Економіко-математичне моделювання

Для знаходження коефіцієнтів частинної кореляції використаємо
альтернативні формули. Нехай число незалежних змінних m = 2.
Тоді
мають місце такі формули:
r y 12 . =
ry1−ry2r12 , ry
21 . =
2 2 ( 1−ry2)( 1−r12) ry2−ry1r12 , (16.52)
2 2
( 1−ry1)( 1−r12)
де ry1.2 – коефіцієнт частинної кореляції між змінними y та x1 при
виключенні впливу x2; ry2.1 – коефіцієнт частинної кореляції між
змінними y та x2 при виключенні впливу x1;
парні коефіцієнти кореляції.
Аналогічно для випадку m = 3 маємо:
ry 1 , ry
2 , r12
– відповідно
r y 123 . =
r y 312 . =
ry 13 . −ry 23 . r123 .
; r y 213 . =
2 2 ( 1−ry 23 . )( 1−r123 . )
ry 32 . − ry 12 . r312
.
,
2 2
1−r 1−r
ry 23 . −ry
13 . r213
.
;
2 2
( 1−ry 13 . )( 1−r213
. )
(16.53)
( y. 12)( 312 . )
де r y1
. 23 , ry
2.
13 , ry3.
12 – коефіцієнти частинної кореляції третього порядку.
Узагальнюючи наведені вище формули для будь-якого числа
пояснювальних змінних, отримаємо:
ry 13 . …m−ry 23 . …m r123
. …m
ry
12 . …m
=
. (16.54)
2 2
( 1−ry 23 . …m )( 1−r123
. …m)
Рекурентне співвідношення (16.54) показує, що обчислення
коефіцієнта частинної кореляції порядку m зводиться до визначення
таких же коефіцієнтів, але порядку ( m −1)
. Тому при використанні
(16.54) спочатку необхідно знайти парні коефіцієнти кореляції, а
потім перейти до обчислення коефіцієнтів вищих порядків.
Великим інтересом є знаходження коефіцієнтів частинної кореляції
з допомогою матричної алгебри. Представимо матрицю (16.50) так:
⎡r00 r01 r02 r0m⎤
⎢
r10 r11 r12 r
⎥
⎢
1m
⎥
[ Rn] = ⎢r20 r21 r22 r ⎥ 2m
, (16.55)
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣rm0 rm1 rm2 r ⎥
mm⎦
де індекс рівний нулю служить для відображення парних коефіцієнтів
кореляції залежної змінної та пояснювальних змінних.
492