Економіко-математичне моделювання

де y – середнє значення залежної змінної; x j – середнє значення j-ої
незалежної змінної; y ∗ – нормалізована залежна змінна; x j
∗ –
нормалізована j-та незалежна змінна; σy – середнє квадратичне
відхилення залежної змінної; j x σ – середнє квадратичне відхилення jої
незалежної змінної.
Зауважимо, що має місце:
∗ ∗ 2 2
x = 0, y = 0, σ = 1, σ = 1.
j x y
489
∗ ∗
j
Перейдемо до знаходження парних коефіцієнтів кореляції між
залежною та незалежними змінними:
1 ∗ ∗
ryj = ryx =
⎛
y ′ x
⎞
1
j ⎜ ⋅ j ⎟,
j = , m.
(16.47)
n ⎝ ⎠
Для незалежних змінних має місце:
1 ∗ ∗
rkj = rx 1 1
kx =
⎛
x′ j
k x
⎞
⎜ ⋅ j ⎟,k
= ,m, j = ,m.
(16.48)
n ⎝ ⎠
Парні коефіцієнти кореляції утворюють кореляційну матрицю
(матрицю парних коефіцієнтів кореляції):
⎡r
r r … r
YY Yx
⎤
1 Yx2
Yxm
⎢
⎥
⎢r
r r … r
x1Y
x1x1
x1x2
x1xm
⎥
[ R ] = ⎢r
r r … r ⎥.
(16.49)
n x2Y
x2
x1
x2x
2
x2
xm
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣r
r r … r
xmY
xm
x1
xm
x2
xm
xm
⎦
Ця матриця є симетричною відносно головної діагоналі
r = r , а елементи якої рівні одиниці.
( )
x x
k
j
x x
j
k
Припустимо, що змінна y одночасно залежить від двох факторів
x1 та x2. Тоді коефіцієнт множинної кореляції:
2 2
ry + r 1 y −2r
2 yr 1 y r 2 12
ry
=
, (16.50)
12
2
1−
r
де y1 y2
12
r , r , r – відповідні парні коефіцієнти кореляції.
Узагальнюючи (16.50) і використавши матричну форму запису,
можна виразити коефіцієнт множинної кореляції для довільного
числа пояснювальних змінних таким чином:
−1
2
= r′
R r,
r = R , (16.51)
R m y.
12…
m
12