Економіко-математичне моделювання

будуть вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не
перевищує як завгодно малого числа ε.
Третьою властивістю оцінки b є ефективність. Вона пов’язана з
величиною дисперсії оцінок. На основі означення дисперсії маємо,
що var(b) є параметром розподілу випадкової величини β, яка є мірою
розсіювання її значень навколо математичного сподівання.
Вибіркова оцінка b параметра рівняння регресії β називається
ефективнoю, якщо дисперсія цієї оцінки є найменшою величиною в
класі незміщених оцінок.
Припустимо, що b є ефективною оцінкою параметра β, а β ′ –
var(
β)
інша оцінка цього параметра. Тоді відношення = k
var(
β′ )
називається ефективністю оцінки, причому k ∈ ( 01 ; ] . Чим ближче k до
одиниці, тим більш ефективною є оцінка. При k=1 отримуємо
асимптотично ефективну оцінку.
Четвертою властивістю оцінки є інваріантність. Оцінка b
параметра β називається інваріантною, якщо для довільно заданої
функції f оцінка параметра функції f(b) подається у вигляді f(β). Тобто
інваріантність оцінки ґрунтується на тому, що у випадку
функціонального перетворення параметра β з допомогою деякого
функціоналу f таке саме перетворення, виконане відносно β, дає
оцінку f(b) нового параметра. Наприклад, якщо відома оцінка
дисперсії генеральної сукупності і вона інваріантна, то оцінку
середньоквадратичного відхилення можна отримати, добувши
квадратний корінь із оцінки дисперсії. Коефіцієнт кореляції R є
інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації
2
2
R ( R = R ) .
Теорема Гаусса-Маркова. Якщо для залишкового члена
рівняння (15.1) виконуються умови Гаусса-Маркова, то оцінки а та b
(формули 15.14, 15.15), розраховані за методом найменших квадратів,
мають найменшу дисперсію в класі всіх лінійних незміщених оцінок.
Теорема показує, що оцінки, розраховані за МНК, мають такі
властивості: є лінійними функціями значень у без відхилень, мають
найменшу дисперсію з усіх можливих методів оцінювання.
Для знаходження значень дисперсій параметрів а та b
використаємо такі формули:
439