Економіко-математичне моделювання

Тоді залежність (16.104) матиме вигляд:
2 3 2 3
ˆy = a+ bx 1 1+ c1x1+ d1x1+ b2x2+ c2x2+ d2x2. (16.105)
Приведемо рівняння (16.105) до лінійного виду з допомогою
2
3
2
3
заміни x = x , x = x , x = x , x = x . Отримаємо:
1 3 1 4 2 5 2 6
ˆy = a+ bx 1 1+ c1x3+ d1x4+ b2x2+ c2x5+ d2x6. Серед функцій множинної нелінійної регресії другого класу, які
допускають лінеаризацію, представляють великий економічний
інтерес виробничі функції.
Першою класичною виробничою функцією була степенева
функція Кобба-Дугласа:
α 1−α
ˆy = aK ⋅ L , (16.106)
де ˆy – обсяг випуску продукції; К – затрати капіталу; L – затрати
праці; a – коефіцієнт пропорційності; α – параметр функції або
коефіцієнт еластичності затрат праці.
Аналізуючи (16.106), можна зробити висновок, що сума
параметрів або степінь однорідності (α +1–α =1) класичної функції
Кобба-Дугласа дорівнює одиниці. Такий висновок означає, що при
збільшенні виробничих ресурсів на одиницю, обсяг випуску
продукції теж збільшиться на одиницю. Це свідчить про сталу
ефективність ресурсів. Оскільки припущення відносно лінійної
однорідності в прикладних дослідженнях виконується рідко, тому
була запропонована степенева функція для загального випадку:
1 2
m
ˆ 0 1 2
a
a a
y = ax x … xm
, (16.107)
де ˆy – обсяг випуску продукції (національний дохід та ін.); х1, х2,…,
хm – фактори впливу на результативний показник; a1, a2,…, am –
коефіцієнти еластичності.
Розглянемо економічний зміст основних характеристик
виробничих функцій на прикладі функції Кобба-Дугласа:
a1 a2
yˆ= a x x , (16.108)
0 1 2
де ˆy – вартість валової продукції, тис. грн.; x1 – вартість основних
виробничих фондів, тис. грн.; x2 – витрати праці, тис. людино-годин.
Для приведення даної функції до лінійного виду треба
прологарифмувати праву та ліву частини при будь-якій основі,
наприклад, при основі е. Отримаємо:
ln yˆ = ln a + a ln x + a ln x .
0 1 1 2 2
526