Економіко-математичне моделювання

⎧ −1 −1
′ ⎫
cov( A) = M⎨( XX ′ ) X′ ⋅u⋅⎡( XX ′ ) X′ ⋅ u⎤
=
⎣ ⎦ ⎬
⎩ ⎭
−1 −1 −1 −1
= M⎡( XX ′ ) X′ ⋅u⋅uX ′ ( X′ ⋅ X) ⎤=
M( X′ ⋅X) X′ ⋅M( uu′ ) X( X′ ⋅ X)
=
⎣ ⎦
= X ⋅X XXσ X ⋅ X =σ X ⋅X X ⋅ X XX =σ XX .
2 2 2
( ′ ) ′ ( ′ ) ( ′ ) ′ ( ′ ) ( ′ )
−1 −1 −1 −1 −1
u u u
497
(16.61)
Позначимо через σа дисперсійно-коваріаційну матрицю:
2
a1 a1am 2
1
a u(
XX) 2
ama1am −
⎡ σ … σ ⎤
⎢ ⎥
σ =σ ′ = ⎢ ⎥ . (16.62)
⎢σ σ ⎥
⎣
…
⎦
Ця матриця є симетричною і на головній діагоналі містяться
j = 1,
m :
дисперсії оцінок параметрів моделі a ( )
j
( ) 2
2
= M a − b
σ a j
а поза діагоналлю – їхня коваріація:
j j , (16.63)
σ = a − b a − b , j ≠ k;
j = 0 , m;
k = 0,
. (16.64)
a jak
Оскільки
незміщену оцінку
[ ( )( ) ] m
M j j k k
2
σ невідоме, використаємо в подальшому його
u
2
σ і отримаємо оцінку для матриці e
σ : a
2
⎡ ˆ σa1 2
−1
⎢
SA = σ e ( X′ ⋅ X)
=⎢ ...
ˆ σ ⎤ a1am ⎥
⎥ , (16.65)
2
⎢ ˆ σ ... ˆ σ ⎥
ama1a ⎣ m ⎦
2
де ˆ σ aa – оцінка коваріацій між aj та ak, ˆ σ j k
a – оцінка дисперсій
j
2 e′
e
параметрів моделі aj, σ = .
e
n − m −1
2
Враховуючи (16.38), вираз для σ матиме вид:
e
2 Y′
⋅Y
− A′
X ′ Y
σ =
. (16.66)
e
n − m −1
Для проведення кінцевих розрахунків позначимо (k, j) елемент
матриці ( ) 1 −
X ′ ⋅ X через Ckj. Внаслідок чого отримаємо матрицю
( ) 1 −
C = X ′ ⋅ X .
Тоді дисперсії оцінок параметрів заданої функції регресії
знайдемо за формулами:
var a =σ ˆ =σ C , j = 0,m
, (16.67)
2 2
( ) j
2 2
( k j) ˆ a a e kj
j a e jj
cov a a =σ =σC , j ≠ k, j = 0,m,k = 0,m.
(16.68)
k j