кажучи, МА є моделлю корельованого шуму, спектр
якого різниться від рівномірного спектра білого шуму наявністю в
ньому провалів потужності в деяких частотних діапазонах. Сама
модель МА може розглядатися як деякий фільтр, що працює з білим
шумом, як з вхідним сигналом.
Такі моделі є корисними для самостійних описів стаціонарних
процесів і як доповнення до моделей авторегресії для детальнішого
опису шумових складових.
Разом з тим ітераційний алгоритм обчислення параметрів моделі
МА дуже чутливий до неправильного вибору числа параметрів для
конкретного числового ряду, особливо в сторону їх збільшення, що
може виразитися відсутністю збіжності обчислень. Тому
рекомендується на початкових етапах аналізу не вибирати модель
ковзного середнього з великим числом параметрів.
Об’єднуючи два розглянутих підходи, модель авторегресіїковзного
середнього (ARIMA) має вигляд:
a0xt + a1xt
− 1 + ... + a pxt
− p = W ( T ) + b1W
( t −1)
+ ... + bqW
( t − q)
, (17.58)
де невідомими є p+q+2 параметри.
У випадку нестаціонарних процесів оператор S(B) поділяється
на дві частини: стаціонарну P(B) і нестаціонарну Q(B), що приводить
нас до загальної моделі авторегресії – проінтегрованого ковзного
середнього (ARIMA):
P( B)
⋅ Q(
B)
⋅ X ( t)
= R(
B)
⋅W
( t)
. (17.59)
Переважно в якості Q(B) вибирають одну з двох можливостей:
d
– Q ( B)
= ( 1−
B)
, що еквівалентно d-разовій різниці значень
процесу: x t − xt−1;
m
– Q( B)
= 1−
B або оператор сезонного диференціювання з
періодом mx : t − xt−m. Перший із операторів безпосередньо реалізований у процедурі
ARIMA шляхом задання початкового значення параметра d, а
сезонне диференціювання часового ряду можна здійснити у
процедурі «Згладжування та фільтрація» .
У ряді випадків доцільно використовувати модель ARIMA не до
початкових даних, а до трансформованого ряду шляхом одного з
перетворень Бокса-Кокса: