Економіко-математичне моделювання

Тому при співставленні між собою двох регресійних моделей
для однакових залежних змінних, але з різною кількістю незалежних
факторів, перевагу треба віддати тій моделі, для якої значення R 2 є
більшим.
Виведемо формулу знаходження R 2 з допомогою математичного
апарату матричної алгебри. Для цього окремо представимо чисельник
і знаменник у матричній формі:
n
2
eiee Y Y Yˆ Yˆ Y Y ( XA) ′
∑ = ′ = ′ − ′ = ′ − ( XA) = Y′ Y − A′ X′ XA=
i=
1
(16.38)
−1
= Y′ Y − A′ XX ′ XX ′ X′ Y = Y′ Y − A′ EX′ Y = Y′ Y − A′ X′ Y.
n
( y − y)
( )
2
2
∑ = ∑y−y∑ i
i
i=
1 i=
1 i=
1
n
n
2
2
2
2 y + ny
= Y ′ Y − 2yny
+ ny
= Y ′ Y − ny
. (16.39)
i
Враховуючи значення виразів (16.38) та (16.39), запишемо
формулу для знаходження R 2 у матричній формі:
2
2
2 Y ′ Y − A′
X ′ Y Y ′ Y − ny
− Y ′ Y + A′
X ′ Y A′
X ′ Y − ny
R = 1−
=
=
. (16.40)
2
2
2
Y ′ Y − ny
Y ′ Y − ny
Y ′ Y − ny
Припустимо, що ми хочемо порівняти значення коефіцієнтів
детермінації в різних моделях. У таких випадках потрібно корегувати
коефіцієнт кореляції з урахуванням кількості незалежних факторів,
які входять до складу різних моделей, тим самим зменшити вплив
залежності значень коефіцієнта детермінації від кількості факторів.
Для зменшення цього впливу введемо спеціальний оцінений або
2
скорегований, або приведений коефіцієнт детермінації R . З цією
метою поділимо чисельник та знаменник у правій частині (16.37) на
число відповідних ступенів вільності. Як результат, у чисельнику та
2 2
знаменнику будемо мати незміщені дисперсії σ та σ e y , тобто оцінену
дисперсію залишків та вибіркову дисперсію залежної змінної.
Враховуючи умови (16.38) та (16.39), остаточно одержимо:
1 n
2
∑e
i
2
1 1 n 1 Y Y A X Y
R 1
n − m − i=
− ′ − ′ ′
= −
= 1−
⋅
. (16.41)
2
1 n
2 n − m −1
Y ′ Y − ny
∑(
y − y)
i
n −1
i=
1
Умова (16.40) дає нам:
Y ′ Y − A′
X ′ Y
2
= 1− R .
2
Y ′ Y − ny
2
Можна довести, що між оціненим коефіцієнтом детермінації R
і R 2 існує такий зв’язок:
485