Економіко-математичне моделювання

x
a
степенева – ˆy = a⋅ x ; показникова – ˆy = ab ; логістична – ˆy
cx
1 be − =
+
a
або ˆy b cx
1 e − = та ін.
+
Для оцінки параметрів у зазначеному випадку використовують
ітераційні методи або застосовують апроксимацію. Широко
використовується лінійне перетворення функції регресії, що дає
можливість застосувати до перетворюваних параметрів статистичні
критерії лінійної регресії.
Наприклад, зробимо такі перетворення для степеневої функції.
b
Прологарифмуємо праву та ліву частини функції ˆy = ax , отримаємо
∗ ∗
ln ˆy= lna + ln ˆx.
Ввівши заміну: z = lny,a ˆ = lna,x = lnx,
отримаємо
∗ ∗
z = a + bx . Аналогічні перетворення виконаємо і для логістичної
функції:
⎛a⎞ ⎛a⎞ ln ⎜ − 1 = ln b−cx yˆ
⎟ або ln⎜ − 1 = b −cx
⎝ ⎠
ˆy
⎟
⎝ ⎠
Для опису необмежених і монотонно зростаючих або монотонно
спадних експериментальних залежностей можна використати такі
моделі:
• лінійна модель 1 використовується для залежностей, у яких
перша похідна (швидкість зміни Y або приріст Y) постійні;
• параболічна модель 2 характеризується тим, що перша похідна
змінюється за лінійним законом;
• логарифмічна залежність 5 використовується для
моделювання поволі змінюваних залежностей, оскільки її перша
похідна спадає обернено пропорційно Х;
• експоненти 8-С використовуються для залежностей, в яких
логарифми змінюються за лінійним законом.
Швидкість зростання степеневої функції 6 при великих Х більша
від логарифмічної і менша від експоненціальної, а також може бути
меншою чи більшою, залежно від своїх параметрів, швидкості росту
лінійної функції.
Для опису обмежених монотонно зростаючих та монотонноспадних
експериментальних залежностей (залежностей, значення
яких прямує до деякої границі) можуть бути використані такі моделі:
454