Економіко-математичне моделювання

застосування звичайного МНК для оцінки параметрів рівняння
авторегресії призводить до отримання зміщеної оцінки параметра при
змінній yt-1.
Одним із можливих методів розрахунку параметрів рівняння
авторегресії є метод інструментальних змінних. Суть цього методу
полягає в заміні змінної правої частини моделі, для якої порушуються
передумови МНК, на нову змінну, включення котрої у модель не
призведе до цього порушення. Стосовно моделей авторегресії слід
позбутися з правої частини моделі yt-1. Шукана нова змінна, що буде
введена в модель на місце yt-1, повинна мати дві властивості. Поперше,
вона має тісно корелюватися з yt-1, по-друге, вона повинна
бути корельованою з ut.
Існує декілька способів знаходження такої інструментальної
змінної. З урахуванням того, що yt моделі (17.4) залежить не тільки
від yt-1, а й від хt, можна передбачити, що має місце залежність yt-1 від
хt-1, тобто:
yt−1 = d0 + d1xt−1+ ut.
(17.46)
Далі змінну yt-1 виразимо так:
y ˆ t−1 = yt−1+ ut,
(17.47)
де yˆt−1 = d0 + d1xt−1. (17.48)
Знайдена з допомогою рівняння (17.48), параметри якого можна
розрахувати звичайним МНК, оцінка yˆ t−
1 може служити
інструментальною змінною для yt. Ця змінна тісно корелює з yt-1, і,
як видно з (17.48), є лінійною комбінацією змінної хt-1, для якої не
порушена передумова МНК про відсутність залежності між
факторною ознакою та залишками в моделі авторегресії. Значить,
змінна yˆ t−
1 також не буде корелювати з помилкою ut.
Таким чином, оцінки параметрів рівняння (17.4) можна знайти з
такого співвідношення:
y = a+ b x + c yˆ + γ . (17.49)
t 0 t 1 t−1 t
Для цього попередньо з рівняння (17.48) необхідно визначити
розрахункові значення yt-1.
Далі розглянемо можливу модифікацію окресленого методу.
Якщо в модель (17.5) замість yt-1 підставити його вираз з (17.46), то
отримаємо:
yt = a + b x + c ( d + d x + u ) + ε . 0 t 1 0 1 t−1
t t
(17.50)
Здійснивши перетворення (17.50), маємо таку модель:
y = ( a + c d ) + b x + c d x + ( c u + ε ) . 1 0 0 1 1 −1 1
(17.51)
t
t
582
t
t
t