Економіко-математичне моделювання
Економіко-математичне моделювання Економіко-математичне моделювання
Зазначена умова полягає в тому, що змінна ( j 1; m) x j = пояснює змінну Y, але зворотне твердження відсутнє, тобто змінна Y не пояснює змінні xj. Отже, припускається існування односторонньої залежності змінної Y від xj i відсутність взаємозв’язку. 6. Збурююча змінна розподілена нормально з параметрами 2 N( 0, σ ) . Вважається, що вона суттєво не впливає на змінну Y. Ця e умова одночасно означає, що залежна змінна Y чи змінні Y і x ( j ; m) j = 1 розподілені нормально. При знаходженні оцінок параметрів регресії дотримання цієї умови не є обов’язковим. Використання статистичних критеріїв при перевірці значимості рівняння регресії та окремих коефіцієнтів регресії, побудова довірчих інтервалів допускає використання окресленої умови. Отже, для знаходження оцінок параметрів моделі методом регресійного аналізу необхідно щоб виконувались перелічені вище передумови. Крім того, знайдені оцінки повинні володіти такими властивостями: незміщеності, обґрунтованості, ефективності та інваріантності. 16.3. Узагальнений метод найменших квадратів Умова (16.15) є компактним записом двох передумов (2 і 3), в силу яких збурення має постійну дисперсію, а автокореляція відсутня. При дотриманні припущення (16.17) можна узагальнити (16.19), поклавши 2 M ( ee′ ) = σ e D , (16.24) 2 де σ залишається невідомим параметром, D – відома симетрично e додатньо визначена матриця порядку n. Припущення (16.24) означає, що дисперсія та коваріація елементів, що утворюють збурення e, відомі з точністю до множника. Матриця M ( ee′ ) за умови (16.24) не має форми (16.22), а є діагональною матрицею з нерівними елементами. Може статися, що нерівні нулю позадіагональні елементи, тобто коваріації збурюючих членів: M ( ee′ ) для всіх i та s ≠ 0. У такому випадку мова йде про автокореляцію збурень. Така ситуація виникає при помилковій специфікації форми залежності між змінними. Наприклад, при знаходженні лінійної залежності між y і x дійсна залежність виявилась квадратичною. Навіть якщо збурення в 474
дійсному співвідношенні не будуть автокорельовані, то квазізбурення, що супроводжуються лінійною формою зв’язку, будуть містити член залежний від x 2 . Кореляція послідовних значень збурень проявляється так само при існуванні кореляції між послідовними значеннями будь-якої пояснювальної змінної. Якщо має місце той чи інший випадок, то формула (16.12) для знаходження оцінок параметрів не застосовується і для отримання їх необхідно змінити процедуру оцінювання. Основна ідея полягає у перетворенні спостережень Y i X у нові змінні Y ∗ та X ∗ , які би задовольняли припущення (16.17) та (16.19): ∗ ∗ ∗ Y = X A+ e , (16.25) ∗ ∗ ∗ 2 де M ( e ) = 0; M ⎛ e e ′ ⎞ ⎜ ⎟=σeE. ⎝ ⎠ Для використання статистичних критеріїв перевірки значимості параметрів регресії та рівняння у цілому і при побудові довірчих інтервалів повинна дотримуватися умова про нормальність розподілу 2 збурення з параметрами N ( 0, σ * E) . До перетворення змінних Y e ∗ і X ∗ тепер можна застосувати МНК у його класичному варіанті. Потім оцінки знову можна виразити через початкові змінні. Оцінювання можна провести декількома еквівалентними способами. Розглянемо спосіб, який базується на розкладі матриці D. Додатньо визначена матриця допускає представлення у вигляді добутку P P′. Апарат матричної алгебри дає можливість знайти єдину невироджену симетричну матрицю P таку, що D = PP′ . (16.26) Помножимо рівність (16.26) справа на Отримуємо: −1 −1 1 1 P DP ′ − − = P PP′ P ′ −1 1 або P DP −′ = E . (16.27) Крім цього, правила дій над матрицями дають нам: −1 1 1 P ′ − − P = D . (16.28) −1 Помноживши рівняння моделі (16.12) зліва на матрицю P , отримаємо: ∗ ∗ ∗ Y = X A+ e , (16.29) ∗ −1 ∗ −1 ∗ −1 де Y = P YX = P X i e = P e. 475 −1 P , зліва – на 1 P − ′ .
- Page 423 and 424: Таким чином, ми під
- Page 425 and 426: Метод, в основу яко
- Page 427 and 428: Таблиця 15.1 Вплив ва
- Page 429 and 430: Чисельник (15.16) є ко
- Page 431 and 432: n n n i i 2 i i 2 i i= 1 i= 1 i= 1
- Page 433 and 434: n ∑ i - загальна сума
- Page 435 and 436: ( ) ( ) 2 var e що рівноси
- Page 437 and 438: спостереженнях (аб
- Page 439 and 440: будуть вибірки, тим
- Page 441 and 442: Для статистичного
- Page 443 and 444: симетричний, то рів
- Page 445 and 446: формулою: Δ yx t p ⋅σ =
- Page 447 and 448: Рис. 15.7.2. Структура
- Page 449 and 450: 7. Середня абсолютн
- Page 451 and 452: 6 4 2 0 -2 Рис. 15.8.2. Пара
- Page 453 and 454: Розрізняють два кл
- Page 455 and 456: • при граничному з
- Page 457 and 458: Для порівняння аль
- Page 459 and 460: 459
- Page 461 and 462: Отримане значення
- Page 463 and 464: k1=m=1, k2=n-m-1==10-1-1=8, F та
- Page 465 and 466: Розділ 16. Моделі мн
- Page 467 and 468: Отримаємо: n n n ⎧ ⎪ n
- Page 469 and 470: Знайдемо частинну
- Page 471 and 472: • дослідження доці
- Page 473: 2 ( e ) ( ) ( ) 1 M e1e2 M e1en 2
- Page 477 and 478: задовольняло умову
- Page 479 and 480: сфері мікроекономі
- Page 481 and 482: регіону від розмір
- Page 483 and 484: 4. Знаходимо значен
- Page 485 and 486: Тому при співставл
- Page 487 and 488: = R = yy ˆ n ∑( yi − y)( ˆy
- Page 489 and 490: де y - середнє значе
- Page 491 and 492: Підставимо отриман
- Page 493 and 494: Тоді буде мати місц
- Page 495 and 496: або в матричній фор
- Page 497 and 498: ⎧ −1 −1 ′ ⎫ cov( A) = M
- Page 499 and 500: ♦ Рoзв’язування. С
- Page 501 and 502: Значення виразів A
- Page 503 and 504: Значущість коефіці
- Page 505 and 506: Оскільки tрозр < tта
- Page 507 and 508: Значення t j беремо
- Page 511 and 512: 16.7. Покрокова регре
- Page 513 and 514: = a + ar + ar + … + ar , ∗ ∗
- Page 515 and 516: 515
- Page 517 and 518: 4. Вибираємо наступ
- Page 519 and 520: процесі проводитьс
- Page 521 and 522: 2 2 R − R 2 j Pr = , (16.102) j 2
- Page 523 and 524: Гипотеза 1: Измен.R^2
дійсному співвідношенні не будуть автокорельовані, то квазізбурення,<br />
що супроводжуються лінійною формою зв’язку, будуть<br />
містити член залежний від x 2 .<br />
Кореляція послідовних значень збурень проявляється так само<br />
при існуванні кореляції між послідовними значеннями будь-якої<br />
пояснювальної змінної.<br />
Якщо має місце той чи інший випадок, то формула (16.12) для<br />
знаходження оцінок параметрів не застосовується і для отримання їх<br />
необхідно змінити процедуру оцінювання.<br />
Основна ідея полягає у перетворенні спостережень Y i X у нові<br />
змінні Y ∗ та X ∗ , які би задовольняли припущення (16.17) та (16.19):<br />
∗ ∗ ∗<br />
Y = X A+ e , (16.25)<br />
∗ ∗ ∗ 2<br />
де M ( e ) = 0; M<br />
⎛<br />
e e ′ ⎞<br />
⎜ ⎟=σeE.<br />
⎝ ⎠<br />
Для використання статистичних критеріїв перевірки значимості<br />
параметрів регресії та рівняння у цілому і при побудові довірчих<br />
інтервалів повинна дотримуватися умова про нормальність розподілу<br />
2<br />
збурення з параметрами N ( 0, σ * E)<br />
. До перетворення змінних Y e<br />
∗ і X ∗<br />
тепер можна застосувати МНК у його класичному варіанті. Потім<br />
оцінки знову можна виразити через початкові змінні. Оцінювання<br />
можна провести декількома еквівалентними способами. Розглянемо<br />
спосіб, який базується на розкладі матриці D.<br />
Додатньо визначена матриця допускає представлення у вигляді<br />
добутку P P′.<br />
Апарат матричної алгебри дає можливість знайти єдину<br />
невироджену симетричну матрицю P таку, що<br />
D = PP′<br />
. (16.26)<br />
Помножимо рівність (16.26) справа на<br />
Отримуємо:<br />
−1 −1 1 1<br />
P DP ′ − −<br />
= P PP′ P ′ −1 1<br />
або P DP<br />
−′ = E . (16.27)<br />
Крім цього, правила дій над матрицями дають нам:<br />
−1 1 1<br />
P ′ − −<br />
P = D . (16.28)<br />
−1<br />
Помноживши рівняння моделі (16.12) зліва на матрицю P ,<br />
отримаємо:<br />
∗ ∗ ∗<br />
Y = X A+ e , (16.29)<br />
∗ −1 ∗ −1<br />
∗ −1<br />
де Y = P YX = P X i e = P e.<br />
475<br />
−1<br />
P , зліва – на<br />
1<br />
P − ′ .
Change language