Економіко-математичне моделювання

фактичних даних від теоретичних була мінімальною. Цю вимогу
можна представити таким чином:
n n
∑ ∑
( ) ( ) 2 2
ˆ
F a0, a1, … , a = y − y = e →min,
(16.3)
m i i i
i= 1 i=
1
де i e є оцінкою для ui та залишком в i-спостереженні, тобто різниця
між фактичним значенням у спостереженні та розрахованим
значенням ˆy за рівнянням (16.2).
Таким чином, наша задача зводиться до мінімізації функції
(16.3). Необхідною умовою цього є перетворення в нуль перших
частинних похідних цієї функції стосовно кожної змінної
{ a , j ; m}
j = 1 .
Оскільки
F
( ) = ( − − − − − )
n
a , a , , a y a a x a x … a x
0
2
1 … m ∑ i 0 1 i1
2 i 2
m im , (16.4)
i=
1
то отримаємо таку систему нормальних рівнянь:
n
⎧ ∂F
⎪ =−2∑( yi −a0 −a1xi1−…− amx im)
= 0,
∂a0
i=
1
⎪
n ⎪∂ F
⎪ =−2∑( yi −a0 −a1xi1−…− amxim) x i1
= 0,
⎨∂a1
i=
1
(16.5)
⎪
⎪
n ⎪ ∂F
⎪ =−2∑( yi −a0 −a1xi1−…− amxim) x im = 0.
⎩∂am
i=
1
Після виконання відповідних перетворень (16.5) матиме вигляд:
n
n
n
n
⎧
⎪
na0
+ a1∑xi1+
a2∑xi2+
…+
am∑xim
= ∑yi,
i=
1 i=
1 i=
1 i=
1
⎪
n
n
n
n
n
⎪
2
⎪a0∑xi1+
a1∑xi1+
a2∑xi2xi1+
…+
am∑ximxi1
= ∑yixi1,
⎨ i=
1 i=
1 i=
1 i=
1 i=
1 (16.6)
⎪
⎪
n
n
n
n
n
⎪
2
a + + + + =
⎪ 0∑xim
a1∑xi1xim
a2∑xi2xim
… am∑xim
∑yixim.
⎩ i=
1 i=
1 i=
1 i=
1 i=
1
Розв’язавши систему рівнянь (16.6), отримаємо множину оцінок
{ b , j ; m}
j = 0 для відповідних параметрів регресії { β j ; j = 0;
m}
.
Побудуємо систему (16.6) для випадку m=2, тобто знайдемо ефект
впливу двох факторів x1 i x2 на y.
466