Економіко-математичне моделювання

Отримаємо:
n
n
n
⎧
⎪
na0
+ a1∑xi1+
a2∑xi2=
∑yi,
i=
1 i=
1 i=
1
⎪
n
n
n
n
⎪
2
⎨a0∑
xi1
+ a1∑xi1+
a2∑xi1xi2=
∑yixi1,
. (16.7)
⎪ i=
1
i=
1 i=
1 i=
1
n
n
n
n
⎪
2
⎪a0∑
xi2
+ a1∑xi1xi2+
a2∑xi2=
∑yixi2.
⎩ i=
1
i=
1 i=
1 i=
1
Таким чином, нами отримано систему рівнянь (16.7) з трьома
невідомими величинами: a , a , a . З першого рівняння маємо:
0 1 2
a0 = y −a1x1− a2x2. (16.8)
Використовуючи останній вираз і два інших рівняння, після
відповідних перетворень, знайдемо значення a1:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) { ( ) } 2
cov x1
, y var x2
− cov x2
, y cov x1
, x2
a1
= . (16.9)
var x var x − cov x , x
1
2
1 2
Аналогічно можна знайти значення для a2, зробивши
перестановку x1 i x2 у виразі (16.9).
Властивості методу найменших квадратів. Властивості МНК для
випадку множинної регресії збігаються з його властивостями для
парної регресії.
1. Багатофакторна регресійна модель правильна для середніх
точок m x , , x , x , y … .
1 2
Тобто для моделі
y = a + a x + … + a x + e
i 0 1 1i
m 1m
i
має місце m m x a x a y a − − − = … .
0
1 1
2. Середнє значення оцінки дорівнює середньому значенню
фактичних даних: ˆy y
= .
3. Сума помилок дорівнює нулю: ∑ ei
= e = 0 .
i=
1
4. Помилки ei некорельовані з x , x , …,
x , тобто має місце:
1 i 2i
mi
n
n
∑ex= ∑ex= … = ∑ex=
0.
i 1i
i 2i
i=
1 i=
1 i=
1
5. Помилки ei некорельовані з y ˆi , тобто має місце:
n
∑
i=
1
467
n
eyˆ
= 0
i i
.
n
i
mi