Економіко-математичне моделювання

⎧α11x1
+ α12x
2 + ... + α1k
xk
≤ β1,
⎪
⎪α
21x1
+ α 22x
2 + ... + α 2k
xk
≤ β 2,
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ...
⎪α
l1x1
+ α l 2x
2 + ... + α lk xk
≤ βl
,
⎪
⎪⎩
xi
≥ 0 ( i = 1,
k).
55
(2.15)
Знайти розв’язок задачі лінійного програмування, записаної в
другій стандартній формі, – означає знайти такі розв’язки системи
нерівностей (2.15), при яких цільова функція (2.14) набуватиме
екстремального значення.
В системі обмежень (2.15) ставимо знак нерівності «≤»,
оскільки цього можна завжди домогтися, помноживши праву і ліву
частини нерівності на (–1).
Оскільки деякі методи розв’язування задач лінійного
програмування вимагають, щоб задача була записана певній
стандартній формі, покажемо, як можна перейти від першої до другої
стандартної форми запису задач лінійного програмування і, навпаки,
від другої до першої.
Щоб перейти від другої стандартної форми до першої, достатньо
до лівої частини кожного обмеження типу «≤» системи (2.15) додати
додаткову додатну невідому, яка рівна різниці між правою та лівою
частинами нерівності. Здійснимо це і в результаті отримаємо:
F 0 1 1 2 2
k k
= s + s x + s x + ... + s x ( extr)
, (2.16)
⎧α11x1
+ α12x2
+ ... + α1k
xk
+ xk
⎪
⎪α
21x1
+ α 22x
2 + ... + α 2k
xk
+ x
⎪
⎨..........
.......... .......... .......... ...
⎪α
l1x1
+ α l 2x
2 + ... + α lk xk
+ xk
⎪
⎪⎩
xi
≥ 0 ( i = 1,
k + l).
+ 1
k+
2
+ l
= β ,
1
= β ,
2
= β ,
l
(2.17)
Задача (2.16)-(2.17) записана в першій стандартній формі.
Розглянемо задачу лінійного програмування з обмеженнямирівностями
(2.12)-(2.13).
Нехай x 1,x 2, … ,xk
– вільні змінні. Тоді x k+ 1,x k+ 2,
… ,xn
– базисні
змінні. Виразимо значення базисних змінних через вільні,
використовуючи перетворення Жордана-Гауса: